How to graph parabolas.

1. Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices:
1) y = 2x2 + 3x - 1 2) y = 4x - x2 3) y = 3 - x - 3x2
4) y = 4x2 + 16x + 4
Ecuación de un polinomio genérico de 2do grado:
y = ax2 + bx + c
Formula para los vértices:
Vx = −
b
2a
, Vy =
4ac − b2
4a
→ 𝑉 Vx, Vy

2. 1) y = 2x2 + 3x – 1
Primero, identificamos a, b y c con ayuda de la expresión: y = ax2 + bx + c
a = 2 b = 3 c = -1
Luego, encontramos el vértice con las formulas:
Vx = −
b
2a = −
3
2(2)
= −
3
4
Vy =
4ac − b2
4a =
4(2)(−1) − (3)2
4(2)
=
−8 −9
8 = −
17
8
El vertice tiene cordenadas: 𝑽 −
3
4
, −
17
8

3. Ahora, tabulamos algunos puntos antes y después de la coordenada Vx del vértice de la
parábola.
y = 2x2 + 3x – 1 (ecuación principal)
y(-4) = 2(-4)2 + 3(-4) – 1 = 32 - 12 – 1 = 19 → P1(-4, 19)
y(-2) = 2(-2)2 + 3(-2) – 1 = 8 – 6 - 1 = 1 → 𝑷2(-2, 1)
y(-3/4) = 2(-3/4)2 + 3(-3/4) – 1 = 9/8 - 9/4 – 1 = -17/8 → 𝑷3(-3/4, -17/8)
y(0) = 2(0)2 + 3(0) – 1 = -1 → P4(0, -1)
y(2) = 2(2)2 + 3(2) – 1 = 8 + 6 – 1 = 13 → P5(2, 13)
y(3) = 2(3)2 + 3(3) – 1 = 18 + 9 – 1 = 26 → P6(3, 26)

4. Finalmente, graficamos la parábola con los puntos encontrados.
𝑃1(-4, 19)
𝑃2(-2, 1)
𝑃3(-3/4, -17/8), es el vértice.
𝑃4(0, -1)
P5(2, 13)
P6(3, 26)

5. 2) y = 4x - x2
Primero, identificamos a, b y c con ayuda de la expresión: y = ax2 + bx + c
a = -1 b = 4 c = 0
Luego, encontramos el vértice con las formulas:
Vx = −
b
2a = −
4
2(-1)
=
−4
−2 = 𝟐
Vy =
4ac − b2
4a =
4(-1)(0) − (4)2
4(-1)
=
0 −16
−4 =
−16
−4 = 𝟒
El vertice tiene cordenadas: 𝑽 𝟐, 𝟒

6. Ahora, tabulamos algunos puntos antes y después de la coordenada Vx del vértice de la
parábola.
y = 4x - x2 (ecuación principal)
y(-2) = 4(-2) - (-2)2 = -8 - 4 = -12 → P1(-2, -12)
y(0) = 4(0) - (0)2 = 0 → 𝑷2(0, 0)
y(2) = 4(2) - (2)2 = 8 - 4 = 4 → 𝑷3(2, 4)
y(4) = 4(4) - (4)2 = 16 – 16 = 0 → P4(4, 0)
y(5) = 4(5) - (5)2 = 20 - 25 = -5 → P5(5, -5)
y(6) = 4(6) - (6)2 = 24 - 36 = -12 → P6(6, -12)

7. Finalmente, graficamos la parábola con los puntos encontrados.
𝑃1(-2, -12)
𝑃2(0, 0)
𝑃3(2, 4), es el vértice.
𝑃4(4, 0)
P5(5, -5)
P6(6, -12)

8. 3) y = 3 - x - 3x2
Primero, identificamos a, b y c con ayuda de la expresión: y = ax2 + bx + c
a = -3 b = -1 c = 3
Luego, encontramos el vértice con las formulas:
Vx = −
b
2a = −
−1
2(−3)
= −
1
6
Vy =
4ac − b2
4a =
4(−3)(3) − (−1)2
4(−3)
=
−36 −1
−12 =
−37
−12 =
37
12
El vertice tiene cordenadas: 𝑽 −
1
6
,
37
12

9. Ahora, tabulamos algunos puntos antes y después de la coordenada Vx del vértice de la
parábola.
y = 3 - x - 3x2 (ecuación principal)
y(-2) = 3 – (-2) - 3(-2)2 = 3 + 2 – 12 = -7 → P1(-2, -7)
y(-1) = 3 – (-1) - 3(-1)2 = 3 + 1 - 3 = 1 → 𝑷2(-1, 1)
y(-1/6) = 3 – (-1/6) - 3(-1/6)2 = 3 + 1/6 - 1/12 = 37/12 → 𝑷3(-1/6, 37/12)
y(1/2) = 3 – (1/2) - 3(1/2)2 = 3 – 1/2 - 3/4 = 7/4 → P4(1/2, 7/4)
y(1) = 3 – (1) - 3(1)2 = 3 - 1 – 3 = -1 → P5(1, -1)
y(2) = 3 – (2) - 3(2)2 = 3 - 2 – 12 = -11 → P6(2, -11)

10. Finalmente, graficamos la parábola con los puntos encontrados.
𝑃1(-2, -7)
𝑃2(-1, 1)
𝑃3(-1/6, 37/12), es el vértice.
𝑃4(1/2, 7/4)
P5(1, -1)
P6(2, -11)

11. 4) y = 4x2 + 16x + 4
Primero, identificamos a, b y c con ayuda de la expresión: y = ax2 + bx + c
a = 4 b = 16 c = 4
Luego, encontramos el vértice con las formulas:
Vx = −
b
2a = −
16
2(4)
= −
16
8 = −𝟐
Vy =
4ac − b2
4a =
4(4)(4) − (16)2
4(4)
=
64 −256
16 = −
192
16 = −𝟏𝟐
El vertice tiene cordenadas: 𝑽 −𝟐, −𝟏𝟐

12. Ahora, tabulamos algunos puntos antes y después de la coordenada Vx del vértice de la
parábola.
y = 4x2 + 16x + 4 (ecuación principal)
y(-4) = 4(-4)2 + 16(-4) + 4 = 64 - 64 + 4 = 4 → P1(-4, 4)
y(-3) = 4(-3)2 + 16(-3) + 4 = 36 – 48 + 4 = -8 → 𝑷2(-3, -8)
y(-2) = 4(-2)2 + 16(-2) + 4 = 16 - 32 + 4 = -12 → 𝑷3(-2, -12)
y(-1) = 4(-1)2 + 16(-1) + 4 = 4 – 16 + 4 = -8 → P4(-1, -8)
y(0) = 4(0)2 + 16(0) + 4 = 4 → P5(0, 4)
y(1) = 4(1)2 + 16(1) + 4 = 4 + 16 + 4 = 24 → P6(1, 24)

13. Finalmente, graficamos la parábola con los puntos encontrados.
𝑃1(-4, 4)
𝑃2(-3, -8)
𝑃3(-2, -12), es el vértice.
𝑃4(-1, -8)
P5(0, 4)
P6(1, 24)