Presentación sobre la definición de los Números Complejos y su clasificación.

1. UNIDAD EDUCATIVA “ALEXANDER VON
HUMBOLDT”
Números Complejos
DOCENTE: ING. CÉSAR ALEJANDRO ROMERO
FERRÍN

2. Objetivo General
Analizar el conjunto de Números Complejos, sus
relaciones, operaciones y propiedades para la resolución
de problemas.
Objetivos Específicos:
1. Definir unidad imaginaria.
2. Conocer y simplificar potencias de i.
3. Definir el conjunto de los números complejos.
4. Operar con los números complejos.

3. Números Complejos
Definición: Los Números Complejos son aquellos que
tienen una parte real y una imaginaria. Son de la forma:
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒂, 𝒃
Donde a y b pueden ser números positivos, negativos e
inclusive nulos.
El conjunto de todos los números complejos se designa
por ℂ.
ℂ = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 𝑖 = −1

4. Ejemplos
2 + 4𝑖
−3 + 5𝑖
−8 − 𝑖
2 + 3𝑖
 5 − 2𝑖
− 7 − 2𝑖
𝜋 − 5𝑖
℮ + 5𝑖
Φ − 3𝑖

2
3
−
3
4
𝑖
−
1
5
+
13
7
𝑖

5. La expresión 𝒂 + 𝒃𝒊, se llama forma binómica de un
número complejo porque tiene dos componentes:
𝑎 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙. 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎
𝑏 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎. 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏
Los números complejos, poseen: Elemento neutro,
Elemento opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso.
Con estas operaciones los complejos tienen la estructura
de un cuerpo conmutativo.

6. Así con el conocimiento de los números
complejos la Clasificación de los números
queda así:

7. Clases de Números Complejos
Complejo real o puramente real.- Es aquel cuya parte
imaginario es nula (es decir su parte imaginaria es 0) o en
otras palabras carece de parte imaginaria.
𝑎 + 0𝑖 = 𝑎
Ejemplo:
3 + 0𝑖 = 3
Nota: Esto quiere decir que todos los números reales son
un complejo real o puramente real.

8. Clases de Números Complejos
Complejo puro o imaginario puro.- Es aquel cuya parte
real es nula (su parte real es 0).
0 + 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖
Ejemplo:
0 − 5𝑖 = −5𝑖
Nota: Estos son los números que hemos estudiado
durante estas dos semanas.

9. Clases de Números Complejos
Complejo nulo.- Es aquel cuya parte real y cuya parte
imaginaria son nulas.
0 + 0𝑖 = 0
Nota: Esto permitió relacionar aún más las primeras
nociones sobre los números complejos con los números
reales hasta esa fecha conocidos.

10. Ciertas Definiciones adicionales sobre los
Números Complejos
Complejos conjugados.- Son dos números complejos que
tienen iguales sus partes reales e iguales coeficientes
imaginarios pero de signos contrarios.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
Ejemplos:
1. Sea 𝑧 = 4 + 3𝑖 su conjugado es 𝑧 = 4 − 3𝑖
2. Sea 𝑧 = −5 − 2𝑖 su conjugado es 𝑧 = −5 + 2𝑖
3. Sea 𝑧 =
2
5
+
3
2
𝑖 su conjugado es 𝑧 =
2
5
−
3
2
𝑖
4. Sea 𝑧 = 𝜋 − 5𝑖 su conjugado es 𝑧 = 𝜋 + 5𝑖

11. Ciertas Definiciones adicionales sobre los
Números Complejos
Complejos opuestos.- Son dos números complejos que
tienen iguales coeficientes pero de signos contrarios tanto
las partes reales como las imaginarias.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 − 𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖
Ejemplos:
1. Sea 𝑧 = 9 − 4𝑖 su opuesto es −z = −9 + 4𝑖
2. Sea 𝑧 = −5 − 2𝑖 su opuesto es −z = 5 + 2𝑖
3. Sea 𝑧 =
1
2
+
4
7
𝑖 su opuesto es −z = −
1
2
−
4
7
𝑖
4. Sea 𝑧 = 𝜋 − 5𝑖 su opuesto es −z = −𝜋 + 5𝑖

13. Actividad:
Practica reconoce de que tipo de número complejo se
trata cada uno de los siguientes ejemplos; a partir del
quinto ejemplo obtén su conjugado y su opuesto:
1. 19
2. 3 5i
3. 2 + 4 3
4. 3 − 2 i
5. 5 − 2 6𝑖
6. −4 +
5
4
2𝑖
7.
3 5
8
−
3
3
𝑖
8. −2 − 4 3𝑖
9. 2 7 − 3 7𝑖
10. 15 − 19𝑖