II Unidad (Presentacion 2) PLANO NUMERICO

1. PLANO NUMERICO
Yolenny J. Aranguren R.
CI: V-31.099.775
Unidad curricular: Matemáticas
Sección: TU-0102

2. PLANO NUMÉRICO
Se conoce como plano cartesiano al elemento ideal que dispone de coordenadas cartesianas. Éstas
son rectas paralelas a los ejes que se toman como referencia. Se trazan sobre el mencionado plano
y posibilitan establecer la posición de un punto. La denominación de plano cartesiano, por
supuesto, es un tributo a Descartes, quien sostenía su desarrollo filosófico en un punto de partida
que resultaba evidente y que permitía construir conocimiento. El plano cartesiano exhibe un par
de ejes que son perpendiculares entre sí y se interrumpen en un mismo punto de origen. El origen
de coordenadas, en este sentido, es el punto referente de un sistema: en dicho punto, el valor de
todas las coordenadas tiene nulidad (0, 0). Las coordenadas cartesianas x e y, por otra parte,
reciben el nombre de abscisa y ordenada, de manera respectiva, en el plano.

3. DISTANCIA
la distancia entre dos puntos del espacio
euclídeo equivale a la longitud del segmento de
la recta que los une, expresado numéricamente.
En espacios más complejos, como los definidos
en la geometría no euclidiana, el «camino más
corto» entre dos puntos es un segmento recto
con curvatura llamada geodésica.

4. PUNTO MEDIO
es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que
se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya
sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los
extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece
a la mediatriz del segmento.
Construcción geométrica
• Se hace buscando puntos del eje de simetría de los elementos
dados en cada caso. Si no son simétricos se hacen aproximaciones
mediante arcos o paralelas para hallar los puntos medios o
equidistantes según el caso.

5. ECUACIÓN DE CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos
que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro .
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la
ecuación de la circunferencia ).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica , (dentro del Plano
Cartesiano ) diremos que —para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia
cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada
con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la
podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como
una ecuación matemática.

6. Recordar siempre que en esta fórmula
la x y la y serán las coordenadas de
cualquier punto (P) sobre la
circunferencia, equidistante del centro
un radio (r) . Y que la a y la b (o la h y
la k , según se use) corresponderán a las
coordenadas del centro de la
circunferencia C(a, b) .

7. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIA
• Trazado de circunferencias
• La técnica para trazar circunferencias depende de su tamaño. Se puede decir que
cuanto mayor sea el diámetro de la circunferencia, mayores serán las dificultades,
ya que en este caso las imperfecciones resultan más evidentes.
• Circunferencia de pequeño diámetro: será suficiente con ubicar el cuadrado
circunscrito. Se efectúan dos trazos en sentido descendente, de forma tal que los
lados del cuadrado resulten ser tangentes a la circunferencia que estamos
dibujando, como en la figura.

8. • Circunferencias de tamaño mediano:
Es conveniente disponer los ejes de la
circunferencia y el cuadrado que la
circunscribe. Las líneas de eje ayudan
a determinar el punto en que se debe
producir la tangencia entre el lado del
cuadrado circunscrito y la
circunferencia. Una vez determinados
los puntos de tangencia insinuamos
los arcos para finalmente completar el
trazado de la circunferencia. También
en este caso se efectúan dos trazos en
sentido descendente. Un resultado
posible se muestra en la Figura.
Circunferencia de mayor diámetro: Para
circunferencias más grandes puede ser
necesaria una ayuda adicional. Los
extremos de los diámetros no son
suficientes. La circunferencia puede
parecer abollada o inflada cuando se aleja
de los extremos de los diámetros
dibujados.
En estos casos resulta conveniente
ayudarse mediante el siguiente
procedimiento:
Paso 1: Se dibuja el cuadrado que va a
contener la circunferencia y sus ejes
principales como se muestra en Figura.

9. • Paso 2: Se marcan las longitudes del radio sobre las diagonales
Trazado de circunferencia grande paso 2
Se comprueban visualmente las longitudes marcadas comparándolas con los diámetros
dibujados previamente.
Se introducen las correcciones necesarias.
Se insinúan los arcos de circunferencia en los extremos de los diámetros recién dibujados y
finalmente
Paso 3: se completa el trazado de la circunferencia
Es importante asegurarse que el cuadrado contenedor de la circunferencia esté bien
proporcionado. Las deformaciones que pudiese tener se van a transmitir luego a la
circunferencia que estamos trazando.

10. ECUACIÓN DE PARÁBOLAS
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas
en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano .
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una
serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje
de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en
dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el
eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p
del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y
foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

11. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA
¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia xy? No sabemos
responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida
con V, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:
y′2=4cx′
Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en
el sistema xy
Consideremos una parábola cuyo vértice V(α,β) no coincide con el origen del
sistema xy :

12. ¿Qué coordenadas tiene el punto P respecto de cada sistema?
El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:
•Coordenadas de P en sistema x′y′
•Coordenadas de P en sistema xy
La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:
x′+α=x
y′+β=y
O reordenando:
{x′=x–α
{y′=y–β

13. Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.
Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión y‘2=4cx′ obtenemos la
ecuación en el sistema original:
(y–β)2=4c(x–α)
Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(α,β) y eje focal paralelo al eje x
Análogamente: (x–α)2=4c(y–β)
Es la ecuación de la parábola con vértice V(α,β) y eje focal paralelo al eje y
¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las
variables está elevada al cuadrado:
• Si y está al cuadrado, entonces es horizontal.
• Si x está al cuadrado, entonces es vertical.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la parábola de directriz x=4 y foco F(–2,0)

14. Resolución
Es conveniente realizar
una figura de análisis
que represente los datos
del enunciado:
El valor absoluto de cc es la distancia del vértice al foco
|c|=d(V,F)
El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la
directriz:
Eje focal: eje x
Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:
(y–β)2=4c(x–α)
(y–0)2=4c(x–1)
Falta calcular el valor absoluto de c
|c|=d(F,V)=3
Como el foco está a la izquierda del vértice entonces c=-3.
Entonces queda:
y2=–12(x–1)

15. TRAZADO DE PARABOLAS
Trazado de la parábola dado el foco y
la directriz
Trazamos una paralela a la directriz a
una distancia d. Con centro
en F trazamos un arco de radio d que
corta a la paralela en dos puntos
pertenecientes a la parábola.
Repetimos este procedimiento tantas
veces como pares de puntos simétricos
deseemos obtener.
Por último unimos los puntos obtenidos
para obtener la parábola.

16. ECUACIÓN DE ELIPSES
Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo al eje de las abscisas
(eje X), los focos tienen de coordenadas F(x0 + c, y0) y F'(x0 - c, y0). Y la ecuación
canónica de la elipse será
en donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo. A esta última fórmula se le conoce como ecuación
general de la elipse.

17. TRAZADO DE ELIPSES
• Trazado de la elipse mediante radios vectores
Teniendo en cuenta la definición de la elipse,
como el lugar geométrico de los puntos del plano,
cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a,
longitud del eje mayor de la elipse, solo
necesitaremos coger pares de radios vectores,
cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una
serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3 etc., y
cogeremos como parejas de radios vectores, los
segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así
sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′,
etc. de la elipse.
Con cada pareja de radios vectores, se
determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en
cada cuadrante de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor
será la precisión del trazado de la elipse, que
deberá realizarse, o bien a mano alzada o
mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas
especiales.

18. • Trazado de la elipse por haces proyectivos
Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos
los lados AO y AE en un mismo número de
partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C1-
D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos
obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá
para los cuatro cuadrantes de la elipse.
Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados
dos ejes conjugados
Trazaremos el romboide A’O’C’E’, y dividiremos
los lados A’O’ y A’E’ en un mismo número de
partes iguales.
Seguidamente iremos trazando las rectas C’1-D’1,
C’2-D’2, etc. y en sus intersecciones iremos
obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá
para los cuatro cuadrantes de la elipse.

19. ECUACION DE HIPERBOLA
• Una hipérbola se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano en el que
la diferencia de distancias a dos puntos fijos
denominados focos, F y F', es siempre
constante.
De manera general podemos encontrarnos dos
tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje
focal se encuentra horizontal o vertical. De este
modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un
punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal
viene dada por:
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
a : Semieje real
b : Semieje imaginario

20. TRAZADO DE HIPÉRBOLA
• Trazado de la hipérbola mediante radios vectores
Teniendo en cuenta la definición de la hipérbola, solo
necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya
diferencia sea 2a, para ello determinaremos una serie
de puntos sobre el eje real, 1, 2, 3 etc., y cogeremos
como parejas de radios vectores, los segmentos A1–
B1, A2–B2, A3–B3, y así sucesivamente,
determinando los suficientes puntos de la parábola,
como para ser definida.
Con cada pareja de radios vectores, se determinarán
cuatro puntos de la hipérbola, uno en cada cuadrante
de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la
precisión del trazado de la hipérbola, que deberá
realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas
flexibles, o plantillas de curvas especiales.

21. • Trazado de la hipérbola por haces proyectivos
Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios
vectores, y trazaremos el rectángulo ARPS, y dividiremos los
lados RP y PS en un mismo número de partes iguales. Sobre la
prolongación de PR y PS llevaremos esas misma divisiones.
Seguidamente trazaremos rectas que unan el vértice A, con las
divisiones de PR, y el vértice Br con las divisiones de PS,
obteniendo en sus intersecciones, puntos, pertenecientes a la
hipérbola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la
hipérbola.
* Trazado de la parábola por envolventes
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, es el lugar
geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a
la hipérbola.
Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal. Uniremos
dichos puntos con el foco F’, y trazaremos por ellos, perpendiculares a las rectas
trazadas, obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará
mediante tangentes a dichas rectas.
Las asíntotas serán las tangentes a la hipérbola en el infinito, y que determinaremos
trazando el arco de centro en O y radio O–F. En la intersección de dicho arco con la
perpendicular al eje real, trazada por el vértice A, determinaremos el punto 1,
perteneciente a la asíntota, solo restará unir dicho punto con el centro O de la
hipérbola.

22. BIBLIOGRAFIA
• https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
• https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio
• https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunfe
rencia.html
• http://www.mailxmail.com/curso-dibujo-tecnico-
croquis/trazado-circunferencias
• https://aga.frba.utn.edu.ar/parabola/
• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/anali
tica/conica/ecuacion-de-la-elipse-2.html
• https://dibujotecnico.com/curvas-conicas-la-elipse/
• https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-
general