Manual de Álgebra Fundamentos y aplicaciones.pdf

ING. JOSÉ SANTOS CALVILLO DANIEL
MANUAL DE ÁLGEBRA: FUNDAMENTOS Y
APLICACIONES.
NUEVA ROSITA, COAH. OCTUBRE 2022

1. Nomenclatura.
2. Operaciones fundamentales.
3. Productos Notables.
4. Factorización.
5. Operaciones fundamentales con fracciones.
6. Fracciones algebraicas.
7. Potenciación.
8. Radicación: propiedades, modificación, semejanza y operaciones.
9. Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
13. Aplicaciones del álgebra.
14. Binomio de Newton.
15. Triángulo de Pascal.
16. División sintética (Regla de Ruffini).
17. Teorema del residuo y del factor.
18. Teorema fundamental del álgebra.
19. Fracciones parciales.
Contenido.
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

- Expresión algebraica. Combinación de números, literales y signos de operación.
- Término algebraico. También llamado monomio, consta de símbolos y literales.
- Términos semejantes. Términos que solo difieren en su coeficiente.
- Polinomio. Expresión con más de un término.
- Coeficiente. Indica las veces que se toma una cantidad.
- Grado de un polinomio. Se indica por el término que tenga mayor grado.
- Símbolos de agrupación. Paréntesis ordinario, de corchete, llaves y barra.
Reglas generales para suprimir símbolos de agrupación:
1) Símbolos precedidos de signo (+) se eliminan y deja el mismo signo;
precedidos del signo (−), se eliminan cambiando sus signos.
2) Para suprimir símbolos se procede del centro hacia afuera. Ejemplo:
−𝟐 −𝟑𝒂 − 𝒃 + −𝒂 + 𝟐𝒂 − 𝒃 − −𝒂 + 𝒃 + 𝟑𝒃 + 𝟒𝒂
= −2 −3𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 2𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 3𝑏 + 4𝑎
= −2 −3𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 2𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 − 3𝑏 + 4𝑎
= −2 −𝑎 − 2𝑏 = 𝟐𝒂 + 𝟒𝒃
1. Nomenclatura.

1) Adición. Operación de reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola
(suma). Tiene la propiedad de ser conmutativa y asociativa. Ejemplo:
𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 – 𝒄 + 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄= (3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) + (2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐) = 𝟓𝒂 + 𝟓𝒃
2) Sustracción. Para restar solo se cambian los signos a la cantidad que se va a
sustraer y se efectúa la suma algebraica. Ejemplo:
(𝟒𝒙– 𝟑𝒚 + 𝒛)– (𝟓𝒛 + 𝟐𝒙– 𝟔) = 4𝑥– 3𝑦 + 𝑧– 5𝑧– 2𝑥 + 6 = 𝟐𝒙– 𝟑𝒚– 𝟒𝒛 + 𝟔
3) Multiplicación. Operación para encontrar el producto dados sus factores.
asociativa (se pueden agrupar términos), conmutativa (no importa el orden);
y es distributiva (distribución de productos).
En la multiplicación se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:
Ley de los signos. Al multiplicar signos iguales dan (+) y contrarios (− )
Ley de los exponentes. Exponentes con igual base se suman. 𝒂𝒎
∙ 𝒂𝒏
= 𝒂𝒎+𝒏
Ejemplo (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑑𝒙 + 𝑏𝑐𝒙 + 𝑏𝑑 (distributiva); se suman
términos semejantes de término común 𝒂𝒄𝒙𝟐 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 𝒙 + 𝒃𝒅 (asociativa).

Ejemplos. Efectuar las siguientes multiplicaciones, aplicando la propiedad
distributiva y las leyes de los signos y los exponentes.
(1). −𝟑𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟓 = −𝟔𝒙𝟓
+ 𝟏𝟐𝒙𝟒
+ 𝟏𝟓𝒙𝟑
.
(2). 𝟕𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟒 = 14𝑥2
+ 28𝑥 − 6𝑥 − 12 = 14𝑥2
+ (𝟐𝟖𝒙 − 𝟔𝒙) − 12
= 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 (Se reducen términos semejantes)
4) División. Operación para encontrar el cociente, dados el dividendo y divisor.
Ley de los signos. Al dividir, signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (–)
Ley de los exponentes. Exponentes de una misma base se restan.
𝒂𝒎
𝒂𝒏 = 𝒂𝒎 −𝒏
Ejemplos. Realizar las divisiones aplicando leyes de signos y exponentes:
(1).
− 𝟐𝒙𝟓
𝟐𝒙𝟐= −1𝑥5 −2
= −𝒙𝟑
. Se resta exponente del denominador del numerador
(2).
𝟐𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟑 =1𝑥3 −3
= 1𝑥0
= 𝟏. Toda cantidad elevada a la cero es: 𝒂𝟎
= 𝟏
(3).
𝒙𝟑
𝒙𝟒 = 1𝑥−1
=
𝟏
𝒙
. Toda cantidad elevada a exponente negativo 𝒂−𝒏
=
𝟏
𝒂𝒏

Para dividir dos polinomios, la manera más común es hacerla de forma
tradicional, aplicando las leyes de los signos y de los exponentes.
Ejemplo. Dividir
𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏𝟎
𝒙+𝟐
𝟑𝒙 − 𝟒 (Cociente).
(Divisor) 𝑥 + 2 3𝑥2
+ 2𝑥 − 10 (Dividendo).
− 3𝑥2
(−) 6𝑥 (Se cambian signos al restar).
−4𝑥 − 10
+ 4𝑥 + 8 (Se cambian signos al restar).
− 𝟐 (Residuo).
Por el algoritmo de la división: 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝟑𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) + − 𝟐
Otra forma es:
3𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏𝟎
𝒙+𝟐
= (𝟑𝒙 − 𝟒) +
−𝟐
𝒙+𝟐

3. Productos notables.
Productos notables. Productos que se obtienen por inspección y ciertas reglas.
1) Propiedad distributiva. 𝒂 𝒃 + 𝒄 − 𝒅 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 − 𝒂𝒅. Ejemplos:
(1). 𝟐𝒙 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝟒𝒄 = 2𝑥 3𝑎 + 2𝑥 −2𝑏 + 2𝑥(4𝑐) = 𝟔𝒂𝒙 − 𝟒𝒃𝒙 + 𝟖𝒄𝒙
(2). 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟐 = 𝑥 𝑥 + 𝑥 −2 + 3(𝑥)+3 −2 = 𝑥2 − 2x + 3x − 6
Sumando términos semejantes: = 𝒙𝟐
+ 𝐱 − 𝟔
2) Binomio al cuadrado. 𝒂 ± 𝒃 𝟐. Produce un T.C.P según las reglas observadas:
𝒂 + 𝒃 𝟐
= 𝑎 2
+ 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂 − 𝒃 𝟐
= 𝑎 2
− 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2
= 𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios de acuerdo a la regla
(1). 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 𝟐
= 3𝑥 2
− 2 3𝑥 2𝑦 + 2𝑦 2
= 𝟗𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐
(2). 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 𝟐
= 2𝑎 2
+ 2 2𝑎 3𝑏 + 3𝑏 2
= 𝟒𝒂𝟐
+ 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
3) Binomios conjugados. 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 . Produce una diferencia de cuadrados.
Esto es: 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝑎 2
− 𝑏 2
= 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
.
Ejemplo. 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 2𝑥 2
− 3𝑦 2
= 𝟒𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐

4) Binomio al cubo. 𝒂 ± 𝒃 𝟑 Su producto: un tetranomio cubo perfecto. Su regla:
𝒂 + 𝒃 𝟑
= 𝑎 3
+ 3 𝑎 2
𝑏 + 3(𝑎) 𝑏 2
+ 𝑏 3
= 𝒂𝟑
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
+ 𝒃𝟑
𝒂 − 𝒃 𝟑
= 𝑎 3
− 3 𝑎 2
𝑏 + 3 𝑎 𝑏 2
− 𝑏 3
= 𝒂𝟑
− 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
− 𝒃𝟑
Ejemplos. Desarrollar los siguientes binomios, aplicando la regla:
(1). 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 𝟑 = 2𝑥 3 + 3 2𝑥 2 3𝑦 + 3 2𝑥 3𝑦 2 + 3𝑦 3
= 𝟖𝒙𝟑
+ 𝟑𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐
+ 𝟐𝟕𝒚𝟑
(2). 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 𝟑= 2𝑥 3 − 3 2𝑥 2 3𝑦 + 3 2𝑥 3𝑦 2 + 3𝑦 3
= 𝟖𝒙𝟑
− 𝟑𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐
− 𝟐𝟕𝒚𝟑
5) Binomios con término común. 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 . Su producto: un trinomio con
término común. Su regla:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃. Así, de acuerdo a la regla:
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) = 𝑥2
+ 3 + 4 𝑥 + 3 (4) = 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios aplicando la regla:
(1). 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑 = (𝑥)2+ (2 + 3)𝑥 + (2)(3) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
(2). 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟓 = (𝑥)2
+ (2 − 5)𝑥 + (2)(−5) = 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎
(3). 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟓 = (2𝑥)2
+ −3 − 5 2𝑥 + (−3)(−5) = 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓
6) Binomios con términos semejantes. 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒄𝒙 + 𝒅 . Su regla:
𝒂𝒙 + 𝒃 𝒄𝒙 + 𝒅 = (𝒂)(𝒄)𝒙𝟐
+ 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 𝒙 + (𝒃)(𝒅)
* Se suman productos extremos y medios (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄), por término común 𝒙
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios aplicando la regla:
(1). 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 = (𝒂)(𝒄)𝒙𝟐
+ 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 𝒙𝒚 + (𝒃)(𝒅)𝒚𝟐
* Se suman productos extremos y medios (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄) por términos comunes 𝒙𝒚
(2). 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟒 = (2)(3)𝑥2
+ 8 + 3 𝑥 + (1)(4) = 6𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 + 𝟒
(3). 𝟐𝒂 − 𝟑 𝟒𝒂 − 𝟓 =(2)(4)𝑎2 + −10 − 12 𝑎 + (−3)(−5)= 8𝒂𝟐 − 𝟐𝟐𝒂 + 𝟏𝟓
(4). 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 𝟓𝒙 − 𝟖𝒚 = 3 5 𝑥2 + −24 + 30 𝑥𝑦 + 6 −8 𝑦2
= 𝟏𝟓𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙𝒚 − 𝟒𝟖𝒚𝟐

4 Factorización.
Factorización. Proceso contrario a productos notables; es, obtener sus factores.
1) Polinomios con factor común. Vienen de la propiedad distributiva. Ejemplos:
(1). Factorizar: 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 − 𝒂𝒅.
𝑎 es factor común monomio de 𝑎𝑏, 𝑎𝑐 y 𝑎𝑑
Luego: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 = 𝒂 𝒃 + 𝒄 − 𝒅
(2). Factorizar: 𝟒𝒂𝟑
+ 𝟔𝒂𝟐
𝒃
2𝑎2
es factor común monomio de menor grado de 4𝑎3
y 6𝑎2
𝑏
Luego: 4𝑎3
+ 6𝑎2
𝑏 = 𝟐𝒂𝟐
𝟐𝒂 + 𝟑
(3). Factorizar: 𝟓𝒂𝟐
𝒃𝒙𝟒
− 𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐
𝒙𝟑
+ 𝟐𝟎𝒂𝒃𝟑
𝒙𝟒
5𝑎𝑏𝑥3 es factor monomio de menor grado de 5𝑎2𝑏𝑥4, −15𝑎𝑏2𝑥3; y, 20𝑎𝑏3𝑥4
Luego: 𝟓𝒂𝟐𝒃𝒙𝟒 − 𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝟎𝒂𝒃𝟑𝒙𝟒 = 𝟓𝒂𝒃𝒙𝟑 𝒂𝒙 − 𝟑𝒃 + 𝟒𝒃𝟐𝒙
(4). Factorizar: 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒂 + 𝒃 𝒅
𝑎 + 𝑏 es factor común polinomio de 𝑎 + 𝑏 𝑐, y, de 𝑎 + 𝑏 𝑑
Luego: 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 𝑑 = 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅

4 Factorización.
2) Diferencia de cuadrados. 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
. Vienen de binomios conjugados. Ejemplos:
(1). Factorizar 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
𝑎2 − 𝑏2 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = Binomios conjugados.
(2). Factorizar 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐
4𝑥2 − 9𝑦2 = (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) = Binomios conjugados.
3) Agrupación de términos. Provienen de un factor común polinomio. Ejemplos:
(1). Factorizar 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
=𝑎 𝒄 + 𝒅 + 𝑏 𝒄 + 𝒅 = (𝒄 + 𝒅)(𝒂 + 𝒃)
(2). Factorizar 𝒂𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒄𝒚 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑦 + 𝑐𝑦
= 𝑥 𝒂 + 𝒄 + 𝑦 𝒂 + 𝒄 = (𝒂 + 𝒄)(𝒙 + 𝒚)
(3). Factorizar 𝟐𝒂𝒙 − 𝟒𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 − 𝟐𝒃𝒚 = 2𝑎𝑥 − 4𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 − 2𝑏𝑦
= 2𝑥(𝒂 − 𝟐𝒃) + 𝑦 𝒂 − 𝟐𝒃 = (𝒂 − 𝟐𝒃)(𝟐𝒙 + 𝒚)

4 Factorización.
4) Trinomio cuadrado perfecto. T.C.P. 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐. Provienen de 𝒂 ± 𝒃 𝟐
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios, analizando si son T.C.P
(1). 𝟒𝒂𝟐
+ 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
4𝑎2 ± 9𝑏2. Tienen raíz cuadrada exacta.
(2𝑎 +3𝑏). Signo (+) por ser signo intermedio.
12𝑎𝑏 =2 2𝑎 3𝑏 es el doble del primero por el segundo, es s un T.C.P.
Por lo tanto: 𝟒𝒂𝟐
+ 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
= 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 𝟐
(2). 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗
4𝑥2 ± 9 : Tienen raíz cuadrada exacta.
(2𝑥 − 3). Signo (−) por ser signo intermedio.
−12𝑥 = 2 2x −3 , es el doble del primero por el segundo, es un T.C.P.
Luego: 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐

4 Factorización.
5) Trinomios forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Provienen de binomios con término común
𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 = 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 . Ejemplos: Factorizar:
(1). 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟑)
(4 + 3)𝑥 = 𝟕𝒙; (4)(3) = 12
(2). 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟎 = (𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒)
−5 + 4 𝑥 = −𝒙; (−5)(4) = −𝟐𝟎
(3). 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝒙 − 𝟓 𝒙 − 𝟑
−5 − 3 𝑥 = −𝟖𝒙; −5 −3 = + 15
(4). 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟒)
Nota. Si el signo del tercer término es (+), surge de dos signos iguales al del
segundo término (Ver ejemplos 1 y 3); si es (−), proviene de dos signos
contrarios, empezando por el del segundo término (Ver ejemplos 2 y 4).

4 Factorización.
6) Trinomio forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 . Vienen de binomios con términos semejantes.
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. Ejemplos: Factorizar:
(1). 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟑
(2 𝑥 +3) → (2)(+3) 𝑥 = + 6 𝑥
(2 𝑥 +1) → (2)(+1) 𝑥 = + 2 𝑥
= 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏 (6 + 2)𝑥 = 𝟖𝒙; (+3)(+1) = + 3
(2). 𝟔𝒙𝟐
− 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟎
(2 𝑥 −5) → 3 −5 𝑥 = − 15𝑥
(3 𝑥 +2) → 2 +2 𝑥 = + 4 𝑥
= 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟑𝒙 + 𝟐 −15 + 4 𝑥 = − 𝟏𝟏𝒙; (−5)(+2) = −𝟏𝟎
(3). 8𝒂𝟐 − 𝟐𝟐𝒂𝒃 + 𝟏𝟓𝒃𝟐
(4𝑎 −5𝑏) → (2)(−5) 𝑎𝑏 = −10𝑎𝑏
(2𝑎 −3𝑏) → (4)(−3) 𝑎𝑏 = −12𝑎𝑏
= 𝟒𝒂 − 𝟓𝒃 𝟐𝒂 − 𝟑𝒃 −𝟐𝟐𝒂𝒃; (−5𝑏)( − 3𝑏) = + 15 𝒃𝟐

4 Factorización.
7) Completando el T.C.P. Trinomio por adición y sustracción. Ejemplos. Factorizar:
(1). 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 = (4𝑥2 + 12𝑥 + 1 + 𝟖) − 𝟖 = (4𝑥2 + 12𝑥 + 9) −8
4𝑥2 𝟗 = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟐
−𝟖
2𝑥 +3
𝟏𝟐𝒙 = 2(2𝑥)(𝟑). Adicionar y restar 8 unidades para completar T.C.P.
(2). 𝒂𝟒
+ 𝒂𝟐
𝒃𝟐
+ 𝒃𝟒
= (𝑎4
+ 𝑎2
𝑏2
+ 𝒂𝟐
𝒃𝟐
+ 𝑎4
) − 𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝑎4 𝑏4; = (𝑎4
+2𝑎2
𝑏2
+ 𝑎4
) − 𝑎2
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑏2 2
−𝑎2
𝑏2
𝑎2 +𝑏2; = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒂𝒃 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒂𝒃
2(𝑎2)(𝑏2) = 2𝒂𝟐𝒃𝟐. Adicionar y restar 𝒂𝟐𝒃𝟐 para completar el T.C.P.
(3). 𝟐𝟓𝒙𝟒
− 𝟏𝟑𝟗𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 𝟖𝟏𝒚𝟒
= (25𝑥4
− 139𝑥2
𝑦2
+ 𝟒𝟗𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 81𝑦4
) − 𝟒𝟗𝒙𝟐
𝒚𝟐
25𝑥4 ± 81𝑦4; = (25𝑥4
− 𝟗𝟎𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 81𝑦4
) − 49𝑥2
𝑦2
5𝑥2
−9𝑦2
; = 𝟓𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐 𝟐
− 𝟒𝟗𝒙𝟐
𝒚𝟐
2(5𝑥2)(−9𝑦2) = −𝟗𝟎𝒙𝟐𝒚𝟐; = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 + 𝟕𝒙𝒚 𝟓𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 − 𝟕𝒙𝒚
Adicionar y restar 𝟒𝟗𝒙𝟐
𝒚𝟐
para el T.C.P. Esto es: −139𝑥2
𝑦2
+ 49𝑥2
𝑦2
= −𝟗𝟎𝒙𝟐
𝒚𝟐

4 Factorización.
8) Suma de dos cubos. 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
. Provienen del cociente notable
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
. Esto es:
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
. Despejando: 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
= (𝒂 + 𝒃)( 𝒂𝟐
− 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
). Ejemplo:
Factorizar: 𝟖𝒙𝟑
+ 𝟔𝟒
3
8𝑥3 +
3
64;
(2𝑥 + 4)
Luego 8𝑥3
+ 64=(2𝑥 + 4) 2𝑥 2
− 2𝑥 4 + 4 2
=(𝟐𝒙 + 𝟒)(𝟒𝒙𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔)
9) Diferencia de dos cubos. 𝒂𝟑− 𝒃𝟑. Provienen del cociente notable
𝑎3−𝑏3
𝑎−𝑏
. Esto es:
𝑎3−𝑏3
𝑎−𝑏
= 𝑎2 +𝑎𝑏 + 𝑏2. Despejando: 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 =(𝒂 − 𝒃)( 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐). Ejemplo:
Factorizar: 𝟖𝒙𝟑
− 𝟔𝟒
3
8𝑥3 −
3
64;
(2𝑥 − 4)
Luego 8𝑥3
− 64=(2𝑥 − 4) 2𝑥 2
+ 2𝑥 4 + 4 2
=(𝟐𝒙 − 𝟒)(𝟒𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔)

1) Suma y resta.
- Con el mismo denominador:
𝒂
𝒄
±
𝒃
𝒄
=
𝒂 ± 𝒃
𝒄
. Así:
𝟐
𝟕
+
𝟑
𝟕
=
2 + 3
7
=
𝟓
𝟕
- Con distinto denominador:
𝒂
𝒄
±
𝒃
𝒅
=
𝒂 ± 𝒃
𝒃𝒅
. Así:
𝟒
𝟓
−
𝟑
𝟒
=
16 − 15
20
=
𝟏
𝟐𝟎
Cuando hay varios denominadores se busca el mínimo común múltiplo M.C.M
también llamado mínimo común denominador M.C.D de todos.
Ejemplo. Efectuar la siguiente operación:
𝟑
𝟒
−
𝟒
𝟓
+
𝟏
𝟏𝟎
𝟑
𝟒
−
𝟒
𝟓
+
𝟏
𝟏𝟎
=
15 − 16 + 2
20
=
𝟏
𝟐𝟎
4 5 10 2
2 5 5 2 = (2)(2)(5) = 20. M.C.M o M.C.D de todos los denominadores.
1 5 5 5
1 1

2) Multiplicación.
𝒂
𝒃
∙
𝒄
𝒅
=
𝒂 𝒄)
(𝒃)(𝒅)
. Ejemplo: .
𝟐𝒙
𝟓
∙
𝟑𝒚
𝟒
=
6𝑥𝑦
20
=
𝟑𝒙𝒚
𝟏𝟎
3) División.
𝒂
𝒃
÷
𝒄
𝒅
=
(𝒂)(𝒅)
(𝒃)(𝒄)
. Usando inverso multiplicativo:
𝒂
𝒃
∙
𝒅
𝒄
=
𝒂 (𝒅)
(𝒃)(𝒄)
. Ejemplos:
(1).
𝒂
𝒃
÷ 𝒄 =
𝑎
𝑏
÷
𝑐
1
=
(𝑎)(1)
(𝑏)(𝑐)
=
𝒂
𝒃𝒄
. Usando inverso multiplicativo:
𝒂
𝒃
∙
𝟏
𝒄
=
𝒂
𝒃𝒄
(2).
𝟐𝒙
𝟓
÷
𝟑𝒚
𝟒
=
(2𝑥)(4)
(5)(3𝑦)
=
𝟖𝒙
𝟏𝟓𝒚
. Invertir divisor y multiplicar:
𝟐𝒙
𝟓
∙
𝟒
𝟑𝒚
=
𝟖𝒙
𝟏𝟓𝒚
(3).
𝟑𝒙
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟑𝒚
=
(3𝑥)(3𝑦)
(2𝑦)(2𝑥)
=
9𝑥𝑦
4𝑥𝑦
=
𝟗
𝟒
. Invertir divisor y multiplicar:
𝟑𝒙
𝟐𝒚
∙
𝟑𝒚
𝟐𝒙
=
𝟗𝒙𝒚
𝟒𝒙𝒚
=
𝟗
𝟒
4) Fracción compuesta. Fracciones combinadas de operaciones. Ejemplos:
(1).
𝒂 −
𝟏
𝒂
𝟏 +
𝟏
𝒂
=
𝒂
𝟏
−
𝟏
𝒂
𝟏
𝟏
+
𝟏
𝒂
=
𝒂𝟐 − 𝟏
𝒂
𝒂 + 𝟏
𝒂
=
𝑎 𝑎2−1
𝑎 𝑎+1
=
(𝑎2−1)
(𝑎+1)
=
(𝑎+1)(𝑎−1)
(𝑎+1)
= 𝒂 − 𝟏
(2).
𝟏 +
𝟏
𝒙
𝒙 −
𝟏
𝒙
=
𝟏
𝟏
+
𝟏
𝒙
𝒙
𝟏
−
𝟏
𝒙
𝒙 + 𝟏
𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙
=
𝒙(𝒙+𝟏)
𝒙 𝒙𝟐−𝟏
=
(𝒙+𝟏)
𝒙𝟐−𝟏
=
(𝒙+𝟏)
(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)
=
𝟏
𝒙−𝟏

6. Fracciones algebraicas.
1) Simplificación de fracciones algebraicas. Se usa la factorización. Ejemplos:
(1).
𝒙𝟑+𝟒𝒙𝟐−𝟐𝟏𝒙
𝒙𝟑−𝟗𝒙
=
𝑥(𝑥2+4𝑥−21)
𝑥(𝑥2−9)
=
𝑥2+4𝑥−21
𝑥2−9
=
𝑥+7 𝑥−3
𝑥+3 𝑥−3
=
𝒙+𝟕
𝒙+𝟑
(2).
𝒂𝟒+𝟔𝒂𝟐−𝟕
𝒂𝟒+𝟖𝒂𝟐−𝟗
=
𝑎2+7 𝑎2−1
𝑎2+9 𝑎2−1
=
𝒂𝟐+𝟕
𝒂𝟐+𝟗
2) Operaciones con fracciones algebraicas.
2.1) Suma y resta. El denominador es M.C.M. de factores obtenidos. Ejemplos:
(1).
𝟏
𝒂+𝟏
+
𝟏
𝒂−𝟏
=
𝑎−1+𝑎+1
𝒂+𝟏 𝒂−𝟏
=
2𝑎
𝒂+𝟏 𝒂−𝟏
=
𝟐𝒂
𝒂𝟐−𝟏
(2).
𝟐
𝒙−𝟓
−
𝒙
𝒙𝟐−𝟐𝟓
=
2
𝑥−5
−
𝑥+3
(𝑥+5)(𝑥−5)
=
2 𝑥−5 −(𝑥+3)
(𝑥+5)(𝑥−5)
=
2𝑥−10−𝑥−3
(𝑥+5)(𝑥−5)
=
𝒙−𝟏𝟑
𝒙𝟐−𝟐𝟓
(3).
𝟏−𝒙
𝟏𝟓𝒙𝟐 −
𝟐𝒙+𝟑
𝟑𝒙𝟑 +
𝒙+𝟏
𝟔𝒙
=
2𝑥 1−𝑥 −10 2𝑥+3 +5𝑥2(𝑥+1)
𝟑𝟎𝒙𝟑 =
2𝑥−2𝑥2−20𝑥−30+5𝑥3+5𝑥2
𝟑𝟎𝒙𝟑
15 3 6 2 =
𝟓𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐−𝟏𝟖𝒙−𝟑𝟎
𝟑𝟎𝒙𝟑
15 3 3 3 = (2)(3)(5) = 30 = M.C.M.
5 1 1 5
1

6. Fracciones algebraicas: simplificación y operaciones.
2.2) Multiplicación. Se usa factorización y propiedades de fracciones. Ejemplos:
(1).
𝟔𝒙−𝟏𝟐
𝟒𝒙𝒚+𝟒𝒙
∙
𝒚𝟐−𝟏
𝟐−𝟑𝒙+𝒙𝟐 =
6 𝑥−2 𝑦+1 𝑦−1
4𝑥 𝑦+1 𝑥−2 𝑥−1
=
6(𝑦−1)
4𝑥(𝑥−1)
=
𝟑(𝒚−𝟏)
𝟐𝒙(𝒙−𝟏)
* 2 − 3𝑥 + 𝑥2
= 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 𝑥 − 2 𝑥 − 1 . Propiedad conmutativa.
(2).
𝒂𝒙+𝒂𝒃+𝒄𝒙+𝒃𝒄
𝒂𝟐−𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝟐𝒂𝒙+𝒂𝟐
𝒙𝟐+ 𝒂+𝒃 𝒙+𝒂𝒃
=
𝑥 𝑎+𝑐 +𝑏(𝑎+𝑐) (𝑥−𝑎)2
𝑎+𝑥 𝑎−𝑥 𝑥+𝑎 𝑥+𝑏
=
(𝑎+𝑐)(𝑥+𝑏)(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑎)
(𝑥+𝑎)(𝑎−𝑥)(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)
= −
(𝑎+𝑐)(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑎)
= −
(𝑎+𝑐)(𝑥−𝑎)
(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑎)
= −
(𝒙−𝒂)(𝒂+𝒄)
𝒙+𝒂 𝟐
2.3) División. Puede usarse el inverso multiplicativo y multiplicar. Ejemplos:
(1).
𝒂𝟒−𝟏
𝒂𝟑+𝒂𝟐 ÷
𝒂𝟒+𝟒𝒂𝟐+𝟑
𝟑𝒂𝟑+𝟗𝒂
=
𝑎4−1
𝑎3+𝑎2
3𝑎3+9𝑎
𝑎4+4𝑎2+3
=
𝑎2+1 𝑎2−1 3𝑎 𝑎2+3
𝑎2 𝑎+1 𝑎2+3 𝑎2+1
=
3𝑎 𝑎2−1
𝑎2 𝑎+1
=
3𝑎(𝑎+1)(𝑎−1)
𝑎2 𝑎+1
=
𝟑(𝒂−𝟏)
𝒂
(2).
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔
𝒙𝟐+𝟕𝒙−𝟖
÷
𝟗−𝒙𝟐
𝟔𝟒−𝒙𝟐 =
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2+7𝑥−8
64−𝑥2
9−𝑥2 =
(𝑥−3)(𝑥−2) 8+𝑥 8−𝑥
𝑥+8 𝑥−1 3+𝑥 3−𝑥
=
(𝑥−3)(𝑥−2) 8−𝑥
𝑥−1 3+𝑥 3−𝑥
= −
(3−𝑥)(𝑥−2)(8−𝑥)
(𝑥−1)(3+𝑥)(3−𝑥)
= −
(𝒙−𝟐)(𝟖−𝒙)
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟑)

7. Potenciación.
Potencias.
- Potencia exponente positivo. (𝒂)𝒏
= 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙∙∙ 𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔. Asi, (2)3
= 2∙ 2∙ 2 = 8
- Potencia exponente cero. (𝒂)𝟎 = 1. Así, −3𝑥 0 = 1
- Potencia exponente negativo. (𝒂)−𝒏
=
𝟏
(𝒂)𝒏. Así, 2−3
=
1
(2)3 =
𝟏
𝟖
- Potencia exponente fraccionario positivo. (𝒂)
𝒎
𝒏 =
𝒏
𝒂 𝒎. Así, (4)
2
3=
3
42 =
3
16
- Potencia exponente fraccionario negativo. (𝒂)−
𝒎
𝒏 =
𝟏
(𝒂)
𝒎
𝒏
. Así, 8−
2
3 =
1
3
82
=
1
3
64
=
𝟏
𝟒
Propiedades de la potenciación.
1) (𝑎)𝑝
. (𝑎)𝑞
= (𝑎)𝑝+𝑞
. Así, 𝑥2
∙ 𝑥3
= 𝒙𝟓
2) (𝑎𝑝
)𝑞
= (𝑎)𝑝𝑞
. Así, (22)3 = (2)6 = 64
3)
(𝑎)𝑝
(𝑎)𝑞 = (𝑎)𝑝−𝑞
. Así,
53
52= 51 = 5
𝟒) 𝑎𝑏 𝑝
= (𝑎)𝑝
∙ (𝑏)𝑝
. Así, 2 ∙ 3 3
= 23
∙ 33
= 8 ∙ 27 = 216
5)
𝑎
𝑏
𝑝
=
(𝑎)𝑝
(𝑏)𝑝. Así,
2
3
5
=
(2)5
(3)5 =
𝟑𝟐
𝟐𝟒𝟑

8. Radicación.
Radicales.
1) Propiedades de la radicación.
a. Potencia enésima de una raíz enésima. (𝑛
𝑎)𝑛 = 𝑎.
b. Raíz enésima de un producto.
𝑛
𝑎𝑏 = 𝑛
𝑎 ∙
𝑛
𝑏
c. Raíz enésima de un cociente.
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
d. Raíz enésima de una potencia emécima.
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑛
𝑎 𝑚
e. Raíz enésima de una raíz emécima.
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑛𝑚
𝑎
2) Modificación de un radical.
a. Sacando fuera de la raíz las potencias enésimas del subradical. Ejemplo:
𝟑
𝟑𝟐 =
3
8 ∙ 4 =
3
8 ∙
3
4 = 𝟐
𝟑
𝟒
b. Reduciendo el índice del radical. Ejemplo:
𝟒
𝟔𝟒 =
4
26 = 2
6
4 = 2
3
2 = 23 = 8 = 4 ∙ 2 = 2 𝟐
c. Racionalizando el denominador en el subradical. Ejemplo:
-
𝟏
𝟐
=
1
2
=
1
2
=
1
2
2
2
=
𝟐
𝟐

8. Radicación.
3) Radical binomio en numerador o denominador. Se usa el conjugado.
Ejemplo.
𝟓
𝟑+ 𝟐
=
5( 𝟑− 𝟐)
( 3+ 2)( 𝟑− 𝟐)
=
5 3−5 2
3
2
− 2
2 =
5 3−5 2
𝟏
= 𝟓 𝟑 − 𝟓 𝟐
4) Semejanza de radicales. Igual índice y subradical, sin importar coeficiente.
Ejemplo. 𝟖 ≃ 𝟑𝟐, porque 8 = 2 2 y 32 = 4 2. Luego 2 𝟐 ≃ 4 𝟐
5) Operaciones con radicales.
a. Suma y resta. Se reducen y suman algebraicamente radicales semejantes.
Ejemplo. 𝟖 + 𝟐𝟕 – 𝟓𝟎 + 𝟒𝟖 = 4 ∙ 2 + 9 ∙ 3 − 25 ∙ 2 + 16 ∙ 3
= 2 2 + 3 3 − 5 2 + 4 3 = 𝟕 𝟑 − 𝟑 𝟐
b. Multiplicación de radicales. Se tienen dos casos:
- Mismo índice. Se aplica la propiedad 𝒏
𝒂 ∙
𝒏
𝒃 =
𝒏
𝒂 ∙ 𝒃. Ejemplo:
𝟑
𝟏𝟔 ∙
𝟑
𝟒 =
3
16 ∙ 4 =
3
64 = 4
- Distinto índice. Conviene utilizar exponentes fraccionarios. Ejemplos:
(1).
𝟑
𝟒 ∙ 𝟐 =
3
22 ∙ 2 = 2
2
3 ∙ 2
1
2 = 2
7
6 =
6
27 =
6
26 ∙ 2 = 2
𝟔
𝟐
(2).
𝟑
𝟓 ∙ 𝟐 = 5
1
3 ∙ 2
1
2 = 5
2
6 ∙ 2
3
6 =
6
52 ∙ 23 =
6
25 ∙ 8 =
𝟔
𝟐𝟎𝟎

8. Radicación.
c. División de radicales. Se tienen dos casos:
- Mismo índice. Se aplica la propiedad
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
=
𝒂
𝒃
. Ejemplos:
(1).
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟐
=
3 16
2
=
3
8 = 2
(2).
𝟏𝟎 𝟔
𝟓 𝟐
= 2
6
2
= 𝟐 𝟑
(3).
𝟏
𝒙𝟓/𝟒𝒃𝟐𝒄𝟐
𝒙𝒃𝟏/𝟐𝒄𝟓/𝟒
=
1
𝑥1/4𝑏3/2𝑐3/4
1
=
1
𝑥1/4𝑏6/4𝑐3/4
1
=
1
4
𝑥𝑏6𝑐3
=
1
4
𝑥𝑏6𝑐3
3
(
4
𝑥𝑏6𝑐3)(
4
𝑥𝑏6𝑐3)3
=
4
𝑥𝑏6𝑐3
3
𝒙𝒃𝟔𝒄𝟑
* En la división, exponentes de una misma base se restan.
- Distinto índice. Conviene usar exponentes fraccionarios. Ejemplos:
(1).
𝟔
𝟒
𝟐
=
6
1
2
2
1
4
=
6
2
4
2
1
4
=
4 62
2
=
4 36
2
=
𝟒
𝟏𝟖
(2).
𝟑
𝟒
𝟐
=
2
2
3
2
1
2
=
2
4
6
2
3
6
= 2
1
6 =
𝟔
𝟐

9. Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
1) Ecuación algebraica. Igualdad que se resuelve por despeje. Ejemplo:
𝒙−𝟑
𝟐
=
𝟐𝒙+𝟒
𝟓
; 5 𝑥 − 3 = 2(2𝑥 + 4); 5𝑥 − 15 = 4𝑥 + 8; 𝒙 = 𝟐𝟑
2) Ecuación exponencial. Se resuelve igualando bases y exponentes. Ejemplos:
(1). 𝟖𝒙 ∙ 𝟖𝒙 ∙ 𝟐𝟑𝒙= 512; 23𝑥 ∙ 23𝑥 ∙ 23𝑥 = 29; 29𝑥 = 29; 9𝑥 = 9; 𝒙 = 𝟑
(2). 𝟒 + 𝟏𝟓
𝒙
+ 𝟒 − 𝟏𝟓
𝒙
= 8. Usando el conjugado de (4 + 15)
(4 + 15)(4 − 15) = 16 – 15 = 1; despejando: (4 − 15) =
1
(4+ 15)
Sustituyendo: 4 + 15
𝑥
+
1
4+ 15
𝑥 = 8. Cambiando variable: 𝑦 = 4 + 15
𝑥
Sustituyendo: 𝑦 +
1
𝑦
= 8; multiplicando por (𝑦): 𝑦2 + 1 = 8𝑦; 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎
Usando formula general: 𝒙 =
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
, con 𝑎=1, 𝑏= −8, 𝑐= 1:
𝑥 =
−(−8)± (−8)2−4(1)(1)
2(1)
, 𝒚𝟏 = 4+ 𝟏𝟓, 𝒚𝟐 = 4 − 𝟏𝟓
Para 𝑦1 = 4 + 15 = 4 + 15
𝑥
, por bases iguales: 𝒙𝟏 = 𝟏
Para 𝑦2 = 4 − 15 =
1
4+ 15
𝑥 = 4 + 15
−𝑥
, entonces: 𝒙𝟐 = −𝟏

10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
1) Sistema 2x2. Puede ser resuelto por cualquiera de los siguientes métodos:
a. Método de reducción (suma y resta).
Ejemplo (1). Resolver el siguiente sistema:
(1)
(2)
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
1º. Multiplicar Ec. ( 1) por 2: 18𝑥 + 22𝑦 = −28 (3)
Multiplicar Ec. (2) por −3: −18𝑥 + 15𝑦 = 102 (4)
37𝑦 = 74; 𝒚 = 𝟐
2º. Sustituir y = 2 en (1): 9𝑥 + 11(2) = −14; 9𝑥 = −36; 𝒙 = −𝟒
b. Método de sustitución. Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
1º. Despejar 𝑥 de Ec. (1) y sustituir en Ec. (2): 𝑥 =
−14−11𝑦
9
(3)
6
−14−11𝑦
9
− 5y = −34;
−84−66𝑦
9
− 5y = −34 (4)
2º. Multiplicar Ec. (4) por 9: −84 − 66𝑦 − 45𝑦 = −306; −111𝑦 = −222; 𝒚 = 𝟐

c. Método de Igualación. Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
1º. Despejar 𝑥 de Ec. (1) y Ec. (2) e igualarlas: 𝑥 =
−14−11𝑦
9
(3); 𝑥 =
−34+5𝑦
6
(4)
−14−11𝑦
9
=
−34+5𝑦
6
; −84 − 66𝑦 = −306 + 45𝑦; −111𝑦 = −222; 𝒚 = 𝟐
d. Método por determinantes. Regla de Cramer. Fórmulas a utilizar:
𝒙 =
∆𝒙
∆
=
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑥"
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
; y=
∆𝒚
∆
=
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑦"
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Resolver por éste método el mismo ejemplo (1)
(1)
(2)
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
∆ =
9 11
6 −5
= (9)(−5) − (6)(11)= −𝟏𝟏𝟏. Se resta segundo producto cruzado.
∆𝒙 =
−14 11
−34 −5
= (−14)(−5) − (−34)(11)= 444. (Se intercambian los de 𝑥).
∆𝒚 =
9 −14
6 −34
= (9)(−34) − (6)(−14)= −𝟐𝟐𝟐. (Se intercambian los de 𝑦).
𝒙 =
∆𝒙
∆
=
444
−111
= −𝟒; y =
∆𝒚
∆
=
−222
−111
= 𝟐

e. Método Gráfico. Se resuelve para x, y en punto intersección P(x, y) de rectas.
Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
Ec. 1. 9x+11y= – 14
Ec. 2. 6x – 5y = – 34
P(-4, 2)
Los resultados coinciden con la solución gráfica en el punto de intersección
P( - 4, 2 ) de las líneas.

2) Sistema 3x3. Ejemplo (1). Resolver analítico y gráfico
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
a. Método de reducción. Se reducen por parejas de 2 en 2:
1º. Se multiplica (1) por 2 y se suma con la segunda ecuación
2)(2x – y + 2z = 6) = 4x – 2y + 4z = 12
x + 2y – 3z = – 4 → 1 + 2y − 3(3)= – 4 ; y = 2
5x + z = 8 (4)
2º. Se multiplica (1) por (– 1) y se suma con (3) y eliminar misma variable.
– 1 )(2x – y + 2z = 6) = – 2x + y – 2z = – 6
3x – y – 4z = – 11
x – 6z = – 17 (5) → 1 – 6 z = – 17 ; z = 3
3º. Se hacen simultáneas (4) y (5), multiplicando (4) por 6
6)(5x + z = 8) = 30x + 6z = 48
x – 6z = – 17
31x = 31; x = 1

b. Método de sustitución. Resolver el ejemplo (1):
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
1º. Despejar “x” en (1) sustituir en (2): 𝒙 =
𝒚−𝟐𝒛+𝟔
𝟐
(4).
2º. Sustituir (4) en (2):
𝑦−2𝑧+6
2
+ 2y – 3z = −4; y – 2z +6 + 4y – 6z = – 8;
= 𝟓𝒚 − 𝟖𝒛 = −14 (5)
3º. Sustituir (4) en (3): 3
𝑦−2𝑧+6
2
– y – 4z =– 11; 3y – 6z + 18 = 2y + 8z – 22;
= 𝑦 – 14𝑧 = −40; 𝒚 = 𝟏𝟒𝒛 − 𝟒𝟎 (6)
4º. Sustituir en (5): 5 14𝑧 − 40 – 8𝑧 = −14;
70𝑧 − 200 − 8𝑧 = −14; z = 3
5º. Sustituir z = 3 en (5): 5𝑦 – 8 3 = −14; 5𝑦 − 24 = −14; y = 2
6º. Sustituir valores obtenidos en (2): x + 2(2) – 3(3) = – 4; luego 𝒙 = 𝟏

c. Método de igualación. Resolver ejemplo (1):
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
1º. Despejar “x” en (1), (2) y (3):
𝑥 =
𝑦−2𝑧+6
2
(4); 𝑥 = −2𝑦 + 3𝑧 − 4 (5); 𝑥 =
𝑦+4𝑧−11
3
(6)
2º. Igualar (4) y (5):
𝑦−2𝑧+6
2
= −2𝑦 + 3𝑧 − 4; 𝑦 − 2𝑧 + 6 = −4𝑦 + 6𝑧 − 8;
5𝑦 = 8𝑧 − 14; 𝑦 =
8𝑧−14
5
(7)
3º. Igualar (4) y (6):
𝑦−2𝑧+6
2
=
𝑦+4𝑧−11
3
; 3𝑦 − 6𝑧 + 18 = 2𝑦 + 8𝑧 − 22;
𝑦 = 14𝑧 − 40 (8)
4º. Igualar en (7) y (8):
8𝑧−14
5
= 14𝑧 − 40; 8𝑧 − 14 = 70𝑧 − 200; 62z = 186
z = 3
5º. Sustituyendo z = 3 en (8): y = 14(3) −40 ; y = 2
6º. Sustituyendo valores de “z” y de “y” en (2): x + 2(2) – 3(3) = −4, x = 1

d. Método por determinantes. Resolver mismo ejemplo (1) anterior:
Se repiten abajo las dos primeras filas de coeficientes determinantes del sistema.
Se restan productos en diagonal de abajo para arriba, de los de arriba para abajo.
∆=
𝟐 −1 2
𝟏 𝟐 −3
𝟑 −𝟏 −𝟒
2 −𝟏 2
1 2 − 𝟑
=−𝟑𝟏. Se restan productos abajo de arriba.
= 2 2 −4 + 1 −1 2 + (3)(−1)(−3)
− 1 −1 −4 + 2 −1 −3 + 3 2 2 = −9 − 22 = −𝟑𝟏
Se repiten abajo las dos primeras filas de coeficientes cambiando la “x”.
∆𝒙 =
𝟔 −1 2
−𝟒 𝟐 −3
−𝟏𝟏 −𝟏 −𝟒
6 −𝟏 𝟐
−4 2 −𝟑
= −𝟑𝟏. 𝒙=
∆𝒙
∆
=
−𝟑𝟏
−𝟑𝟏
= 1
= 6 2 −4 + −4 −1 2 + (−11)(−1)(−3)
− −4 −1 −4 + 6 −1 −3 + (−11)(2)(2) = −73 + 42 = −𝟑

Se repiten abajo las dos primeras filas del determinante cambiando la “y”.
∆𝒚 =
2 6 2
1 −4 −3
3 −11 −4
2 6 2
1 −4 −3
= − 𝟔𝟐; 𝒚 =
−𝟔𝟐
−𝟑𝟏
=
−𝟔𝟐
−𝟑𝟏
= 2
= 2 −4 −4 + 1 −11 2 + (3)(6)(−3)
− 1 6 −4 + 2 −11 −3 + (3)(−4)(2) = −44 − 18 = − 𝟔𝟐
Se repiten a la derecha dos primeras columnas determinante cambiando la “z”.
∆𝒛 =
2
1
3
−1
2
−1
6
−4
−11
2
1
3
−1
2
−1
= −𝟗𝟑; 𝒛 =
∆𝒛
∆
=
−𝟗𝟑
−𝟑𝟏
= 3
= 2 2 −11 + −1 −4 3 + (6)(1)(−1)
− 3 2 6 + −1 −4 2 + (−11)(1)(−1) = −38 − 55 = −𝟗𝟑

e. Método Gráfico. Se resuelve para x, y, z en la intersección espacial P(x, y, z) de
las ecuaciones dadas. Resolver mismo ejemplo (1)
(𝑒𝑐1)
(𝑒𝑐2)
(𝑒𝑐3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
𝒆𝒄𝟏 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔; (𝐞𝐜𝟐) 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟒; (𝐞𝐜𝟑) 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟏𝟏
Conjunto Solución: P(1, 2, 3) * Elaborada con GeoGebra
P
z

Ecuación cuadrática. Es una igualdad formada al sustituir la “y” de la función
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 por cero: 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Se tienen 3 tipos:
• Incompletas puras: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; se resuelven por despeje.
• incompletas mixtas: 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 = 𝟎; se resuelven por factorización.
• Completas: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Se resuelven por factorización, completando
el T.C.P o, aplicando la formula general: 𝒙 =
𝟐𝒂
Ejemplos: Resolver cada ecuación, usando despeje o factorización en su caso:
(1) 𝟐𝒙𝟐
= 𝟓𝟎; 𝑥2
=
50
2
= 25; 𝑥 = ± 25; 𝒙𝟏 = 𝟓; 𝒙𝟐 = −𝟓
(2) 𝒙𝟐
= 𝟑𝒙; 𝑥2
− 3𝑥 = 0; 𝑥 𝑥 − 3 = 0; 𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = 𝟑
(3) 𝒚 = 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎; 𝑥2
− 3𝑥 − 10 = 0. Factorizando: 𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0
Igualando a cero cada factor: 𝒙𝟏 = 𝟓; 𝒙𝟐 = −𝟐
(4) 𝒙 = 𝟗𝒙 + 𝟐𝟐; 𝑥2 = 9𝑥 + 22; 𝑥2 − 9𝑥 − 22 = 𝑥 − 11 𝑥 + 2 =0
𝒙𝟏 = 𝟏𝟏; 𝒙𝟐 = −𝟐

Ejemplo (5). Hallar las raíces de la ecuación 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, completando T.C.P
1º. Dividir la ecuación entre 𝑎 despejando “c”:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥
𝑎
=
−𝑐
𝑎
; 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 =
−𝑐
𝑎
2º. Completar el TCP agregando tercer término al cuadrado de 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 en
ambos lados, entendiendo que, si
𝒃
𝒂
es el doble, su mitad es:
𝒃
𝒂
÷ 2 =
𝒃
𝟐𝒂
:
𝑥2+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝒃
𝟐𝒂
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝒃
𝟐𝒂
2
→ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2
4𝑎2 +
−𝑐
𝑎
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 .
3º. Sacando raíz en ambos miembros: 𝑥 +
𝑏
2𝑎
=
± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
; 𝒙 =
𝟐𝒂
4º. Raíces de la ecuación: 𝒙𝟏 =
−𝒃+ 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
; 𝒙𝟐 =
−𝒃− 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
a. Si el Discriminante 𝑏2
−4𝑎𝑐 < 0. (Negativo). Solución imaginaria.
b. Si el Discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0. (Positivo). Soluciones reales y diferentes.
c. Si el Discriminante 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0. Soluciones reales iguales.
Ejemplo (6). Resolver 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 usando la formula general:
En este caso 𝑎=3, b= − 4 y c = 1; y, sustituir en las raíces de la forma general
𝒙𝟏 =
−(−4)+ (−4)2−4(3)(1)
2(3)
= 1; 𝒙𝟐 =
− −4 − (−4)2−4(3)(1)
2(3)
=
2
6
=
𝟏
𝟑

Sistemas de ecuaciones cuadráticas. Existen, por lo menos, 3 tipos de sistemas de
ecuaciones que involucran ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas:
1) Una ecuación lineal y una cuadrática.
Ejemplo (1). Resolver el sistema:
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
𝒙 + 𝒚 = 𝟕
Aplicando método de sustitución:
1º Se despeja 𝑥 de (2): 𝑥 = −𝑦 + 7, luego se sustituye en (1):
(−𝑦 + 7)2+𝑦2 = 25; 𝑦2 − 14𝑦 + 49 + 𝑦2= 25; 2𝑦2 − 14𝑦 + 49 − 25=0:
Luego 2𝑦2
− 14𝑦 + 24 = 0; simplificando: 𝑦2
− 7𝑦 + 12 = 0
2º. Factorizando: 𝑦2 − 7𝑦 + 12 = 𝑦 − 4 𝑦 − 3 = 0; 𝑦1 = 4; 𝑦2 = 3
3º. Sustituyendo 𝑦1 = 4 en (1): 𝑥 + (4) = 7; 𝑥1 = 3. 𝑃1 = (3, 4)
𝑦2 = 3 en (1): 𝑥 + (3) = 7; 𝑥2 = 4. 𝑃2 = (4, 3)
Las 2 soluciones son: 𝑷𝟏 = (𝟑, 𝟒) y 𝑷𝟐 = (𝟒, 𝟑)

Aplicando método gráfico, ejemplo (1)
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 = 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝒙 + 𝒚 = 𝟕 = 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂
Se trata de encontrar puntos de intersección entre la recta y la circunferencia.
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución: los puntos de intersección entre la recta secante a la elipse:
𝑷𝟏 = (𝟑, 𝟒) y 𝑷𝟐 = (𝟒, 𝟑)

2) Dos ecuaciones de forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒚𝟐
= 𝒄
Ejemplo (1):
(𝟏)
(𝟐)
𝟐𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
= 𝟕
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏𝟒
Aplicando método de reducción (Suma y resta)
1º. Se multiplica (1) por 2 y suma (2):
2) 2𝑥2
− 𝑦2
= 7 = 4𝑥2
− 2𝑦2
= 14
3𝑥2
+ 2𝑦2
= 14
7𝑥2
= 28; 𝑥2
= 4; 𝑥 = ±2
2º. Para 𝒙𝟏 = 𝟐, sustituyendo en (2): 3(2)2 + 2𝑦2 = 14; 2𝑦2 = 2; y= ± 𝟏
3º. Para 𝒙𝟐 = −𝟐, sustituyendo en (2): 3(−2)2 + 2𝑦2 = 14; 2𝑦2 = 2; y= ± 𝟏
Las 4 soluciones son: (𝟐, 𝟏), (𝟐, −𝟏); (−𝟐, 𝟏), (−𝟐, −𝟏)

Aplicando método gráfico, ejemplo (1):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝟐𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟕 = 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏𝟒 = 𝑬𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
Conjunto solución: puntos de intersección entre la elipse y la hipérbola:
𝑷𝟏 𝟐, 𝟏 ; 𝑷𝟐(𝟐, −𝟏); 𝑷𝟑(−𝟐, 𝟏), 𝑷𝟒(−𝟐, −𝟏)

3) Dos ecuaciones de forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙𝒚 + 𝒄𝒚𝟐
= 𝒅. Existen 2 métodos
Ejemplo (1) Resolver el sistema:
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐
+ 𝒙𝒚 = 𝟔
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟏𝟎
Método 1. Eliminar términos independientes.
1º. Multiplicar (1) por 5 y (2) por − 3 y sumarlas algebraicamente:
5𝑥2 + 5𝑥𝑦 = 30 (3)
−3𝑥2 − 15𝑥𝑦 + 12𝑦2= − 30 (4)
2𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 12𝑦2 = 0; simplificando: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟎 (5)
2º. Factorizando 𝑥2
− 5𝑥𝑦 + 6𝑦2
= 𝑥 − 3𝑦 𝑥 − 2𝑦 = 0; 𝒙𝟏 = 𝟑𝒚; 𝒙𝟐 = 𝟐𝒚
3º. Para 𝑥1 = 3𝑦, sustituir en (1): 3𝑦 2+(3y)y=6; 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
→ 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
4º. Para 𝑥2 = 2𝑦, sustituir en (1): 2𝑦 2
+(2y)y=6; 𝒚𝟐= ± 𝟏 → 𝒙𝟐 = ± 𝟐
Las 4 soluciones son: 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ± 𝟏

Método 2. Haciendo 𝒚 = 𝒎𝒙 en ambas ecuaciones del ejemplo anterior:
1º. De (1) 𝑥2 + 𝑚𝑥2= 6 (3). Factorizando: 𝑥2(𝑚+1)= 6; luego 𝒙𝟐 =
𝟔
𝟏+𝒎
(5)
De (2) 𝑥2 + 5𝑚𝑥2 − 4𝑚2𝑥2 = 10 (4). Factorizando 𝑥2 1 + 5𝑚 − 4𝑚2 = 10
Despejando: 𝒙𝟐
=
10
1+5𝑚−4𝑚2 (6)
2º. Igualando (5) y (6):
𝟔
𝟏+𝒎
=
10
1+5𝑚−4𝑚2; 6 + 30𝑚 − 24𝑚2= 10 + 10𝑚;
reduciendo: 24𝑚2 − 20𝑚 + 4 = 0; simplificando: 6𝑚2 − 5𝑚 + 1 = 0 (7)
3º Factorizando (7): 6𝑚2
− 5𝑚 + 1 = 3𝑚 − 1 2𝑚 − 1 = 0; 𝒎𝟏 =
𝟏
𝟑
; 𝒎𝟐 =
𝟏
𝟐
4º. Como 𝑦 = 𝑚𝑥, si 𝒎𝟏 =
𝟏
𝟑
, entonces 𝒚𝟏 =
𝒙
𝟑
; y, para 𝒎𝟐 =
𝟏
𝟐
, 𝒚𝟐 =
𝒙
𝟐
De aquí procede el Método 1
Sustituyendo valores 𝑚1 en (3);
4𝑥2
3
= 6, luego 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
; 𝒚𝟏 = ±
𝟐
𝟐
Sustituyendo valores 𝑚2 en (3);
3𝑥2
2
= 6, luego 𝒙𝟐= ±𝟐; 𝒚𝟏 = ±𝟏
Las 4 soluciones son: 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ± 𝟏

(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝟔 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐
= 𝟏𝟎 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
Conjunto solución: puntos de intersección entre las hipérbolas equiláteras
𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ±𝟏

4) Otro tipo de sistemas de ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución.
Ejemplo (1). Resolver:
(1)
(2)
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗
Aplicando método de suma y resta (reducción):
1º. Hacemos simultaneas (1) y (2)
𝒙𝟐+𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
−(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗)
𝑥 + 𝑦 = 5 (3); despejando: 𝒚 = 𝟓 − 𝒙 (4)
2º. Sustituir 𝑦 = 5 − 𝑥 en (1): 𝑥2 + (5 − 𝑥)2+2𝑥 − (5 − 𝑥) = 14:
𝑥2
+ 25 − 10𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥 − 5 + 𝑥 = 14; 𝟐𝒙𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟔=0 (5)
3º. Factorizando: 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 2𝑥 − 3 𝑥 − 2 =0, luego 𝒙𝟏 =
𝟑
𝟐
, 𝒙𝟐 = 𝟐
4º. Para 𝒙𝟏 =
𝟑
𝟐
, sustituyendo en (4), 𝑦 = 5 −
𝟑
𝟐
; 𝒚𝟏=
𝟕
𝟐
Para 𝒙𝟐 = 𝟐, sustituyendo en (4), 𝑦 = 5 −2; 𝒚𝟐 = 𝟑

(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗
Conjunto solución: puntos de intersección entre las circunferencias:
𝑷𝟏
𝟑
𝟐
,
𝟕
𝟐
; 𝑷𝟐(𝟐, 𝟑)

(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟑𝟓
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
Aplicando método usando ecuaciones equivalentes (y la factorización):
1º. Dividir (1) por (2):
𝒙𝟑+𝒚𝟑=𝟑𝟓
𝑥+𝑦=5
=
𝒙+𝒚 𝒙𝟐−𝒙𝒚+𝒚𝟐 =𝟑𝟓
𝒙+𝒚=𝟓
= 𝒙𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
= 𝟕 (3)
2º. Despejar 𝑦 en (2): 𝑦 = 5 − 𝑥; sustituir en (3): 𝑥2 − 𝑥(5 − 𝑥) + (5 − 𝑥)2= 7
3º. Reduciendo: 𝑥2
− 5𝑥 + 𝑥2
+ 25 − 10𝑥 + 𝑥2
− 7 = 0; 3𝑥2
− 15𝑥 + 18 = 0
y, simplificando: 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0 (4)
3º. Factorizar (4): 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0, luego 𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = 𝟐
4º. Para 𝒙𝟏 = 𝟑, sustituyendo en 𝑦 = 5 − 𝑥; 𝒚𝟏= 2;
Para 𝒙𝟐 = 𝟐, sustituyendo en 𝑦 = 5 − 𝑥; 𝒚𝟐 = 3
Luego, las dos soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟑, 𝒚𝟏= 2; 𝒙𝟐 = 𝟐, 𝒚𝟐 = 3

(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟑𝟓
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
Conjunto solución, puntos de intersección entre la cúbica y la lineal:
𝑷𝟏(𝟑, 2); 𝑷𝟐(𝟐, 3)

(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟑
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
= 𝟏𝟓
Aplicando método usando ecuaciones equivalentes (y la factorización).
1º. Dividir:
𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒚+𝟐𝒚𝟐= 𝟑
𝒙𝟐+𝟓𝒙𝒚+𝟔𝒚𝟐=𝟏𝟓
=
𝑥+2𝑦 𝑥+𝑦 =3
𝑥+3𝑦 𝑥+2𝑦 =15
=
(𝑥+𝑦)
(𝑥+3𝑦)
=
1
5
;
2º. Multiplicar cruzado y simplificar: 5𝑥 + 5𝑦 = 𝑥 + 3𝑦; 4𝑥 + 2𝑦 = 0
y, simplificando: 2𝑥 + 𝑦 = 0; 𝒚 = −𝟐𝒙
3º. Sustituir y reducir: y = −𝟐𝒙 en (1): 𝑥2
+ 3𝑥 −2𝑥 + 2(−2𝑥)2
= 3
y, reduciendo: 3𝑥2
= 3; 𝑥2
= 1; 𝒙 = ±𝟏
4º. Para 𝑥1 = 1, 𝑦 = −2𝑥, 𝑦1 = −2; para 𝑥2 = −1, 𝑦 = −2𝑥, 𝑦2 = 2
Las 2 soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟏, 𝒚𝟏 = −𝟐; 𝒙𝟐 = −𝟏, 𝒚𝟐 = 𝟐

(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟑
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
= 𝟏𝟓
Conjunto solución, puntos de intersección entre hipérbolas
𝑷𝟏(𝟏, −𝟐; 𝑷𝟐(−𝟏, 𝟐)

Aplicaciones del álgebra. Son problemas de razonamiento, en los que hay que
pasar del lenguaje verbal al matemático. Ejemplos:
(1). Hallar dos números cuya suma sea 28 y su diferencia 12:
Planteamiento:
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 − 𝑦 = 12
; Procedimiento:
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 − 𝑦 = 12
2𝑥 = 40; 𝒙=20
𝑦 = 28 − 20; 𝒚 = 𝟖
Resultado: 20 𝒚 𝟖
(2). La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de
cuantos años la edad del padre triplica la del hijo.
Planteamiento: 41 + 𝑥 = 3(9 + 𝑥);
Procedimiento: 41 + 𝑥 = 27 + 3𝑥; 𝒙=7
Resultado: 7 años más.

(3). Si Carlos sabe que dentro de 2 años la edad de su amigo será la mitad del
cuadrado de la edad que tenía hace dos años, ¿Cuál es la edad de su amigo?
Datos: Planteamiento:
Edad actual amigo = x; 𝒙 + 𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟐 𝟐
Edad amigo hace 2 años: x – 2;
Edad amigo dentro de 2 años x + 2;
Procedimiento: 𝑥 + 2 =
𝑥2−4𝑥+4
2
; 2𝑥 + 4 = 𝑥2
− 4𝑥 + 4; 𝑥2
− 6𝑥= 𝒙 𝒙 − 𝟔 = 0
Resultado: Edad actual del amigo de Carlos = 6 años
(4). Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del
otro se obtiene 21; y, que si éste último se suma con el doble del primero
resulta 18.
Datos: Planteamiento: Procedimiento:
Número 1 = x; 𝑥 + 2𝑦 = 21; −2(𝑥 + 2𝑦 = 21)
Número 2 = y; 2𝑥 + 𝑦 = 18; 2𝑥 + 𝑦 = 18 → 2𝑥 + 8 = 18; 𝒙 = 𝟓
−3𝑦 = −24; 𝒚 = 𝟖
Resultado: 𝒙 = 𝟓, 𝒚 = 𝟖

(5). Hace 2 años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus edades
sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el doble de la del hijo.
Datos: Planteamiento:
Edad actual del hijo: x; 6(x – 2) + 20 = 2(x + 18)
Edad del hijo hace 2 años: x – 2; 6x – 12 + 20 = 2x + 36
Edad del padre hace 2 años= 6(x – 2); 4x + 8 = 36
Edad del hijo dentro de 18 años: x + 18 4x = 28; x = 7 años
Resultado:
Edad actual del hijo = 7 años
Edad actual del padre = 6(x – 2) + 2 = 6(5) + 2 = 32 años

Binomio de Newton. Método para hallar coeficientes de un binomio elevado a
cualquier exponente y puede expresarse de la siguiente manera práctica:
𝒂 + 𝒃 𝒏
=
𝟏
𝟎!
𝑎 𝑛
+
𝒏
𝟏!
(𝑎)𝑛−1
(𝑏)1
+
𝒏 𝒏−𝟏
𝟐!
(𝑎)𝑛−2
(𝑏)2
+
𝒏(𝒏−𝟏)(𝒏−𝟐)
𝟑!
(𝑎)𝑛−3
(𝑏)3
…
𝑛 = número de exponente; así, si 𝑛 =5, entonces:
(𝑛 − 1) = 4; 𝑛 𝑛 − 1 = 5(4); (𝑛 − 2) =3; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) = 5(4)(3); etc.
0! = Cero factorial; 1!= 1 factorial; 2! = 2 factorial; 3! = 3 factorial, etc.
Por definición 0! = 1; 4! = 4(3)(2)(1) = 24
1!= 1(1) =1; 5! = 5(4)(3)(2)(1) = 120
2! = 2(1) = 2; …
3! = 3(2)(1) = 6; n! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 3 …
Ejemplo (1). Desarrollar 𝑥 + 2 4
aplicando el binomio de Newton:
𝒙 + 𝟐 𝟒
=
1
0!
𝑥 4
+
4
1!
(𝑥)3
(2)1
+
4 3
2!
(𝑥)2
(2)2
+
4(3)(2)
3!
(𝑥)1
(2)3
+
4(3)(2)(1)
4!
(𝑥)0
(2)4
=
1𝑥4
1
+
4 𝑥3(2)
1
+
12 𝑥2(4)
2
+
24 𝑥1(8)
6
+
24(1)(16)
24
= 𝒙𝟒 + 𝟖 𝒙𝟑+24𝒙𝟐+ 32𝒙 + 16

Ejemplo (2). Desarrollar 𝒙 − 𝒂 𝟒
aplicando el binomio de Newton:
=
1
0!
𝑥 4
+
4
1!
(𝑥)3
(−𝑎)1
+
4 3
2!
(𝑥)2
(−𝑎)2
+
4(3)(2)
3!
(𝑥)1
(−𝑎)3
+
4(3)(2)(1)
4!
(𝑥)0
(−𝑎)4
=
1𝑥4
1
+
4 𝑥3(−𝑎)
1
+
12 𝑥2𝑎2
2
+
24 𝑥1(−𝑎)3
6
+
24(1)𝑎4
24
= 𝒙𝟒
− 𝟒𝒂𝒙𝟑
+ 𝟔𝒂𝟐
𝒙𝟐
− 𝟒𝒂𝟑
𝒙 + 𝒂𝟒
Ejemplo (3). 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 3 por binomio de Newton. Comprobar con regla 𝑎 − 𝑏 3
=
1
0!
2𝑥 3
+
3
1!
(2𝑥)2
(−3𝑦)1
+
3 2
2!
(2𝑥)1
(−3𝑦)2
+
3(2)(1)
3!
(2𝑥)0
(−3𝑦)3
=
1(8𝑥3)
1
+
3 (4𝑥2)(−3𝑦)
1
+
6(2 𝑥1)(9𝑦2)
2
+
6 (1)(−27𝑦3)
6
= 𝟖𝒙𝟑
−𝟑𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 54𝒙𝒚𝟐
−𝟐𝟕𝒚𝟑
Aplicando regla del cubo de un binomio 𝑎 − 𝑏 3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 3
= (2𝑥)3
−3(2𝑥)2
3𝑦 + 3 (2𝑥) 3𝑦 2
− 3𝑦 3
= 𝟖𝒙𝟑
− 𝟑𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐
− 𝟐𝟕𝒚𝟑

15. Triángulo de Pascal.
Triángulo de Pascal. Es un esquema para los coeficientes de 𝑎 + 𝑏 𝑛
𝑛 = 0 1 𝑎 + 𝑏 0 = 1
𝑛 = 1 1 1 𝑎 + 𝑏 1
= 1𝑎 + 𝟏𝑏
𝑛 = 2 1 2 1 𝑎 + 𝑏 2
= 𝟏𝑎2
+ 𝟐𝑎𝑏 + 𝟏𝑏2
𝑛 = 3 1 3 3 1 𝑎 + 𝑏 3
= 𝟏𝑎3
+ 𝟑𝑎2
𝑏 + 𝟑𝑎𝑏2
+ 𝟏𝑏3
𝑛 = 4 1 4 6 4 1 𝑎 + 𝑏 4
= 𝟏𝑎4
+ 4𝑎3
𝑏 +6𝑎2
𝑏2
+𝟒𝑎𝑏3
+ 1𝑏4
………... ………………………………… ………. ………………………………………………
Ejemplo (1). Desarrollar 𝑥 + 2 4
aplicando el triángulo de Pascal.
𝒙 + 𝟐 𝟒
= 𝟏 (𝑥)4
+ 𝟒 𝑥 3
2 1
+ 𝟔 𝑥 2
2 2
+ 𝟒 𝑥 1
2 3
+ 𝟏 2 4
= 𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝟐𝒙 + 𝟏𝟔
Ejemplo (2). Desarrollar 𝒙 − 𝒂 𝟒 aplicando el triángulo de Pascal.
𝒙 − 𝒂 𝟒
= 𝟏 (𝑥)4
+ 𝟒 𝑥 3
−𝑎 1
+ 𝟔 𝑥 2
−𝑎 2
+ 𝟒 𝑥 1
−𝑎 3
+ 𝟏 −𝑎 4
= 𝒙𝟒 − 𝟒𝒂𝒙𝟑 + 𝟔𝒂𝟐𝒙𝟐 −𝟒𝒂𝟑𝒙 + 𝒂𝟒
Ejemplo (3). Desarrollar 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 4aplicando el triángulo de Pascal.
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 3=𝟏(2𝑥)3+ 3 2𝑥 2 −3𝑦 1+ 3 2𝑥 1 −3𝑦 2+ 1 −3𝑦 3
= 8𝒙𝟑
− 𝟑𝟔𝒙𝟐
𝒚 + 54𝒙𝒚𝟐
−𝟐𝟕𝒚𝟑

16. División sintética (Regla de Ruffini).
División sintética. Al dividir, es común hacerlo entre un polinomio y un monomio
de la forma 𝑥 − 𝑎 que usa solo los coeficientes del polinomio. Ejemplos:
(1). Usando división sintética, dividir 𝟑𝒙𝟐 – 𝟕𝒙 + 𝟐 por 𝒙 – 𝟐. En este caso 𝑎 = 2
3 −𝟕 2 1º. Se ponen coeficientes del dividendo.
+ 6 −2 2 2º Se pone el divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏 0 3º. Bajar 3, multiplicar por divisor y sumar producto con – 7
repetir proceso hasta obtener cociente 𝒒 𝒙 y residuo r
𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏 (se reduce un grado al dividir); r = 0
4º. Por algoritmo de la división:
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥−2
= 𝟑𝒙 − 𝟏
(2). Usando división sintética, dividir 𝟑𝒙𝟐 – 𝟕𝒙 + 𝟐 por 𝒙 + 𝟐. Ahora 𝒂 = −𝟐
3 −𝟕 2 Dividendo: 3𝑥2
− 7𝑥 + 2
−6 + 26 −𝟐 Divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏𝟑 28 𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑, r = 28
Por algoritmo de la división:
𝟑𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟐
𝒙−𝟐
= (𝟑𝒙 − 𝟏) +
𝟐𝟖
𝒙+𝟐

17. Teoremas del residuo y del factor.
1) Teorema del residuo. Si un polinomio f (x) se divide por un binomio de forma
(𝑥 − 𝑎), entonces 𝑞(𝑥) es el cociente y el residuo “r” es 𝑓(𝑎). Ejemplos:
(1). Hallar cociente y residuo: f x = 3𝑥2
– 7𝑥 + 2 entre 𝑥 – 2. (Divisor 𝑎 = 2)
3 −𝟕 2 𝒓 = 𝑓 2 = 3(2)2−7 2 + 2 = 12 – 14 + 2 = 0
+ 6 −2 2 Divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏 0 𝐪 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏 (Se redujo un grado con respecto a f(x)
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥−2
= 3𝑥 − 1
(2). Hallar cociente 𝒒 𝒙 ,residuo r: f(x)=𝟑𝒙𝟐
– 𝟕𝒙 + 𝟐 entre 𝒙 + 𝟐. Así 𝑎 = −2
3 −𝟕 2 𝒓 = 𝒇(−𝟐) = 3(−2)2
−7 −2 + 2 = 12+14+2 = 28
−6 +26 −𝟐 Divisor 𝑎 = − 2
3 −𝟏𝟑 28 q 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥+2
= (3𝑥 − 1) +
28
𝑥+2

17. Teoremas del residuo y del factor.
2) Teorema del factor. Un polinomio f(x) tiene un factor (𝑥 − 𝑎) solo si 𝑓 𝑎 = 0
Ejemplos:
(1). Dividir f x = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 por 𝒙 – 𝟐. En este caso 𝒂 = 𝟐
1 2 −𝟖 𝒓 = 𝑓 2 =(2)2+2 2 − 8 = 8 – 8 =0 =𝑓 𝑎 = 𝑟 = 0
+2 + 8 2 Por lo tanto: (𝒙 – 𝟐) es un factor de 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟖
1 4 0 𝐪 𝒙 = 𝒙 + 𝟒
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖
𝒙−𝟐
= 𝒙 + 𝟒
Luego: 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟒 = Factores del producto.
(2). Prueba que (𝑥 − 2) es un factor de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 + 2
𝒇 𝟐 = 𝟐 3 − 4(𝟐)2+ 3 (2) + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0 = 𝒇 𝒂 = 𝒓 = 𝟎
Por lo tanto (𝒙 − 𝟐) es un factor de 𝒙𝟑
− 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐

Teorema. Toda ecuación 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏
+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 de grado
𝑛 ≥ 1, con coeficiente real o complejo (parte real, parte imaginario), debe tener
al menos una raíz real o compleja.
Cualquier raíz racional se forma por un factor positivo del último término entre
uno de los factores del coeficiente del primer término y sus multiplicidades.
Ejemplo (1). Encuentra las raíces posibles de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥+3
2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3. Raíces (+):
𝟏
𝟏
,
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟏
,
𝟑
𝟐
; y, por multiplicidad: ±𝟏, ±
𝟏
𝟐
, ±𝟑, ±
𝟑
𝟐
1 1
2 3
Para las raíces (residuo cero) de 𝑓 𝑥 por división sintética, probar 𝑓 𝒂 = r = 0
Probando 𝒂 = 𝟏 en 𝒇(𝒙)𝟏: 𝑓 𝟏 =2(𝟏)𝟑
+3(𝟏)𝟐
−8(𝟏) + 3 = 2+3 – 8 + 3 = 0 = r.
2 3 – 8 3 𝐸𝑐. 1: 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3 = 0
+ 2 +5 – 3 1 Raíz 1: 𝒙 = 𝟏; Factor 1: 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
2 5 – 3 0 𝑞1 𝑥 : 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3; r = 0
𝑬𝒄. 𝟐: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 0 (se redujo un grado de la Ec.1)

𝐸𝑐. 2: 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 = 0; 𝑓(𝑥)2 = 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3
Probando 𝒂 =
𝟏
𝟐
en 𝒇(𝒙)𝟐; 𝑓
𝟏
𝟐
= 2
1
2
2
+ 5
𝟏
𝟐
− 3 =
1
2
+
5
2
− 3 = 0 = r
2 5 −𝟑 𝐸𝑐. 2: 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 = 0
1 3
𝟏
𝟐
Raíz 2: 𝑥 =
1
2
. Factor 2: 𝒙 −
𝟏
𝟐
= 0
2 6 0 𝒒𝟐 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟔 ; r = 0
𝐸𝑐. 3: 2𝑥 + 6 =0; 2𝑥 = − 6; 𝒙 = − 𝟑 (tercera raíz)
Raíz 3: 𝒙 = −𝟑 . Factor 3: 𝒙 + 𝟑 = 0
Luego, las raíces de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥+3 son: 𝒙𝟏 = 𝟏; 𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
; 𝒙𝟑 = −𝟑
Los factores son: 𝒙 − 𝟏 ; 𝒙 −
𝟏
𝟐
; 𝒙 + 𝟑
Usando el algoritmo de la división:
𝟐𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟑 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 −
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝟑 = Factores del producto

Ejemplo (2). Hallar las raíces reales, si existen, de 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 𝑥 − 6 = 0
𝑥3 − 𝑥 − 6. Raíces posibles: ±𝟏 ± 𝟐 ± 𝟑 ± 𝟔
1 1; Probando 𝑎 = 1: f (1) = (1)3
−(1) − 6 = −6 ; 𝑟 ≠ 0. No es raíz
2; Probando 𝒂 = 𝟐: f (2) = (𝟐)𝟑
−(𝟐) − 𝟔 =8 – 2 – 6 = 0 = r
3;
6;
1 0 − 1 − 6 Ec.1: 𝟏𝒙𝟑 − 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
2 4 6 2 Raíz 1: 𝒙 = 𝟐 (Única raíz real); Factor 1: (𝑥 − 2) = 0
1 2 3 0 𝒒𝟏(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑; r = 0
Ec. 2: 𝟏𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 = 0 → 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟑
𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 Real; 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 Imaginario. Así, (2)2
− 4(1)(3) < 0 imaginario
Usando 𝒙 =
𝟐𝒂
=
−(2)± (2)2−4(1)(3)
2(1)
=
−2± −8
2
=
−2± 4(2)(−1)
2
=
−𝟐±𝟐 𝟐 𝒊
𝟐
𝒙𝟏 =
−2+2 2 𝑖
2
= −𝟏 + 𝟐 𝒊 ; 𝒙𝟐 =
−2 −2 2 𝑖
2
= −𝟏 − 𝟐 𝒊 (Raíces Complejas).
Por lo tanto, de las 3 raíces del polinomio se obtiene una real y 2 imaginarias

19. Fracciones parciales
Caso I. A cada denominador con factores lineales distintos le corresponde una
suma de fracciones parciales
𝑨
(𝒙−𝒂)
+
𝑩
(𝒙−𝒃)
+
𝑪
(𝒙−𝒄)
+ ⋯
Ejemplo (1). Descomponer en fracciones parciales
𝟑𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
=
𝟑𝒙−𝟏
(𝒙−𝟑) 𝒙+𝟐
𝟑𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
=
𝐴
(𝑥−3)
+
𝐵
(𝑥+2)
=
𝐴 𝑥+2 +𝐵(𝑥−3)
(𝑥−3)(𝑥+2)
=
𝐴𝑥+2𝐴+𝐵𝑥−3𝐵
(𝑥−3)(𝑥+2)
=
(𝐴+𝐵)𝑥+(2𝐴−3𝐵)
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
3𝑥 − 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 3𝐵);
(1) 𝐴 + 𝐵 = 3; multiplicar (1) por 3 y sumar con (2): 3𝐴 + 3𝐵 = 9
(2) 2𝐴 − 3𝐵 = −1 → 2𝐴 − 3𝐵 = −1
5𝐴 = 8; 𝑨 =
𝟖
𝟓
Como A+B = 3 → 𝑩 = 3 −
8
5
=
𝟕
𝟓
Por lo tanto:
𝟑𝒙−𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
=
8
5
(𝑥−3)
+
7
5
(𝑥+2)
=
8
5(𝑥−3)
+
7
5(𝑥+2)
=
𝟖
𝟓𝒙−𝟏𝟓
+
𝟕
𝟓𝒙+𝟏𝟎

Caso II. A cada denominador con factores lineales repetidos le corresponde una
suma de fracciones parciales
𝑨
𝒙−𝒂
+
𝑩
(𝒙−𝒂)𝟐 +
𝑪
(𝒙−𝒂)𝟑 + ⋯
𝒙
𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟗
=
𝒙
𝒙−𝟑 𝟐
𝒙
𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟗
=
𝐴
(𝑥−3)
+
𝐵
(𝑥−3)2 =
𝐴 𝑥−3 +𝐵
(𝑥−3)2 =
𝐴𝑥−3𝐴+𝐵
(𝑥−3)2 =
𝑨𝒙+(−𝟑𝑨+𝑩)
𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟗
1𝑥 = 𝐴𝑥 + (−3𝐴 + 𝐵);
A= 𝟏;
−3𝐴 + 𝐵 = 0 → 𝑩 = 3𝐴 = 3(1) = 3
Por lo tanto:
𝒙
𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟗
=
𝟏
(𝒙−𝟑)
+
𝟑
(𝒙−𝟑)𝟐

Caso III. A cada denominador con factores cuadráticos distintos le corresponde
una suma de fracciones parciales
𝑨𝒙+𝑩
𝒙𝟐+𝒂
+
𝑪𝒙+𝑫
𝒙𝟐+𝒃
+
𝑬𝒙+𝑭
𝒙𝟐+𝒄
+ ⋯
𝟔𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟏
(𝟒𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏)
𝟔𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟏
(𝟒𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏)
=
𝐴
4𝑥+1
+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+1
=
𝐴 𝑥2+1 +(𝐵𝑥+𝐶)(4𝑥+1)
(4𝑥+1)(𝑥2+1)
=
𝐴𝑥2+𝐴+4𝐵𝑥2+𝐵𝑥+4𝐶𝑥+𝐶
(4𝑥+1)(𝑥2+1)
6𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 𝐴 + 4𝐵 𝑥2 + 𝐵 + 4𝐶 𝑥 + 𝐴 + 𝐶
(1) 𝐴 + 4𝐵 = 6; sustituyendo (4): 1 − C + 4𝐵 = 6; 𝑪 = 𝟒𝑩 − 𝟓 (5)
(2) 𝐵 + 4𝐶 = −3;
(3) 𝐴 + 𝐶 = 1; despejando: 𝑨 = 𝟏 − 𝑪 (4). Sustituir en (1)
Sustituyendo (5) en (2): 𝐵 + 4 4𝐵 − 5 = −3; 𝐵 + 16𝐵 − 20 = −3; 𝑩 = 𝟏
Sustituyendo 𝑩 = 𝟏 en (2): 4𝐶 = −3 − 1 = −4; 𝑪 = −𝟏
Sustituyendo 𝑪 = −𝟏 en (3): 𝐴 = 1 − −1 ; 𝑨 = 𝟐
Por lo tanto:
𝟔𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟏
(𝟒𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏)
=
𝟐
𝟒𝒙+𝟏
+
𝒙−𝟏
𝒙𝟐+𝟏

Caso IV. A cada denominador con factores cuadráticos repetidos le corresponde
una suma de fracciones parciales:
𝑨𝒙+𝑩
(𝒙𝟐+𝒂)
+
𝑪𝒙+𝑫
𝒙𝟐+𝒃
𝟐 +
𝑬𝒙+𝑭
𝒙𝟐+𝒄
𝟐 + ⋯
Ejemplo (1). Descomponer
𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟐
(𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 =
𝐴
𝑥+3
+
𝐵𝑥+𝐶
(𝑥2+2)
+
𝐷𝑥+𝐸
𝑥2+2 2
=
𝑨(𝒙𝟐+ 𝟐)𝟐+ 𝑩𝒙 + 𝑪 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐 + (𝑫𝒙 + 𝑬)(𝒙 + 𝟑)
(𝒙+𝟑)(𝒙𝟐+𝟐)𝟐 ; usando propiedad distributiva:
=
𝐴𝑥4 + 4𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2+ 3𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 3𝐶 𝑥2+ 2 + 𝐷𝑥2 + 3𝐷𝑥 + 𝐸𝑥 + 3𝐸
(𝑥 + 3)(𝑥2 + 2)2
=
𝐴𝑥4+ 4𝐴𝑥2+ 4𝐴 +𝐵𝑥4+ 3𝐵𝑥3+ 𝐶𝑥3+ 3𝐶𝑥2+ 2𝐵𝑥2+ 6𝐵𝑥+ 2𝐶𝑥+ 6𝐶+𝐷𝑥2+ 3𝐷𝑥+ 𝐸𝑥+ 3𝐸
(𝑥 + 3)(𝑥2 + 2)2
Luego 6𝑥2
− 15𝑥 + 22 = (𝐴 + 𝐵)𝒙𝟒
+ (3𝐵 + 𝐶)𝒙𝟑
+(4A+2B+3C+D)𝑥2
+ 6𝐵 + 2𝐶 + 3𝐷 + 𝐸 𝒙 + 4𝐴 + 6𝐶 + 3𝐸
(1) A + B = 0 → A = – B (6) (4) 6B + 2C + 3D + E = –15
(2) 3B + C = 0 → 𝑪 = −𝟑𝑩 (7) (5) 4A + 6C + 3E = 22
(3) 4A+ 2B + 3C + D = 6 → 4 −𝑩 + 2𝐵 + 3 −𝟑𝑩 + 𝐷 = 6; 𝑫 = 𝟔 + 𝟏𝟏𝑩 (8)

Caso IV. Continuación ejemplo (1) anterior:
𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟐
(𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 =
𝐴
𝑥+3
+
𝐵𝑥+𝐶
(𝑥2+2)
+
𝐷𝑥+𝐸
𝑥2+2 2
(1) A + B = 0; A = – B (6) (4) 6B + 2C + 3D + E = –15
(2) 3B + C = 0; 𝑪 = −𝟑𝑩 (7) (5) 4A + 6C + 3E = 22
(3) 4A+ 2B + 3C + D = 6 → 4 −𝐵 + 2𝐵 + 3 −3𝐵 + 𝐷 = 6; 𝑫 = 𝟔 + 𝟏𝟏𝑩 (8)
Sustituyendo (7) y (8) en (4): 6𝐵 + 2 −𝟑𝑩 + 3 𝟔 + 𝟏𝟏𝑩 + 𝐸 = −15:
E = −𝟑𝟑𝑩 − 𝟑𝟑 (𝟗)
Sustituyendo (6), (7) y (9) en (5): 4(– B) + 6(−𝟑𝑩 ) + 3(−𝟑𝟑𝑩 − 𝟑𝟑 ) = 22;
Reduciendo y despejando: −121𝐵 = 22 + 99 = 121 → 𝑩 = −𝟏
Sustituyendo B = −𝟏 en (9), (8), (7) y (6): E = 0; 𝑫 = −𝟓; 𝑪 = 𝟑; y A = 1
Por lo tanto:
𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟐
(𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 =
1
𝑥+3
+
−𝑥+3
(𝑥2+2)
+
−5𝑥
𝑥2+2 2 =
𝟏
𝒙+𝟑
−
𝒙−𝟑
(𝒙𝟐+𝟐)
−
𝟓𝒙
𝒙𝟐+𝟐
𝟐

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