productos notables

1. PRODUCTOS NOTABLES
CIENCIAS – 2023 – 1

2. 1. INTRODUCCIÓN
El valor numérico del área de una región
cuadrada, cuyo lado mide (𝑎 + 𝑏), se
puede expresar como la suma de los
valores numéricos de las áreas, de la
región cuadrada de color rosado, la
región del cuadrado de color celeste y
dos regiones rectangulares congruentes
de color verde. A continuación, se
muestra una imagen que permite
entender el desarrollo de un binomio de
la suma, al cuadrado, que es uno de los
productos notables que se tratarán en
esta separata.

3. PRODUCTOS NOTABLES
• Producto es el resultado que se obtiene al realizar una
multiplicación.
• Notable es aquello que se destaca con especial
importancia.
Entonces, los Productos Notables son multiplicaciones
especiales entre expresiones algebraicas que por sus
características destacan de las demás. Estas se obtienen por
simple inspección.

4. 2. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIO SUMA, Y DIFERENCIA, AL CUADRADO
𝐚 + 𝐛 𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛𝟐
𝐚 − 𝐛 𝟐 = 𝐚𝟐 − 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛𝟐
EJEMPLO 1
Simplifique la expresión 𝑀 =
(𝑦−2)2+(𝑦+2)2−8
𝑦2 , donde 𝑦 ≠ 0.
SOLUCIÓN
𝑀 =
(𝑦 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 − 8
𝑦2
𝑀 =
𝑦2 − 4𝑦 + 4 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 − 8
𝑦2
𝑀 =
2𝑦2
𝑦2
∴ 𝑀 = 2

5. BINOMIO SUMA, Y DIFERENCIA, AL CUBO
EJEMPLO 2
Si 𝑥 +
1
𝑥
= 4, calcule el valor de 𝑥3 +
1
𝑥3; donde 𝑥 ≠ 0.
SOLUCIÓN
Ambos lados de la ecuación: 𝑥 +
1
𝑥
= 4, se elevan al cubo y se desarrolla el binomio al cubo
𝐚 + 𝐛 𝟑 = 𝐚𝟑 + 𝟑𝐚𝟐𝐛 + 𝟑𝐚𝐛𝟐 + 𝐛𝟑 𝐚 − 𝐛 𝟑 = 𝐚𝟑 − 𝟑𝐚𝟐𝐛 + 𝟑𝐚𝐛𝟐 − 𝐛𝟑
𝐚 + 𝐛 𝟑 = 𝐚𝟑 + 𝐛𝟑 + 𝟑𝐚𝐛(𝐚 + 𝐛) 𝐚 − 𝐛 𝟑 = 𝐚𝟑 − 𝐛𝟑 − 𝟑𝐚𝐛(𝐚 − 𝐛)
(𝑥 +
1
𝑥
)3
= 43
𝑥3 +
1
𝑥3
+ 3 (𝑥)
1
𝑥
𝑥 +
1
𝑥
= 64
𝑥3 +
1
𝑥3
+ 3 ∙ 1 ∙ 4 = 64
∴ 𝑥3
+
1
𝑥3
= 52

6. DIFERENCIA DE CUADRADOS (PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA)
EJEMPLO 3
Simplifique la expresión 𝑇 = (2𝑚 − 𝑛)(2𝑚 + 𝑛) − (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛).
SOLUCIÓN
𝑇 = (2𝑚 − 𝑛)(2𝑚 + 𝑛) − (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛)
𝐚 + 𝐛 𝐚 − 𝐛 = 𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
𝑇 = (2𝑚)2
−𝑛2
− (𝑚2
− 𝑛2
)
𝑇 = 4𝑚2
− 𝑛2
− 𝑚2
+ 𝑛2
∴ 𝑇 = 3𝑚2

7. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (PRODUCTO DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO)
EJEMPLO 4
Simplifique la expresión 𝑃 = (𝑥 − 3)(𝑥2
+ 3𝑥 + 9) − (𝑥 + 3)(𝑥2
− 3𝑥 + 9).
SOLUCIÓN
𝑃 = (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9) − (𝑥 + 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 9)
𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐
− 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
𝑃 = (𝑥)3 −33 − (𝑥3 + 33)
𝑃 = 𝑥3 − 27 − 𝑥3 − 27
∴ 𝑃 = −54
𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐
+ 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂𝟑
− 𝒃𝟑