vectores r2

1. VECTORES EN 𝑅2
OPERACIONES CON VECTORES

2. ¿Para qué me sirven?
El estudio de vectores es importante en la formación de todo Ingeniero, para enfrentar
situaciones de fenómenos reales en la planificación y ejecución en la construcción de toda
estructura.
En la Programación e informática
pueden ser empleados como
contenedores de datos
En la vida cotidiana representan
nuestros movimientos porque tienen
Magnitud, dirección y sentido
En la Ingeniería. Se consideran los
campos gravitacionales, campos
magnéticos, en la mecánica
https://www.freepik.es/vector-gratis/concepto-
ingenieria-informatica_5138520.htm
https://concepto.de/vector/
Los vectores permiten representar
fuerzas contrapuestas gracias a que
señalan la dirección
VECTORES EN R2

3. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante realiza operaciones como la suma, resta
y multiplicación con vectores y descompone a los vectores en su forma
canónica.

4. Datos/Observaciones
DEFINICIÓN OPERACIONES
VECTORES

5. 1MAGNITUD – NORMA – MÓDULO
La magnitud o módulo de un vector Ԧ
𝑣 es un número
real no negativo asociado a dicho vector y
representado por Ԧ
𝑣
2VECTOR UNITARIO
Se llama vector unitario, al vector cuyo mó-
dulo es la unidad, es decir: Ԧ
𝑣
es un vector unitario si y solo si:
Ԧ
𝑣 = 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
= 1
Ԧ
𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 ⟹ Ԧ
𝑣 = 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
VECTORES EN R2
EJEMPLO:
Si Ԧ
𝑣 = 3; 4 ⟹ Ԧ
𝑣 = 32 + 42 = 25 = 5
Teorema: Dado un vector Ԧ
𝑣 ≠ 0,
entonces el vector 𝑢 =
𝑣
𝑣
es un vector
unitario.

6. 3VECTORES CANÓNICOS
Son vectores con módulo 1, que están
presentes
y son paralelos al eje 𝑋 (eje de las
abscisas) y al eje 𝑌 (eje de las ordenadas) y
se denotan como:
Dados los puntos o radio vectores 𝑃 = (1 −
8); 𝑄 = (−3 ; 5). Determine el módulo del
vector Ԧ
𝑣 = 𝑃𝑄 , su correspondiente vector
unitario y exprese el vector y su vector unitario
en su forma canónica.
Ejemplo.
Ԧ
𝑣 = 𝑃𝑄 = −3 ; 5 − 1 ; −8
Ԧ
𝑣 = −4 ; 13
VECTORES EN R2
Solución:
Ԧ
𝑣 = (−4)2+(13)2= 185
Vector unitario de Ԧ
𝑣:
𝑢𝑣 =
−4
185
;
13
185
Módulo de Ԧ
𝑣 = −4; 13 :
H𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 Ԧ
𝑣:
Vectores canónicos de Ԧ
𝑣 y 𝑢𝑣 :
Ԧ
𝑣 = −4 1 ; 0 + 13 0 ; 1 = −4Ԧ
𝑖 + 13Ԧ
𝑗
𝑢𝑣 =
−4
185
1 ; 0 +
13
185
0 ; 1 =
−4
185
Ԧ
𝑖 +
13
185
Ԧ
𝑗
Ԧ
𝑖 = 1; 0 𝑦 Ԧ
𝑗 = 0; 1

7. 4OPERACIONES CON VECTORES
Igualdad de Vectores
Dados los vectores iguales Ԧ
𝑎 = (3𝑥 − 19 , 5 −
Ejemplo .
3𝑥 − 19 = 4𝑦 5 − 3𝑦 = 2𝑥 − 2
ቊ
3𝑥 − 4𝑦 = 19
2𝑥 + 3𝑦 = 7
−6𝑥 + 8𝑦 = −38
6𝑥 + 9𝑦 = 21
/ 17𝑦 = −17
𝑦 = −1
𝑥 = 5
−2
3
VECTORES EN R2
Solución:
𝑅 = 𝑥, 12𝑦
𝑅 = 5, −12
𝑅 = (5)2+(−12)2= 13
𝑢𝑅 =
5
13
;
−12
13
Vector unitario de 𝑢𝑅:

8. Suma de Vectores
Diferencia de Vectores
4OPERACIONES CON VECTORES
VECTORES EN R2
Ejemplo .
Ejemplo .
Siendo Ԧ
𝑎 = 5; 1 , 𝑏 = −2; 2 .
Tenemos que:
𝑅 = Ԧ
𝑎 + 𝑏
𝑅 = 5; 1 + −2; 2
𝑅 = 3; 3
Siendo Ԧ
𝑎 = 5; 1 , 𝑏 = −2; 2 .
Tenemos que:
𝑅 = Ԧ
𝑎 − 𝑏
𝑅 = 5; 1 − −2; 2
𝑅 = 7; −1

9. 4 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
VECTORES EN R2
𝑅 = 5; 1 + −2; 2 𝑅 = 5; 1 − −2; 2
𝑅 = 3; 3 𝑅 = 7; −1

10. 4OPERACIONES CON VECTORES
Producto por un escalar
VECTORES EN R2
Ejemplo .
Dado el escalar 𝜆 = 3 y el vector Ԧ
𝑎 = 2; 1 .
Tenemos que calcular 𝜆 Ԧ
𝑎:
𝑅 = 𝜆 Ԧ
𝑎 = 3 2; 1
𝑅 = 6; 3

11. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Se tiene el segmento de extremos (2,9) y (11,3). Hallar las coordenadas de los puntos que
dividen al segmento dado en tres partes iguales.
𝐴𝐶 =
1
3
𝐴𝐵 =
1
3
𝐵 − 𝐴 =
1
3
11,3 − 2,9 =
1
3
9, −6 = (3, −2)
SOLUCIÓN:
𝐷 = (8, 5)
𝐶 = (5, 7)
RPTA:
VECTORES EN R2
Denotemos por A y B los extremos del segmento, por
C y D los puntos que se andan buscando.
Donde cada punto se obtiene sumando el vector 𝐴𝐶.
𝐶 = 𝐴 + 𝐴𝐶 = 2,9 + 3, −2 = (5, 7)
𝐷 = 𝐶 + 𝐴𝐶 = 5, 7 + 3, −2 = (8, 5)

12. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Determine el valor de Ԧ
𝑥 en:
2 Ԧ
𝑥 − 3 1, −2 = 5 −1, 3 − Ԧ
𝑥
SOLUCIÓN:
RPTA:
2 Ԧ
𝑥 − 3, −6 = −5, 15 − Ԧ
𝑥
3 Ԧ
𝑥 = −5, 15 + 3, −6
3 Ԧ
𝑥 = −2, 9
Ԧ
𝑥 = −
2
3
, 3
Ԧ
𝑥 = −
2
3
, 3
VECTORES EN R2

13. LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS

14. Experiencia
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min

15. EJERCICIOS RETOS
1. Si los vértices de un triángulo son:
𝐴 = (3 ; 2 ) , 𝐵 = (−5 ; 12 ) y 𝐶 = (8 ; 6 ).
Compruebe usando vectores si se trata de un triángulo isósceles, equilatero o triángulo
rectángulo.
2. Dados Ԧ
𝑎 = (−2,1), 𝑏 = (3, −2), y Ԧ
𝑐 = 5, −4 . Encontrar los escalares que: Ԧ
𝑐 = ℎ Ԧ
𝑎 + 𝑘𝑏.
3. Se dan los puntos 𝐴 4, 1 ; 𝐵 7, 3 ; 𝐶(2, 3). Hallar un cuarto punto D de manera tal que el
cuadrilátero que formen ABCD sea un paralelogramo.
4. Se tiene el segmento de extremos (−2,9) y (11, −3). Hallar las coordenadas de los puntos que
dividen al segmento dado en tres partes iguales.
5. Determine el valor de Ԧ
𝑥 en:
3 Ԧ
𝑥 +
4
3
1, −2 = −7 1, −6 −
2
3
Ԧ
𝑥

16. Espacio de
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas

17. Datos/Observaciones
Conclusiones
1. Las diagonales de un paralelogramo
representan geométricamente la suma y
resta de dos vectores .
2. Todo vector puede ser unitario excepto
el vector nulo.
3. Cualquier vector se puede descomponer
mediante los vectores canónicos.

18. Datos/Observaciones
Vectores en R2

19. Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu
participación
No hay nada como un reto
para sacar lo mejor de
nosotros.
Ésta sesión quedará
grabada para tus
consultas.

PARA TI
1. Sigue practicando, vamos
tu puedes!! .
2. No olvides que tienes un
FORO para tus consultas.