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GEOMETRÍA I
Grupo II
Profesor:
César Fernando Venegas Ram´ırez
Marzo de 2012
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS.
Profesor: César Fernando Venegas Ram´ırez () GEOMETRÍA I Marzo de 2012 1 / 63

Índice I
1 algunas cosas preliminares
2 Rectas, planos y separación
conjuntos convexos
3 Ángulos y Triángulos
medida angular
ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes
4 Congruencias
Los postulados de congruencia para triángulos
Bisectriz de un ángulo
Cuadrilátero, cuadrados y rectángulos
5 Algunas cosas más
Perpendiculares
Cómo prescindir del postulado ALA
Cómo prescindir del postulado LLL
Interposición y separación
6 Desigualdades geométricas
El teorema del ángulo externo
Teoremas sobre congruencia basados en el teorema del ángulo externo
Desigualdades en un mismo triángulo

´Indice II
Rec´ıprocos
La distancia entre una recta y un punto. La desigualdad del tri´angulo
El teorema de charnela y su rec´ıproco
7 Bibliograf´ıa

Algunas cosas preliminares
Para esta etapa el estudiante ya estará familiarizado con los axiomas y propiedades
de los números reales por lo cual omitiremos (si no se recuerdan deben leer los
cap´ıtulos 1 y 2 del libro) e iremos directamente a los temas que nos competen.
Para el desarrollo de los temas posteriores necesitaremos establecer una relación
entre los números reales y los puntos de una recta, mas generalmente, queremos
establecer una relación entre cualquiera dos puntos en el espacio. Para ello encon-
tramos el siguiente postulado.
Postulado 1 (postulado de la distancia)
A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.

En la teor´ıa que desarrollaremos no se darán definiciones sueltas, con algunas ex-
cepciones, sino que toda definición tendrá como sustento teor´ıa ya desarrollada o
postulados establecidos con anterioridad.
Definición 1
La distancia entre dos puntos es el número obtenido mediante el postulado de la
distancia. Si los puntos son P y Q, entonces indicamos la distancia por PQ.
Hay que notar que la distancia cumple ciertas propiedades, entre ellas la propiedad
de ser simétrica, es decir, que no importa el orden en que se consideren los puntos.
Ahora que tenemos una forma de relacionar dos puntos cualesquiera, lo que quere-
mos es establecer una relación biun´ıvoca entre los puntos de una recta (de la cual
trataremos en la gran mayor´ıa del curso) con los números reales.

Postulado 2 (postulado de la regla)
Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los
números reales de manera que:
1 A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real;
2 A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta; y
3 la distancia entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia
de los números correspondientes.
Definición 2
Una correspondencia como la descrita en el postulado de la regla se llama un
sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto dado se llama
coordenada del punto.
Como podemos observar el postulado 2 nos permite colocar un sistema de coorde-
nadas en una recta cualquier, cosa que podemos realizar de infinitas maneras, lo
cual nos lleva a:

Postulado 3 (El postulado de la colocación de la recta)
Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger el sistema de coordenadas
de manera que la coordenada de P sea cero y la coordenada de Q sea positiva.
Con las teor´ıa dada hasta ahora podemos definir de una manera un poco más formal
el significado de estar entre de la siguiente manera:
Definición 3
B está entre A y C, si
1 A, B y C son puntos distintos de una misma recta, y
2 AB + BC = AC.
Comentario 1
Cuando en una definición se enlazan dos cláusulas con la palabra si, las dos
cláusulas deben considerarse completamente equivalentes.

el postulado de la recta
Ahora hemos llegado a un etapa un poco más geométrica. Nuestra intuición nos
dice que la naturaleza de una recta nos da para caracterizarla con solo dos puntos,
en otras palabra, si conocemos dos puntos de una recta tenemos caracterizada
a dicha recta completamente. Sin embargo lo dicho anteriormente, no puede ser
demostrado con la teor´ıa que sabemos por lo cual lo dicho anteriormente se expresa
mediante el siguiente postulado.
Postulado 4 (postulado de la recta)
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los
contiene.
Definición 4
Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos
A y B, y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se llaman
los extremos del segmento.

Definición 5
El número AB se llama la longitud del segmento AB
Definición 6
Sean A y B dos puntos de una recta L. El rayo
−→
AB es el conjunto de puntos que
es la reunión de
1 El segmento AB y
2 el conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B está entre
A y C. El punto A se llama el extremo del rayo.
Con lo que tenemos hasta el momento podemos demostrar nuestro primer teorema

Teorema 1
Sea
−→
AB un rayo y sea x un número positivo. Entonces, existe exactamente un
punto P de
−→
AB tal que AP = x.
Demostración.
Por el postulado de la colocación de la recta, podemos elegir un sistema de
coordenadas en la recta
←→
AB, de manera que la coordenada de A sea igual a cero y
la coordenada de B sea un número positivo r.
Sea P el punto cuya coordenada es el número dado x. Entonces, P está en
−→
AB,
porque x > 0; y AP = |x − 0|. Como solamente un punto del rayo tiene
coordenada x, solo un punto del rayo estará a una distancia x de A. ♦
Definición 7
Un punto B se llama punto medio de un segmento AB, si B está entre A y C y
AB = BC.

Teorema 2
Todo segmento tiene exactamente un punto medio.
Demostración.
Nos interesa obtener un punto que satisfaga las siguientes condiciones:
AB + BC = AC, AB = BC.
Por el teorema anterior, hay exactamente un punto B del rayo
−→
AC que está a la
distancia AC/2 de A. Por consiguiente, AC tiene exactamente un punto
medio. ♦
Definición 8
Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.

Rectas planos y separación
Definición 9
El conjunto de todos los puntos se llama espacio.
Definición 10
Los puntos de un conjunto están alineados (están en el mismo plano) o son
colineales (coplanarios), si hay una recta (plano) que los contiene a todos.
Ahora queremos enunciar postulados que describan los planos y el espacio.
Postulado 5
1 todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.
2 El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están alineados.

Teorema 3
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente.
Demostración.
Si dos rectas diferentes se intersecaran en dos puntos diferentes P y Q, entonces
habr´ıa dos rectas que contienen a los puntos P y Q. pero, el postulado de la recta
nos dice que esto no puede suceder. ♦
De ahora en adelante, siempre que hablemos de dos rectas, o dos planos, entender-
emos que las rectas o los planos son distintos. El siguiente postulado describe la
condición de llaneza de los planos:
Postulado 6
Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el mismo
plano.

Teorema 4
Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección
contiene un solo punto.
Demostración.
Realice la demostración por contradicción. ♦
Ahora, si recordamos, el postulado 4 nos dijo que dos puntos determinan una recta.
Para determinar un plano, se necesitan tres puntos no alineados.
Postulado 7 (El postulado del plano)
tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no
alineados están exactamente en un plano.
Es decir, tres puntos cualesquiera son coplanarios y tres puntos cualesquiera no
alineados determinan un plano.

Teorema 5
Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene
a ambos.
Teorema 6
Dadas dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene.
Postulado 8
Si dos planos diferentes se intersecan, su intersecci´on es una recta.
hasta ahora, parece que nos quedaremos enunciando postulado los 4 meses de clase,
sin embargo, resultar´a que esto no es cierto, necesitaremos solo de un poco mas de
20 postulados para desarrollas las grandes riquezas de la geometr´ıa.

conjuntos convexos
Definición 11
Un conjunto A se llama convexo, si para cada para cada dos puntos P y Q del
conjunto, todo el segmento PQ esta en A.
Un ejemplo claro de conjunto convexo son los conjuntos en los que queda separado
un plano respecto a una recta dada en él. Dichos conjuntos son llamados semiplanos
respecto a la recta dada y es evidente que si T y U son puntos en lados opuestos
de la recta, el segmento TU siempre interseca a la recta. A la recta la llamamos la
arista o el borde de los semiplanos.

Postulado 9 (El postulado de la separación del plano)
Se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en
la recta forman dos conjuntos tales que
1 Cada uno de los conjuntos es convexo, y
2 Si P está en uno de los conjuntos y Q esta en el otro lado, entonces el
segmento PQ interseca a la recta.
Definición 12
Dada una recta L y un plano E que la contiene, los dos conjuntos determinados
por el postulado de separación del plano se llaman semiplanos o lados de L, y L se
llama la arista o el borde de cada uno de ellos. Si P está en uno de los semiplanos
y Q está en el otro, entonces decimos que P y Q están a lados opuestos de L.

Un plano separa al espacio exactamente del mismo modo que una recta separa a un
plano. Los dos conjuntos en que un plano separa al espacio se llaman semiespacios,
o lados del plano. Cada uno de los semiespacios es convexo y si R está en uno de
ellos y S está en el otro, el segmento RS siempre interseca al plano.
Postulado 10 (El postulado de la separación del espacio)
Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales
que
1 cada uno de los conjuntos es convexo, y
2 si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento
PQ interseca al plano.
Definición 13
Los dos conjuntos determinados por el postulado de separación del espacio se
llaman semiespacios, y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos.

algo de trabajo
Consulte los axiomas de incidencia en el libro geometr´ıa: desarrollo
axiom´atico de Berenice Guerreo y, con base en ello diga como estos axiomas
describen de manera intr´ınseca la forma de una recta.
Realice todos los ejercicios del cap´ıtulo 1,2 y 3 del libro.
Dados tres puntos no colineales A, B y C y una recta L que interseca a AB y
AC en puntos distintos a A, demostrar que la recta no interseca a BC.
interpete y rescriba el ejercicio anterior para el caso en que la recta es
remplazada por un plano

ángulos y triángulos
Definición 14
Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,
entonces su reunión es un ángulo. Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el
extremo común se llama el vértice. Si los rayos son
−→
AB y
−→
AC, entonces el ángulo
se indica con ∠BAC o con ∠CAB.
Es indeferente qué lado se nombre primero. Más aún, no importa qué punto se
nombra en cada uno de los dos lados.

Definición 15
Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los
segmentos AB, AC y BC se llama un triángulo, y se indica con ABC. Los
puntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos AB, AC y BC se llaman
lados. Todo triángulo ABC determina tres ángulos a los cuales llamamos
ángulos del triángulo.
ABC
Figura: triangulo
Se notará que cuando dibujamos un triángulo, no necesariamente hemos dibujado
sus ángulos.

Definición 16
Sea ∠BAC un ángulo en el plano E. Un punto P está en el interior del ∠BAC, si
1 P y B están del mismo lado de la recta
←→
AC, y
2 P y C están del mismo lado de la recta
←→
AB.
el exterior del ∠BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no están en el
ángulo y que tampoco están en su interior.
Definición 17
Un punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de
los ángulos del triangulo. Un punto está en el exterior de un triángulo, si está en el
plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.

medida angular
Aqu´ı necesitaremos algunos conceptos y propiedades similares a los que hemos dado
para rectas y segmentos que nos permitirán trabajar con los conceptos de ángulo.
Postulado 11 (El postulado de la medida de ángulos)
A cada ángulo ∠BAC le corresponde un número real entre 0 y 180.
Definición 18
El número dado por el postulado de la medida de ángulos se llama la medida del
∠BAC, y se escribe m∠BAC.

Postulado 12 (El postulado de la construcción del ángulo)
Sea
−→
AB un rayo de la arista del semiplano H. Para cada número r entre 0 y 180,
hay exactamente un rayo
−→
AP, con P en H, tal que m∠PAB = r.
Podemos calcular medida de ángulos por adición y sustracción, utilizando el sigu-
iente postulado:
Postulado 13 (El postulado de la adición de ángulos)
Si D está en el interior del ∠BAC, entonces m∠BAC = m∠BAD + m∠DAC.
Definición 19
Si
−→
AB y
−→
AD son rayos opuestos, y
−→
AC es otro rayo cualquiera, entonces ∠BAC y
∠CAD forma un par lineal.

Definición 20
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180, entonces decimos que los
ángulos son suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro.
Los ángulos pueden, sin embargo, formar un par lineal y, en ese caso, son siempre
suplementarios.
Postulado 14 (El postulado del suplemento)
si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
Se recordará que, al tratar la medida de distancia, encontramos que pod´ıamos
emplear cualquier unidad. Lo cual no sucede para el caso de la medida de ángulos
(considerese la definición de ángulos suplementarios).

ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes
Definición 21
si los ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de
ellos se llama un ángulo recto.
Definición 22
Si
−→
AB y
−→
AC forman un ángulo recto, entonces se llaman perpendiculares, y
escribimos
−→
AB⊥
−→
AC.
Empleamos el mismo término y la misma notación para rectas y segmentos; as´ı,
pues, si el ∠BAC es un angulo recto, escribimos
←→
AB⊥
←→
AC, AB⊥AC,
−→
AB⊥AC, y
as´ı sucesivamente, para cualquier combinación de rectas, rayos o segmentos.

Definición 23
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90, entonces los ángulos se llaman
complementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un ángulo
con medida menor que 90 se llama agudo. Un ángulo con medida mayor que 90 se
llama obtuso.
Definición 24
Dos ángulos de la misma medida se llaman ángulos congruentes. As´ı, ∠ABC y
∠DEF son congruentes, si
m∠ABC = m∠DEf
y, en este caso, escribimos
∠ABC ∼= ∠DEF.

Teorema 7
Si dos ángulos son complementarios, entonces ambos son agudos.
Demostración.
recuerde que a < b si existe c > 0 tal que a + c = b ♦
Teorema 8
Todo ángulo es congruente con sigo mismo.
Teorema 9
Dos ángulos rectos cualesquiera son congruentes.

Teorema 10
Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de
ellos es un ángulo recto.
Teorema 11
Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
Teorema 12
Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Definición 25
Dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos
opuestos.
Teorema 13
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Demostración.
considere dos parejas de ángulos que ademas son un par lineal. ♦

trabajo en casa
Teorema 14
Si dos rectas que se cortan forman un ángulo recto, entonces forma cuatro
ángulos rectos.
Demostración.
Consecuencia del teorema anterior. ♦
lea, entienda y realice todos los ejercicios de la página 95 a 103
realice todos los ejercicios del cap´ıtulo 4.
consulte los axiomas de congruencia de segmentos y ángulos del libro
Geometr´ıa desarrollo axiomático de Berenice Guerrero.

Congruencias
En el caso de ángulos y segmentos es fácil expresar el concepto de congruencia:
Definición 26
Dos ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. Dos segmentos son
congruentes, si tienen la misma longitud.
Definición 27
Todo segmento es congruente consigo mismo.
NO escribimos = entre dos figuras geométricas, a menos que queramos decir que
las figuras son exactamente una misma.

Definición 28
Sea
ABC ↔ DEF
una correspondencia entre los vértices de un triángulo. Si los pares de lados
correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son
congruentes, entonces la correspondencia ABC ↔ DEF se llama congruencia
entre los dos triángulos.
Cuando escribimos ABC ∼= DEF, queremos decir que la correspondencia ABC ↔
DEF es un congruencia. Note que una relación de congruencia nos permite saber
6 cosas de un par de triángulos.
Definición 29
Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices
son los extremos del segmento.
Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los dos lados del
triángulo que están en los lados del ángulo.

Los postulados de congruencia para triángulos
En algunos casos es posible determinar cuando dos triángulos son congruentes con
solo algunos datos de los triángulos.
Postulado 15 (El postulado LAL)
Toda correspondencia LAL es un congruencia.
Postulado 16 (El postulado ALA)
Toda correspondencia ALA es un congruencia.
Postulado 17 (El postulado LLL)
Toda correspondencia LLL es un congruencia.

Bisectriz de un ángulo
Definición 30
Si D está en el interior del ∠BAC, y ∠BAD ∼= ∠DAC, entonces
−→
AD biseca al
∠BAC, y
−→
AD se llama la bisectriz del ∠BAC.
Teorema 15
Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.
Demostración.
Considere el ángulo ∠BAC
1 En los rayos
−→
AB y
−→
AC considere los puntos D y E, uno en cada rayo, tal que
AD = AE.
2 Sea F el punto medio de DE.
3 Considere la congruencia LLL entre ADF y ADE.
4 La unicidad es dada por el postulado de la construcción de ángulos.
♦

Triángulos isósceles y equiláteros
Teorema 16 (El teorema del triángulo isósceles)
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a
estos lados son congruentes.
Demostración.
Considere la correspondencia ABC ↔ ACB la cual determina una correspondencia
por LAL. ♦
Definición 31
Un triángulos con dos lados congruentes se llama isósceles. El otro lado es la base.
Los dos ángulos asociados con la base son ángulos en la base. El ángulo opuesto a
la base es el ángulo en el vértice.

Definición 32
Un triángulo con su tres lados congruentes se llama equilátero. Un triángulo para
el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama escaleno. Un triángulo
es equiángulo, si sus tres ángulos son congruentes.
Corolario 1
todo triángulo equilátero es equiángulo.
Teorema 17
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a
estos ángulos son congruentes.
Demostración.
Considere la correspondencia ABC ↔ ACB, que por ALA es un relación de
congruencia. ♦

Corolario 2
todo triángulo equiángulo es equilátero.

Cuadrilátero, cuadrados y rectángulos
Definición 33
Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. si tres cualesquiera de ellos no están
alineados, y los segmentos AB, BC, CD y DA se interesecan solamente en sus
extremos, entonces la reunión de los cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los
cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A, B, C y D se llaman vértices.
Los ángulos ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD y ∠CDA se llaman ángulos del cuadrilátero.
Si los cuatro ángulos del cuadrilátero son ángulos rectos, entonces el cuadrilátero
se llama rectángulo. Si los cuatro ángulos son ángulos rectos y los cuatro lados
son congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado. El cuadrilátero mismo
se indica por ∂ABCD.

Definición 34
Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice del
triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Realice todos los ejercicios propuestos en el cap´ıtulo 5 del libro gu´ıa.

Perpendiculares
Teorema 18
En un plano dado, y por un punto dado de una recta dada, pasa una y solamente
una recta perpendicular a la recta dada.
Demostración.
Sean α un plano, L una recta en α y P un punto de L. Usando el postulado de
construcción de ángulos se asegura la existencia de la recta perpendicular. Para la
Unicidad procedemos por contradicción, y usando el hecho de que cualquiera dos
ángulos rectos son congruentes y el postulado de la construcción de ángulos
llegamos a la contradicción deseada. ♦
Definición 35
En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al
segmento en su punto medio.
todo segmento AB tiene un punto C, y solamente uno; y por C, pasa una recta, y
solamente una, perpendicular a
←→
AB. Por tanto, la mediatriz existe y es única.

Teorema 19
La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del
plano que equidistan de los extremos del segmento.
Corolario 3
Se dan un segmento AB y una recta L en el mismo plano. si dos puntos de L
equidistan de A y de B, entonces L es la mediatriz de AB.
Teorema 20
Desde un punto externo dado, hay al menos una recta perpendicular a una recta
dada.

Demostración.
1 Se toman dos puntos en la recta.
2 se usa el postulado de la construcción de ángulos para construir un ángulo
congruente al formado por el punto P y uno de los puntos elegidos en el
semiplano que no contiene a P.
3 en el rayo que esta en semiplano distinto de P respecto a la recta elijase T
tal que la distancia a T desde el vértice sea igual a la distancia desde el
vértice a P.
4 Use Congruencia.
♦
Teorema 21
Desde un punto externo dado, hay a lo sumo una recta perpendicular a una recta
dada.

Demostración.
Sean L1 y L2 rectas perpendiculares a L que pasan por el punto exterior P y
cortan a L en A y B respectivamente.
1 encuentre en L1 un punto Q tal que AQ = AP.
2 considere QB y demuestre usando congruencia que QB es perpendicular a L.
3 Encuentre contradicción con el teorema 18.
♦
Corolario 4
Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos.
Demostración.
Encuentre contradicción con el teorema 21. ♦
Un Triángulo rectángulo es un triángulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos.

C´omo prescindir del postulado ALA
Sean ABC y DEF con una correspondencia ALA.
1
−→
AB contiene B tal que AB = DE.
2 la correspondencia AB C ↔ DEF es una correspondencia LAL por lo cual
AB C ∼= DEF.
3 ∠ACB ∼= ∠DFE y por lo tanto
−−→
CB =
−→
CB.
4 B = B (ya que dos rectas distintas se intersecan en un solo punto)

Cómo prescindir del postulado LLL
Sean ABC y DEF con una correspondencia LLL.
1 Hay un punto G del lado opuesto de
←→
AC que B tal que ∠CAG ∼= ∠D.
2 Hay un punto H de
−→
AG tal que AH = DE.
3 Se tiene la correspondencia AHC ↔ DEF que es LAL por lo cual
AHC ∼= DEF.
4 ∠ABH ∼= ∠AHB (teorema del triángulo isósceles).
5 ∠HBC ∼= ∠CHB (teorema del triángulo isósceles).
6 ∠ABC ∼= AHC es una congruencia LAL.

Interposición y separación
Teorema 22
Si M está entre los puntos A y C de una recta L entonces M y A están al mismo
lado de otra recta cualquiera que contenta a C.
Demostración.
Sea L la otra recta que contiene a C y supongamos que A y M están a lados
opuestos de L . Entonces AM contiene un punto D de L . Pero AM está en L, y L
corta a L solamente en C. En consecuencia C = D. Por lo tanto en virtud de la
definición de segmento, C esta entre A y M, lo cual es una contradicción. ♦
Teorema 23
Si M está entre B y C, y A es un punto cualquiera fuera de
←→
BC, entonces M
está en el interior del ∠BAC.

Demostración.
Por el teorema anterior, sabemos que M y B están al mismo lado de
←→
AC.
Aplicando de nuevo ese teorema, sabemos que M y C están al mismo lado de
←→
AB.
Por la definición de interior de un ángulo, esto significa que M está en el interior
del ∠BAC. ♦
Lea y comprenda el cap´ıtulo 6 del libro gu´ıa.
realice todos los ejercicios de este cap´ıtulo.

Desigualdades geométricas
Hasta ahora nos hemos ocupado de solo de los casos en que al comparar dos objetos
estos tienen las mismas caracter´ısticas en cuanto a sus propiedades geométricas (las
vistas hasta ahora). Pero ahora, nos compete aquellos casos en los que al comparar
dos objetos estos resultan distintos, espec´ıficamente nos ocuparemos de algunas
desigualdades geométricas referentes a triángulos.
Definición 36
AB < CD, si AB < CD. De la misma forma ∠A < ∠B, si m∠A < m∠B.
Teorema 24
si a = b + c y c > 0, entonces a > b.

El teorema del ángulo externo
Definición 37
Si C está entre A y D, entonces el ∠BCD es un ángulo externo del ABC.
ABCD
Todo triángulo tiene seis ángulos externos. Además, todo ángulo externo de un
triángulo forma un par lineal con uno de los ángulos del triángulo mismo.

Definición 38
El ∠A y el ∠B del ABC se llaman ángulos internos no contiguos de los ángulos
externos ∠BCD y ∠ACE.
Teorema 25 (El teorema del ángulo externo)
Un ángulo externo de un triángulo es mayor que cada uno de sus ángulos internos
no contiguos.

Demostración.
Se da el ABC. Si C está entre A y D, entonces
1 Sea E el punto medio de BC.
2 Sea F un punto en el rayo opuesto a
−→
EA, tal que EF = EA.
3 ∠BEA ∼= CEF.
4 BEA ∼= CEF.
5 m∠B = m∠ECF.
6 m∠BCD = m∠ECf + m∠FCD.
7 m∠BCD = m∠B + m∠FCD.
8 m∠BCD > m∠B.
♦
Corolario 5
Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.
como el corolario anterior permite deducir que la perpendicular desde un punto
exterior a una recta es única?

Teoremas sobre congruencia basados en el teorema del
ángulo externo
Definición 39
Si un par de lados correspondientes son congruentes y dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia se llama la
correspondencia LAA.
Teorema 26 (El teorema LAA)
Toda correspondencia LAA es una congruencia.
Demostración.
Se deja como ejercicio al estudiante. ♦
Teorema 27 (El teorema de la hipotenusa y el cateto)
Se da una correspondencia entre dos triángulos. Si la hipotenusa y un cateto de
un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo
triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

Demostraci´on.
Se dan dos tri´angulos ABC y DEF, tales que
m∠A = m∠D = 90,
AB = DE y DC = EF.
Entonces
1 Hay un punto G, en el rayo opuesto a
−→
DF, tal que DG = AC.
2 DEG ∼= ABC.
3 EG = BC.
4 ∠G ∼= ∠C.
5 EG = EF
6 ∠F ∼= ∠G.
7 DEF ∼= DEG.
♦

Desigualdades en un mismo triángulo
Teorema 28
Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a
estos lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.
Demostración.
Tenemos el triángulo ABC, si AB > AC, entonces tomamos un punto D de
−→
AC, tal que AD = AB. Entonces, ∠ABD ∼= ∠D. Como AD = AB > AC, C tiene
que estar entre A y C. Por lo tanto m∠ABD = m∠ABC + m∠CBD. En
consecuencia, m∠ABC < m∠ABD. Por lo cual ∠ABC < ∠D. Por el teorema del
ángulo externo, sabemos que ∠D < ∠ACB. ♦

Teorema 29
Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a
estos ángulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor.
Demostración.
La demostración se deja como ejercicio para el estudiante. ♦

Rec´ıprocos
Teorema 30
Se da el ABC. AB > AC si, y solamente si, ∠C > ∠B.
Teorema 31
Dos ángulos de un triángulo son congruentes si, y solamente si, los lados opuestos
a estos ángulos son congruentes.
Realice la demostración de los dos teoremas anteriores.

La distancia entre una recta y un punto. La desigualdad
del triángulo
Teorema 32 (El primer teorema de la m´ınima distancia)
El segmento más corto que une un punto y una recta es el segmento
perpendicular a la recta.
Demostración.
Use los dos últimos teoremas vistos ♦
Definición 40
La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento
perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto
de la misma se define como cero.

Teorema 33 (La desigualdad del triángulo)
La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que
la longitud del tercer lado.
Demostración.
Sea ABC un triangulo y D un punto del rayo opuesto a
−→
BC, tal que BD = BA,
entonces DC = DB + BC, porque B está entre D y C. Por lo tanto,
DC = AB + BC. Ahora,
m∠DAC = m∠DAB + m∠BAC.
En consecuencia,
m∠DAC > m∠DAB
Puesto que BD = BA, tenemos entonces que m∠DAC > m∠D. Luego tenemos
que DC > AC. ♦

Teorema 34 (El teorema de charnela)
Si dos lados de un triangulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de
un segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que
el ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo
es mayor que el tercer lado del segundo. de otro modo: Sean ABC y DEF dos
triángulos, con AB = DE y AC = DF. Si ∠A > ∠D, entonces BC > EF.
Demostración.
Primero construimos el AKC en el interior del ∠BAC, de manera que
AKC ∼= DEF. Luego bisecamos al ∠BAK en donde M es el punto donde la
bisectriz corta a BC. Por el postulado LAL, entonces AMB ∼= AMK. Por
consiguiente, MB = MK. Aplicando la desigualdad del triángulo al CKM,
obtenemos
CK < CM + MK.
por lo tanto, CK < CM + MB, Como CK = EF y CM + MB = BC, se deduce
que EF < BC ♦

Teorema 35 (el rec´ıproco del teorema de charnela)
Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de
un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer
lado del segundo, entonces el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor
que el ángulo comprendido del segundo. de otro modo: Sean ABC y DEF dos
triángulos, con AB = DE y AC = DF. Si BC > EF, entonces ∠A > ∠D.
Demostración.
La demostración queda a cargo del alumno. ♦

Alturas de triángulos
Definición 41
Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del
triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.
Se observa que cada triangulo tiene tres alturas, una por cada vértice. En algunas
ocasiones la palabra altura también será utilizada para designar longitud o para
designar la recta que contiene al segmento definido anteriormente.
Lea de nuevo el cap´ıtulo 7 para resolver cualquier duda.
Realice todos los ejercicios del cap´ıtulo 7.

Bibliograf´ıa
Geometr´ıa moderna, Moise-Downs.
Geometr´ıa: Plana y en el espacio. Ana Berenice Guerrero.
Geometr´ıa: Desarrollo axiomático. Ana Berenice Guerrero.
Axiomática y Geometr´ıa desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki. Alberto
Campos
Introducción a la historia y la filosof´ıa de la matemática volumen 2: hacia la
formalización en Hilbert y en Bourbaki. Alberto Campos.

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