Resumen materia

1. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
1MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
UNIDAD CUATRO: SEMEJANZAS Y MEDICIÓN.
M.4.2.5. Definir e identificar figuras geométricas semejantes, de acuerdo a las medidas de los ángulos y a la
relación entre las medidas de los lados, determinando el factor de escala entre las figuras (teorema de Thales).
1 FIGURAS CONGRUENTES Y FIGURAS SEMEJANTES
1.1 Figuras congruentes.
Dos figuras son congruentes si tanto los ángulos correspondientes como los lados correspondientes son congruentes
“Tiene la misma medida”. La relación de congruencia se simboliza con ≡.
1.2 Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes cuando los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son
proporcionales. El cociente entre los lados correspondientes se llama razón de semejanza o escala. Se designa por la
letra k.
𝐴𝐵
𝑋𝑌
=
20
40
= 0.5
𝐵𝐶
𝑌𝑊
=
50
100
= 0.5
𝐶𝐷
𝑊𝑍
=
20
40
= 0.5
𝐷𝐴
𝑍𝑋
=
50
100
= 0.5
Todos los polígonos regulares serán semejantes entre sí.
Todas las figuras congruentes a su vez también serán semejantes.
2 TEOREMA DE TALES
Triángulos semejantes: Son aquellos que tienen la misma forma, ángulos iguales y lados proporcionales.
Líneas paralelas: Son aquellas que mantiene siempre la misma distancia y nunca se cruzan.
Teorema de tales.
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al
triángulo dado.
Ejemplo deseo saber la altura del edificio con los datos presentados a continuación.

2. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
2MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
Si dos recetas secantes se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son
proporcionales a los segmentos correspondientes a la otra.
2
1
=
4
2
=
5
2.5
= 2
2
1
=
9
4.5
= 2
𝐴𝐵
𝐸𝐹
=
𝐵𝐶
𝐹𝐺
=
𝐶𝐷
𝐺𝐻
Ejercicios:
Sabiendo que los dos triángulos son semejantes hallar las medidas de los segmentos m y n
Las rectas m y n están cortadas por las rectas a, b, c y d paralelas entre si. Si AB = 5, CD = 8, GH = 12, FG = 9, Hallar
𝐵𝐶
𝐸𝐺

3. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
3MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
Rectas secantes: Dos rectas secantes se cortan en un punto.
Rectas perpendiculares: Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman cuatro regiones o ángulos
iguales.
Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas si nunca llegan a cortarse en un punto.
M.4.2.6. Aplicar la semejanza en la construcción de figuras semejantes, el cálculo de longitudes y la solución de
problemas geométricos.
Para construir un polígono semejante a otro, se descompone en triángulos y con el método de Tales se construyen
otros semejantes.
4.1 Razón de semejanza de figuras y áreas
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, la razón de sus perímetros es k y la razón de sus áreas es k2
.
Para sacar las medidas del polígono semejante se multiplica cada lado del polígono original por la constante K, es decir
por la razón, en este caso va a ser 1,5, y los lados a = 2, b = 3, c = 4, d = 5
 a1
= k * a a1
= 1.5 * 2 = 3
 b1
= k * b b1
= 1,5 * 3 = 4,5
 c1
= k * c c1
= 1,5 * 4 = 6
 d1
= k * d d1
= 1,5 * 5 = 7,5
Entonces:
Si la razón de los perímetros es:
𝑃1
𝑃2
=
21
14
= 1,5
Es decir el valor de k. “Constante de proporcionalidad”
La razón de las áreas es: k² = 1,5² = 2,25
5 LÍNEAS DE SIMETRÍA EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
Si dibujamos una línea a lo largo de una figura y observamos que las dos partes son iguales, entonces habremos
encontrado su línea de simetría.
Llamamos línea de simetría a la recta que permite dividir una figura en dos partes cuyos elementos son equidistantes,
que tienen la misma forma y dimensiones.
Las figuras geométricas pueden tener una o más líneas de simetría que a su vez pueden ser horizontales, verticales o
diagonales.

4. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
4MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
6 HOMOTECIAS
Una homotecia es una transformación que se realiza sobre una figura en el plano con el fin de obtener figuras
semejantes a la dada. Para efectuar una homotecia, se debe elegir un centro denominado foco y un factor de
proporcionalidad o razón de la homotecia.
Ejemplo:
Hacer homotecia de un cuadrado con razón 2.
1. Trazar rectas que vayan desde el centro de la homotecia O y que pasen por cada vértice de la figura.
2. Medimos del centro de la homotecia a cada vértice.
3. Multiplícanos estas distancias por la razón, en este caso por 2.
4. Unimos los puntos de A1
con B1
, B1
con C1
, C1
con D1
y D1
con E1
De esta manera he obtenido una figura semejante a la otra, porque tiene la misma forma, los mismos ángulos y sus
medidas son proporcionales, además uno es dos veces más grande que el otro porque nuestra razón era de dos.
Además sus lados homólogos o correspondientes son paralelos.

5. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
5MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
7 PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS
El perímetro de una figura plana es la suma de las medidas de todos sus lados
Observa cómo se halla el perímetro del polígono de la Figura
P = 4 cm + 5 cm + 7 cm = 16 cm
Ejemplo:
Determina el perímetro del polígono de la Figura
P = 75 cm + 100 cm + 75 cm + 100 cm + 75 cm + 100 cm + 225 cm + 300 cm
P = 1 050 cm
M.4.2.12. Definir y dibujar medianas y baricentro, mediatrices y circuncentro, alturas y ortocentro, bisectrices e
incentro en un triángulo.
8 UNIDADES DE SUPERFICIE
8.1 Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado
La unidad de medida de la superficie es el metro cuadrado (m2), a partir de la cual se definen unidades de medida
mayores, llamadas múltiplos del metro cuadrado y otras menores, denominadas submúltiplos del metro cuadrado.

6. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
6MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
8.2 Conversión de unidades de superficie
• Para pasar de una unidad de orden inferior a la siguiente de orden superior, se divide entre 100.
• Para pasar de una unidad de orden superior a la siguiente de orden inferior, se multiplica por 100.
Ejemplos:
5 Hm² a m² = Se multiplica 2 veces por 100 ya que según el cuadro vamos a bajar.
5 Hm² * 100 = 500 Dam²
500 Dam² * 100 = 50000 m²
Es decir corro a coma dos veces dos espacios en total 4 espacios hacia la derecha
320000 cm² a m² = Se divide por 100 ya que según el cuadro vamos a subir
320000 / 100 = 3200 dm²
3200 dm² / 100 = 32 m²
Es decir corro a coma dos veces dos espacios en total 4 espacios hacia la izquierda
52,3 Dam² a cm² = Voy a bajar 3 espacios por lo tanto debo correr la como hacia la derecha 6 espacios.
Antes de correr la coma podemos aumentar muchos ceros a la derecha ya que sabemos que los ceros a la derecha
luego de una como no afectan.
52,30000000000000
Ahora si corremos la coma 6 veces
52300000 cm² y esa es la respuesta
1200 Dam² a Km² = Voy a subir 2 espacios por lo tanto debo correr la como hacia la izquierda 4 espacios
Antes de correr la coma podemos aumentar muchos ceros a la izquierda ya que sabemos que los ceros a la izquierda
no afectan.
0000001200
Ahora si corremos la coma 4 veces
0,12 Km² y esa es la respuesta

7. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
7MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
M.4.2.20. Construir pirámides, prismas, conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes), para
calcular el área lateral y total de estos cuerpos geométricos.
9 ÁREA DE FIGURAS PLANAS
El área de una región o figura es la medida de su superficie. Se denota A.
En la Tabla se muestra cómo determinar el perímetro y el área de algunas figuras mediante el uso de fórmulas.
Ejemplos: Sus lados se supone que están dados en cm.
Calcula el área y el perímetro de los siguientes triángulos:
A =
𝐵∗ℎ
2
A =
6∗4
2
A = 12 cm²
P = a+b+c P = 6+5+5 P = 16
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.
A =
𝐷∗𝑑
2
A =
30∗16
2
A = 120 cm²
P = 4ª P = 4*17 P = 68 cm
Calcula el área y el perímetro del siguiente trapecio
A =
(𝐵+𝑏)∗ℎ
2
A =
(10+4)∗4
2
A = 28 cm²
P = a + a + B + b P = 5 + 5 + 10 + 4 P = 24 cm
10 TEOREMA DE PITÁGORAS
Cuando se conocen las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo, se puede calcular la medida del lado que falta
empleando el teorema de Pitágoras.

8. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
8MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de
las medidas de los catetos
Por lo tanto:
c² = a² + b² c = √ 𝑎2 + 𝑏²
a² = c² - b² a = √ 𝑐2 − 𝑏²
b² = c² - a² b = √ 𝑐2 − 𝑎²
Ejemplo:
A cierta hora del día, un árbol de 12 m de altura proyecta una sombra de 16 m, como se ve en la Figura 6 ¿Cuál será la
distancia desde la sombra de la copa en el suelo hasta la copa del árbol?
c = √ 𝑎2 + 𝑏² c = √122 + 16² c = √144 + 256 c = √400 c = 20m
11 ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES
Para calcular el área de un polígono regular de n lados, se descompone en n triángulos isósceles congruentes y luego
se adicionan sus áreas.
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro y de la apotema, expresados en la misma
unidad de medida.
A =
𝑃∗𝑎
2
Ejemplo:
Calcular el perímetro y el área de u pentágono regular que mide 5 cm de lado por 3,4 cm de apotema.
P = N° lados * l P = 5 * 5 P = 25 cm
A =
𝑃∗𝑎
2
A =
25∗3,4
2
A =
85
2
A = 42,5 cm²

9. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
9MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
M.4.2.12. Definir y dibujar medianas y baricentro, mediatrices y circuncentro, alturas y ortocentro, bisectrices e
incentro en un triángulo.
12 LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES
Una circunferencia está formada por los puntos que están a igual distancia de un punto llamado centro. El círculo o
región circular es la unión de la circunferencia y su interior.
12.1 Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia o perímetro de un circulo se obtiene al multiplicar la longitud del diámetro (d) por
el valor constante π (aproximadamente 3,14).
l = π * d
Como la longitud del diámetro es el doble de la del radio (r), se tiene que:
l = 2π * r
Despejando tenemos:
d =
𝒍
𝝅
r =
𝒍
𝟐𝝅
Diámetro: Es un segmento de recta que pasa por el centro del circulo y lo divide en 2 partes iguales y se le designa d
Pi: Es un valor establecido y se representa con π y vale 3,14,16… y es las veces que cabe el diámetro en la
circunferencia.
Radio: Es la mitad del diámetro. Y se le designa r
Ejemplo:
Calcular el perímetro de un círculo cuyo perímetro es 10 cm.
DATOS:
d = 10 cm
π = 3,1416..
P = ¿?
P = d * π P = 10 cm * 3,1416.. P = 31,14 cm
12.2 Longitud de un arco de circunferencia
Un arco de circunferencia es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
La longitud a de un arco de circunferencia, cuyo ángulo central a mide Θ, se calcula con la fórmula:
a =
𝝅∗𝒓∗𝜣
𝟏𝟖𝟎
a =
𝟐𝝅∗𝒓∗𝜣
𝟑𝟔𝟎
De aquí podemos deducir que:
Θ =
𝟏𝟖𝟎∗𝒂
𝝅∗𝒓
r=
𝟏𝟖𝟎∗𝒂
𝝅∗𝜣

10. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
10MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
Ejemplo:
Hallar la longitud de arco conociendo que su radio es igual a 3 cm y un ángulo de 40°
DATOS:
r = 3 cm
Θ = 40°
a = ¿?
a =
𝜋∗𝑟∗𝛩
180
a =
3,14∗3∗40
180
a =
377
180
a = 2,09
12.3 Área de figuras circulares
El área del círculo es igual al producto del número p por el cuadrado del radio.
A = π * r²
Para nuestro estudio supondremos que el valor de π = 3,14
Ejemplo:
Matías está atado a una correa de 4 m de largo, como se observa en la Figura. Para determinar el área del espacio por
el que se puede desplazar Matías, se debe hallar el área del círculo de radio 4 m, así:
DATOS:
r = 4m
A = ¿?
A = π * r² A = 3,14 * (4)² A = 3,14 * 16 A = 50,24 m²
Las figuras circulares más utilizadas son: la corona, el sector y el segmento circular. El área de cada una de estas figuras
se halla con las siguientes fórmulas:
El área de una corona circular es igual a la diferencia de las áreas del círculo mayor y del círculo menor.
A = π * (R² - r²)
El área de un sector circular cuyo ángulo central mide Θ, se calcula con la fórmula:
A =
𝝅∗𝒓 𝟐∗ 𝜣
𝟑𝟔𝟎
Un segmento circular corresponde a la región limitada por una cuerda y el arco de circunferencia que se determina.
Su área se calcula mediante la fórmula:
A =
𝝅∗𝒓 𝟐∗ 𝜣
𝟑𝟔𝟎
– A∆ABC
CORONA CIRCULAR SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR

11. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
11MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
M.4.2.20. Construir pirámides, prismas, conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes), para
calcular el área lateral y total de estos cuerpos geométricos.
13 ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
13.1 Área de prismas regulares
El área lateral de un prisma regular es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por su altura (h), y su
área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de las dos bases.
El área de un prisma es igual a:
ATotal = ALateral + 2ABase
ALateral = Perímetro de la base por la altura ALateral = Pb * h
El área de la base depende del tipo de prisma que tengamos.
Cuadrangular: ABase = L² L = Lado
Triangular: ABase =
𝐵∗ℎ
2
B = Base h = Altura
Rectangular: ABase = L*l L = Lado mayor l = Lado menor
Pentagonal: ABase =
𝑃∗𝑎
2
P = Perímetro a = Apotema
Ejemplo:
Sacar el área total de un prisma pentagonal que tiene 3 cm de lado, 9 de h y 4 de apotema.
Al = Pb * h
Pb = 5*l Pb = 5*3 Pb = 15
Al = 15 * 9 Al = 135 cm²
AT = Al + 2Ab
Ab =
𝑃𝑏∗𝑎
2
Ab =
15∗4
2
Ab =
60
2
Ab = 30 cm²
AT = 135 + 2 (30) AT = 135 + 60 AT = 195 cm²
13.2 Área de pirámides regulares
El área lateral de una pirámide regular es igual al semiperímetro del polígono de la base multiplicado por la altura de
una cara lateral, y su área total es igual al área lateral más el área del polígono de la base.
El área de un prisma es igual a:
3 cm
9 cm
3 cm
9 cm
4 cm
4 cm

12. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
12MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
ATotal = ALateral + ABase
ALateral =
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
ALateral =
𝑃𝑏 ∗ ℎ
2
El área de la base depende del tipo de prisma que tengamos.
Cuadrangular: ABase = L² L = Lado
Triangular: ABase =
𝐵∗ℎ
2
B = Base h = Altura
Pentagonal: ABase =
𝑃∗𝑎
2
P = Perímetro a = Apotema
Ejemplo:
Sacar el área total de una pirámide cuadrangular que tiene 8 cm de lado y 20 de altura.
Al =
𝑃𝑏 ∗ ℎ
2
Pb = 4*l Pb = 4*8 Pb = 32
Al =
32 ∗ 20
2
Al =
640
2
Al = 320 cm²
AT = Al + Ab
Ab = l² Ab = 8² Ab = 64 cm²
AT = 320 + 64 AT = 320 + 64 AT = 384 cm²
13.3. Área del tronco de una pirámide regular
Es igual al ´rea lateral más el área de la base mayor mas el área de la base menor
ATotal = ALateral + ABase Mayor + ABase menor
Área lateral es igual al número de caras que tenga por el área de dicha cara
De la base depende de qué tipo de pirámide tenga os.
14 ÁREA DE CILINDROS Y CONOS
14.1 Área del cilindro
El área lateral de un cilindro coincide con el área de un rectángulo. Su área total se obtiene al adicionar el área lateral
con el área de las dos bases circulares.
El área de un cilindro es igual a:
ATotal = 2πr (r+h)
En donde: π = 3.14… r = radio h = altura
20 cm
8 cm
20 cm
8 cm

13. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
13MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
Ejemplo:
Sacar el área total de cilindro que tiene 6 cm de diámetro y 7 cm de altura.
De aquí obtenemos el radio que es igual a la mitad del diámetro
r =
𝑑
2
r =
6
2
r = 3 cm
El valor de π sabemos que es 3,14..
A = 2πr(r+ h)
A = 2 (3,14) (3) (3 + 7) A = 2*3,14*3*10 A = 188,4 cm²
14.2 Área del cono
Recordemos primeramente las partes de un cono, que son:
Altura: Que se la mide desde el centro de lavase hasta el vértice y se le designa h
Radio: Va desde el centro de la circunferencia hasta el borde y se le asigna r
Generatriz: Viene a sr la hipotenusa de la altura y el radio y se le asigna g
El área de un cono es igual a:
ATotal = ALateral + ABase
ALateral = π por radio y por la generatriz ALateral = π r g
El área de la base es π multiplicado por el radio al cuadrado. ABase = π r²
ATotal = πrg + πr²
O sea:
ATotal = πr(g + r)
Ejemplo:
Sacar el área total de un cono que tiene 9 cm de generatriz y 4 cm de radio.
6 cm
6 cm
7 cm 7 cm
9 cm
9 cm
4 cm 4 cm

14. Ing. Carlos Alfredo Vanegas Cobeña Mgst.
14MATEMÁTICA OCTAVO EGB - UNIDAD CUATRO SEMEJANZAS Y MEDICIÓN
AT = πr(g + r) AT = 3,14 * 4 (9 + 4) AT = 3,14 * 4 * 13 AT = 163,28 cm²
14.3 Área del tronco de cono
El área total se obtiene sumando el área lateral con el área de las dos bases.
Área Lateral es igual:
AL = πg (R + r)
Donde:
π = 3.14…
g = Generatriz
R = Radio de la base o circunferencia Inferior
r = Radio de la circunferencia superior
Entonces:
AT = πg (R + r) + πR² + πr²