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1. Ecuaciones
diferenciales

2. Historia:
Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo de Isaac
Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del problema
inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones),
cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes). Sin embargo, este problema analítico
de la integración de ecuaciones diferenciales de primer orden corresponde a un problema
geométrico formulado con anterioridad: el método inverso de tangentes; esto es, cómo encontrar
una curva caracterizada por una propiedad dada de sus tangentes.
Utilizando expansiones de expresiones en series de potencias, Newton mostró que el problema inverso
de las tangentes era totalmente soluble. Leibniz, sin embargo, expresando su deseo de lograr
soluciones dando la naturaleza de las curvas, no estaba satisfecho con el sistemático uso de series y
pensaba que, hablando de forma general, no había suficiente conocimiento todavía acerca del
método inverso de las tangentes. Su procedimiento fue esencialmente cambiar variables para
intentar transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación con variables separables:
pues su solución se obtenía inmediatamente por cuadraturas. 1 Incluso, antes de comenzar el siglo
XVIII, los trabajos de, especialmente, Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann
Bernoulli (1667-1748) llevaron hacia la integración (reducción a cuadraturas) de ecuaciones
diferenciales homogéneas y de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

3. Sin embargo, incluso habiendo logrado tal separación de variables, aunque no siempre es el caso,
continúa el problema de reducir las cuadraturas a otras más simples. Además, Johann Bernoulli destaca
en su Lectiones mathematicae en 1691, que la separación de variables puede ocultar la naturaleza del
problema. Por ejemplo, escrita como variables separables involucra, en apariencia curvas
logarítmicas cuando, en realidad, la solución es algebraica:
Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaron que los matemáticos comenzaran a pensar
acerca de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno. Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-
1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva su nombre: resuelta por Daniel
Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler. Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de
orden n con coeficientes variables fueron desarrolladas en 1765 por Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos métodos diferentes, mostraron que n integrales
particulares de la ecuación homogénea determinan la integral completa de la ecuación no homogénea
a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede también ser demostrado
usando el método de variación de la constante, que se convirtió en el método general más utilizado.
En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya se había encontrado con una solución en el caso de las ecuaciones
de segundo grado, y notado su carácter singular. En 1758, Euler enfatizó la paradoja dual de tales
soluciones singulares en el cálculo integral. Estas soluciones son obtenidas no por integración, sino por
diferenciación de ecuaciones diferenciales. A medida que se comienzan a estudiar sistemas físicos más
complejos, por ejemplo en la astronomía, se requiere resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias.

4. El problema del movimiento de dos cuerpos bajo atracción de la fuerza de gravedad fue resuelto
geométricamente por Newton en 1687, pero no es hasta 1734 que Daniel Bernoulli resuelve el
problema de los dos cuerpos de forma analítica. 2 El llamado problema de los n cuerpos es una
generalización de este que no puede ser resuelta de la misma manera y es ampliamente
estudiado hasta la fecha. Aparecen, para casos muy particulares, resultados de Newton, Euler y en
especial de Lagrange (1772). Este mismo problema, condujo al desarrollo de la teoría del cálculo
de perturbaciones para encontrar soluciones aproximadas, donde destacan Clairaut en 1747, Euler
en 1748, Lagrange en 1774-1775 y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) de 1772 a 1780
aproximadamente.
El estudio y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales tuvo un gran impulso con las ideas
de Lagrange a quien se le debe la aplicación del método de variación de parámetro a un sistema
de tres ecuaciones de segundo orden en 1808.

5. Sacado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Hi
storia_de_las_ecuaciones_dife
renciales