prueba de matemáticas trayecto inicial

1. NUMEROS
REALES
Camila Reyes
30.173.718
Trayecto inicial, seccion 0303.
República Bolivariana de Venezúela
Ministerio del Poder Popúlar
Para la Edúcacion
Universidad Politecnica Territorial del Estado Lara Andres Eloy Blanco

2. TABLA DE CONTENIDO
Contenido
Definicion de conjúntos____________________________________________ Error! Bookmark not defined.
Operaciones con conjúntos ________________________________________ Error! Bookmark not defined.
Números reales _____________________________________________________ Error! Bookmark not defined.
Desigúaldades ______________________________________________________ Error! Bookmark not defined.
Definicion de valor absolúto_______________________________________ Error! Bookmark not defined.
Desigúaldades con valor absolúto_________________________________ Error! Bookmark not defined.
Ejercicios____________________________________________________________ Error! Bookmark not defined.

3. Conjúntos
Antes de qúe el hombre entendiera el concepto de número, debio comprender de donde salían y qúe
representaban. Por lo tanto, la idea de número sigúe a la comprension de los conjúntos. Imagina qúe los
conjuntos son exactamente eso, una colección de objetos qúe púeden clasificarse gracias a las
características qúe tienen común (fichas, laminas, etc).
Un requisito clave para que una agrupación de objetos pueda ser llamada conjunto, es que se pueda
determinar si un objeto especifico pertenece o no a él. Por ejemplo, la agrupación de cosas bonitas
no es un conjunto ya que habrá cosas que para algunos son bonitas pero para otros no. En este caso se
dice que el conjunto no está bien definido.
Por otra parte, si pensamos en el conjunto de los planetas del sistema solar, los elementos de este
conjunto serán precisamente Mercurio, Venus, La tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Este
conjunto si está bien definido.
Representacion grafica de los conjúntos: diagramas de
Venn
Para representar los conjúntos graficamente, se púeden úsar los diagramas de Venn. Este metodo
consiste en representar los conjúntos por medio de círcúlos y dibújar en sú interior los elementos qúe lo
conforman. Basicamente, y en pocas palabras, ún diagrama de Venn úsa círcúlos qúe se súperponen ú
otras figúras para ilústrar las relaciones logicas entre dos o mas conjúntos de elementos. A menúdo, se
útilizan para organizar cosas de forma grafica, destacando en qúe se parecen y difieren los elementos.
Los diagramas de Venn, tambien denominados "diagramas de conjúnto" o "diagramas logicos", se úsan
ampliamente en las areas de matematica, estadística, logica, ensenanza, lingúística, informatica y
negocios.

4. Operaciones entre conjúntos
Realizaremos ún esbozo súper breve de algúnos conceptos previos de las secciones anteriores de
conjúntos y sús relaciones. Esto nos ayúdara a realizar algúnas demostraciones matematicas cúando
tratemos con cada úna de sús propiedades de cada úna de las operaciones de conjúnto.
Las operaciones con conjúntos tambien conocidas como algebra de conjúntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjúntos para obtener otro conjúnto. De las operaciones con conjúntos veremos
las sigúientes únion, interseccion, diferencia, diferencia simetrica y complemento.
‒ Union o reúnion de conjúntos.
Es la operacion qúe nos permite únir dos o mas conjúntos para formar otro conjúnto qúe contendra a
todos los elementos qúe qúeremos únir pero sin qúe se repitan. Es decir dado ún conjúnto A y ún conjúnto
B, la únion de los conjúntos A y B sera otro conjúnto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo qúe se úsa para indicar la operacion de únion es
el sigúiente: ∪. Cúando úsamos diagramas de Venn, para representar la únio de conjúntos, se sombrean
los conjúntos qúe se únen o se forma úno núevo. Lúego se escribe por fúera la operacion de únion.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

5. Números reales
DEFINICIÓN TÉCNICA: LOS NUMEROS REALES SON CUALQUIER NUMERO QUE CORRESPONDA A UN
PUNTO EN LA RECTA REAL Y PUEDEN CLASIFICARSE EN NUMEROS NATURALES, ENTEROS,
RACIONALES E IRRACIONALES.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números
complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R.
DOMINIO DE LOS NÚMEROS REALES
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los
extremos infinitos. Es decir, no inclúiremos estos infinitos en el conjúnto.
NÚMEROS REALES EN LA RECTA REAL
Esta recta recibe el nombre de recta real dado qúe podemos representar en ella todos los números
reales.
LOS NÚMEROS REALES Y LA MATRIOSHKA
Tenemos qúe entender el conjúnto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjúnto de múnecas
tradicionales rúsas organizadas de mayor a menor. La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más
grande contiene la siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de la
muñeca más grande se llama Matrioshka. Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka

6. ESQUEMA MATRIOSHKA
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también desde arriba o abajo
(figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos ver claramente la jerarquía de dimensiones
que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también podemos organizar los
números reales siguiendo el mismo método.
ESQUEMA DE LOS NÚMEROS REALES
En este esqúema podemos ver claramente qúe la organizacion de los números reales es similar al júego
de múnecas rúsas visto desde arriba o abajo.

7. Desigúaldades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos
valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la
finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la
desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes
SIGNOS DE DESIGUALDAD MATEMÁTICA
Podemos sintetizar los signos de expresion de todas las desigúaldades matematicas posibles en los cinco
sigúientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥

 Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es
menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la
expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o
igual a b.
 Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es
excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser
ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b”
y “a>b” o “a≤b” y “a”.
EJEMPLOS
Las desigúaldades matematicas estan formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se encontrara a la izqúierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo qúe “cúatro veces núestra incognita menos
dos es súperior a núeve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolúcion nos
mostraría qúe (en números natúrales) la desigúaldad se cúmple si x es igúal o súperior a 3 (x≥3).
TIPOLOGÍA DE DESIGUALDADES
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna de ellas no
incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:

8.  Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos. De este modo,
entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor qúe” (>) o “menor qúe” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se especifica si uno de los
elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual qúe” (≤), o bien
“mayor o igual qúe” (≥).
PROPIEDADES
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna de ellas no
incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos. De este modo,
entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor qúe” (>) o “menor qúe” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se especifica si uno de los
elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual qúe” (≤), o bien
“mayor o igual qúe” (≥).
NOTACIÓN ENCADENADA
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones de desigualdad en las
que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por ejemplo, relacionamos a, b y c de modo
que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es menor que c”. De
modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad la conocemos por el nombre
de propiedad transitiva.
DIFERENCIA ENTRE DESIGUALDAD E INECUACIÓN
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad matemática que es
usualmente confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o, simplemente,
denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una
desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación porque no
contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos
valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación.
Para operar con ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de
sus elementos.

9. Definicion de valor absolúto
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física y las
Matemáticas, por ejemplo en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más
complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo
positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se representa como |−4||−4| y
equivale a 44, y el valor absoluto de 44 se representa como |4||4|, lo cual también equivale
a 44.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia que existe de un punto
al origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia la derecha,
llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente; el valor absoluto de cualquiera de dichos valores
es 44.
Formalmente, el valor absolúto de todo número real esta definido por
|a|= { a, si a ≥ 0
−a, si a < 0
Como podemos notar, el valor absolúto de ún número real es siempre mayor qúe o igúal a cero y núnca
es negativo. Ademas, el valor absolúto no solo describe la distancia de ún púnto al origen; de manera
general, el valor absolúto púede indicar la distancia entre dos púntos cúalesqúiera de la recta númerica.
De hecho, el concepto de función distancia o métrica en Matematicas súrge de la generalizacion del valor
absolúto de la diferencia.

10. Desigúaldades con valor absolúto
En pocas palabras, úna desigualdad de valor absolúto es úna desigúaldad qúe tiene ún signo de valor
absolúto con úna variable dentro.
La desigúaldad | x | < 4 significa qúe la distancia entre x y 0 es menor qúe 4
Así, x > -4 Y x < 4. El conjúnto solúcion es x | -4 < x < 4
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b.
Resuelva y grafique este ejemplo:
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigúaldad, necesitamos descomponerla en úna desigúaldad compúesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Súme 7 en cada expresion.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10

11. Ejercicios
El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).
Notemos que:
 si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
 si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir,
con signo positivo);
 si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.
Tenemos las dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:

12. Ahora no podemos multiplicar la inecuación por x porque ésta podría ser negativa y, entonces, habría que
cambiar el signo de desigualdad.
Supongamos que x es positiva. Ahora podemos multiplicar:
Como el coeficiente de la x es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir por -6:
Pero, además, sabemos que x tiene que ser positiva:
Por tanto, tenemos que ha de ser
Ahora suponemos que x es negativa. Al multiplicar por x tenemos que cambiar el signo de desigualdad:
Por tanto,
Luego
Resolvemos la segunda inecuación procediendo de forma similar:

13. Si x es positiva:
Lo cual es falso. Por tanto, x no puede ser positiva.
Si x es negativa:
Lo cual siempre se cumple (no aporta restricciones a la solución).
Las soluciones que hemos obtenido son, de la primera inecuación
Y de la segunda: que x no puede ser positiva.
Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución es
2.
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:

14. Resolvemos la primera:
Resolvemos la segunda:
Por tanto, la solución es: