4. Caso 3
El denominador 𝑄 (𝑥), es un producto de factores cuadráticos
irreducibles, ninguno de los cuales se repite, es decir:
( )
( ) k
k
k
k
k
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
( ) ( )( ) ( )
k
k
k c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
x
Q +
+
+
+
+
+
= 2
2
2
2
2
1
1
2
1
La función se expresa como una suma de fracciones simples:
)
(
)
(
x
Q
x
P
donde A1, A2 , ... A k ; B1, B2 , ... B k son constantes a determinar.
( )
( )
P x
dx
Q x
5. Ejemplo 1
Solución
(i) Descomposición en fracciones parciales:
(ii) Calculando las constantes A, B y C:
( )( )dx
x
x
x
x
+
−
−
+
4
3
2
10
2
2
( )( ) ( )
1
4
3
2
4
3
2
10
2
2
2
+
+
+
−
=
+
−
−
+
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
( ) ( )( ) ( )
2
3
2
4
10 2
2
−
+
+
+
=
−
+ x
C
Bx
x
A
x
x
Reemplazando ( ) ( )( )
( )
0
4
3
2 2
=
+
−
= x
x
x
Q 2
/
3
=
x en (2)
1
1
2
0
1
2
/
3
=
=
=
=
−
=
=
B
x
Si
C
x
Si
A
x
Si
verificar
6. Reemplazando en (1):
(iii) Integrando:
( )( ) 4
2
3
2
1
4
3
2
10
2
2
2
+
+
+
−
−
=
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
( )( )
2
2
2
2 2
2 2
var
10
2 3 4
1 2
2 3 4
1 2
2 3 4 4
1 2
2 3 4 4
cambio de iable fórmula
x x
dx
x x
x
dx
x x
x
dx
x x x
x
dx dx dx
x x x
+ −
− +
+
= − +
− +
= − + +
− + +
= − + +
− + +
C
x
du
u
x +
+
+
−
−
= 2
arctan
2
1
2
2
1
3
2
ln
2
1
( )( )
2
2
2
10
2 3 4
2 3 4
x x A B x C
x x
x x
+ − +
= +
− +
− +
7. C
x
du
u
x +
+
+
−
−
= 2
arctan
2
1
2
2
1
3
2
ln
2
1
C
x
du
u
x +
+
+
−
−
= 2
arctan
1
2
1
3
2
ln
2
1
C
x
u
x +
+
+
−
−
=
2
arctan
2
1
ln
2
1
3
2
ln
2
1
2
1 1 1
ln 2 3 ln 4 arctan
2 2 2 2
x
x x C
= − − + + + +
8. Ejemplo 2
Solución
( )( )
+
+
dx
x
x
x
4
1 2
2
(i) Descomposición en fracciones parciales:
( )( ) ( )
1
4
1
4
1 2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+ x
D
x
C
x
B
x
A
x
x
x
(ii) Calculando las constantes A, B y C:
( ) ( )
2
)
1
(
)
4
)(
( 2
2
+
+
+
+
+
= x
D
Cx
x
B
Ax
x
Reemplazando en (2)
3
/
1
2
0
1
3
/
1
0
0
1
−
=
=
=
=
=
=
=
−
=
D
x
Si
C
x
Si
B
x
Si
A
x
Si
COMPROBAR LOS VALORES DE A, B, C, D
9. Reemplazando en (1):
(iii) Integrando:
( )( ) 4
3
1
1
3
1
4
1 2
2
2
2
+
−
+
+
=
+
+ x
x
x
x
x
( )( )
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
+
−
=
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
+
=
+
+
2
arctan
6
1
arctan
3
1
2
arctan
2
1
3
1
arctan
3
1
4
1
3
1
1
1
3
1
4
3
1
1
3
1
4
1
2
2
2
2
2
2
10. Caso 4
El denominador Q (x), es un producto de factores cuadráticos
irreducibles, algunos de los cuales se repite.
Suponiendo que es el factor cuadrático irreducible que
se repite k veces, es decir:
( ) ( )k
c
bx
ax
x
Q +
+
= 2
c
bx
ax +
+
2
La función se expresa como una suma de fracciones simples:
)
(
)
(
x
Q
x
P
( )
( ) ( ) ( )
;
2
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
donde A1, A2 , ... A k ; B1, B2 , ... B k son constantes a determinar.
