3. Cap´ıtulo 1
M´odulos
1.1. Introducci´on
Todos los anillos R-comutativos con unidad (V, +, ·, K)
(V, +) Grupo Abeliano
· : K × V −→ V
(λ, V )dondeλ · V que este bien definido
M1)(λ1 + λ2)m = λ1m + λ2m
M2)(λ1 · λ2)m = λ1 · (λ2m)
M3)∃!1 · m = 1
M4)λ(m + n) = λm + λn
1.2. M´odulos
Definicion 1.1. Sea R un anillo (M, +) un grupo Abeliano Se llama R
modulo,
Si · : R × M −→ M
(λ, V ) −→ r · V que este bien definido
ademas debe de cumplir
M1)(λ1 + λ2)m = λ1m + λ2m
M2)(λ1 · λ2)m = λ1 · (λ2m)
M3)∃!1 · m = 1
M4)λ(m + n) = λm + λn se llamara R-m´odulo a izquierda
Ejemplo 1.1. Notemos que todo R-m´odulo K espacio vectorial es un K-
m´odulo pues su definicion son iguales o mejor del anillo R
Ejemplo 1.2. Sea (R, +, .) anillo entonces (R, +)grupo abeliano y ademas
· : R × R −→ R producto de anillos cumplecom M1 −→ M2
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4. CAP´ITULO 1. M´ODULOS 3
Ejemplo 1.3. Sea (G,+) un grupo abeliano y(Z, +, .) anillo R=(Z, +, .)-
anillo entonces G tiene estructura de Z m´odulo
Observaci´on 1.1. Todo grupo abeliano tiene una Estructura de Z m´odulo
Observaci´on 1.2. (K[x],+,.) induce otra estructura de anillo
K[x] = P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · · a1x + a0ai ∈ K anillo de Polinomios
T : V −→ V un operador V en K espacio vectorial (Transformacion Lineal)
K[T] = P(T) = anTn
+ an−1Tn−1
+ · · · · a1T + a0Idai ∈ K
Ti
= T ◦ T ◦ T · · · · ◦ T
i−veces
Ejemplo 1.4. Sea V un K espacio vectorial entonces (V, +)Grupo Abeliano
Sea (R=K[T],+,.)anillo
K[T] × V −→ V
(P(T), V ) −→ P(T).V = P(T).(V ) Entonces V es K[T] m´odulo.
1.3. morfismo de m´odulos
Definicion 1.2. Sean A , B R-m´odulos una aplicaci´on
φ : A −→ B
Se llama morfismo de m´odulos
Si:
1)φ es morfismo de Grupos Abelianos
2)φ(λa) = λφ(a)λ ∈ R; a ∈ A
Ejemplo 1.5. Aplicacion de Identidad 1A : A −→ A
Notaci´on 1.1. Sea φ : A −→ B ·Morfismo de m´odulos
1.Si φ es Inyectiva diremos que φ es monomorfismo
2.Si φ es Sobreyectiva diremos que φ es epimorfismo
Observaci´on 1.3. Diremos que φ : A −→ B es isomorfismo
Si ∃τ : B −→ A tal que τ ◦ φ = 1A ;φ ◦ τ = 1B
notemos que no pedimos que τ sea morfismo de R-m´odulos
Notaci´on 1.2. Si φ : A −→ Bes isomorfismo
Observaci´on 1.4. φ morfismo de m´odulos−→ φ morfismo de grupos
G.Daniel S´anchez Mej´ıa
5. CAP´ITULO 1. M´ODULOS 4
1.4. subm´odulo
Definicion 1.3. M un R m´odulo N ⊂ M Se llama subm´odulo
si:
1)N es Subgrupo Abeliano de M.
2)∀λ ∈ R, n ∈ N,entoces λ.n ∈ N
Definicion 1.4. Sea φ : A −→ B morfismo de m´odulos definamos
Im(φ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A : φ(a) = b}
Ker(φ) = {a ∈ A : φ(a) = 0}}
Lema 1.1. Los conjuntos Im(φ); Ker(φ) son subm´odulos de B ,A respecti-
vamente.
Lema 1.2. Sea N subm´odulo de M ,entoces El grupo cociente M N es R
m´odulo
Lema 1.3. φ : M −→ N morfismo de m´odulos Entonces φ:MKer
(φ) −→ N es monomorfismo.
1.5. Secuencia Exacta
Definicion 1.5. Sea φ : A −→ B; ψ : B −→ C Morfismos de R m´odulos.
La secuencia
A
φ
////B
ψ
//C
se llama exacta en B .
Si Im(φ)= Ker(φ)
Definicion 1.6. Si la secuencia :
A0
////A1
//A2 · · · · An−1
//An
es exacta con A0, A1, A2 · · · An−1, An diremos que es exacta
Definicion 1.7.
A
φ
////B
ψ
//C
La secuencia es Semi exacta
Si Im(φ) ⊂ Ker(ψ) Entonces Im(φ) ⊂ Ker(ψ) ≡ ψ ◦ φ = 0
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6. CAP´ITULO 1. M´ODULOS 5
Ejemplo 1.6. 0=M´odulo cero ;φ=morfismo de m´odulos.
A
φ
////B
g
//0
es exacta si solo si φ es Epimorfismo
Ejemplo 1.7. 0=M´odulo cero ;φ=morfismo de m´odulos.
0
f
////A
φ
//B
es exacta si solo si φ es Monomofismo
Ejemplo 1.8. La secuenencia exacta
0 ////A //B //C //0
es equivalente a : inyectivo ; sobreyectivo..
A B C
Ejemplo 1.9. R-M´odulo ,f M´odulo.
f : A −→ B
a −→ f(a)
f(λa) = f(λ)f(a)
Definicion 1.8. Sea A , B , C,D R-M´odulos y α, β, γ, δ morfismos de R-
m´odulo Diremos qu el Diagrama .
A
γ
α //B
β
C
δ //D
es conmutable: si β ◦ α=δ ◦ γ
G.Daniel S´anchez Mej´ıa
7. Cap´ıtulo 2
Categorias y Funtores
Definicion 2.1. La categoria C es un triplete
C ={objeto; Hom(A, B); ◦} tales que
1. Los objetos se denotan por A;B;C;....
2. Los elementos f ∈ Hom(A, B) se llaman morfismo
3. El conjunto
Hom(A, B)×Hom(B, C) = {(f, g) : f ∈ Hom(A, B); g ∈ Hom(B, C)}
4. La composici´on:
◦ : Hom(A, B) × Hom(B, C) −→ Hom(A, C)
(f, g) −→ g ◦ f
Sujetoa alos axiomas
1. Hom(A, B) = Hom(C, D) ⇐⇒ A = C; B = D
2. f : A −→ Bg : B −→ Ch : C −→ D
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f
3. ∃; 1A : A −→ A donde A∈ Hom(A, A)
f ◦ 1A = f ; 1A ◦ g = g
Observaci´on 2.1. Hom(A, B) = Hom(C, D) ⇐⇒ A = C; B = D
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8. CAP´ITULO 2. CATEGORIAS Y FUNTORES 7
Ejemplo 2.1. A = C = S1
; B = R2
; D = R2
− {(0, 0)}
f : S1
−→ R2
; f(x, y) = (x, y)
f : S1
−→ R2
; g(x, y) = (x, y)
Hom((S1
, R2
− {(0, 0)}) ̸= Hom(S1
, R2
− (0, 0))
Definicion 2.2. Diremos que un morfismo f ∈ Hom(A,B) se llama isomor-
fismo Si existe g : B → A tal que :
f ◦ g = 1B
g ◦ f = 1A
Observaci´on 2.2. 1. El morfismo g : B → A es unico y se denota por
g = f−1
2. (f−1
)−1
= f donde g−1
= f
Demostraci´on
Definicion 2.3. Si existe f : A → B isomorfismos diremos que A,B son
isomorfismos, estos isomorfismo tienen nombres diferentes
1. Funciones Continuas →Homeomorfismo
2. Funciones Diferenciales →Difeomorfismos
3. Funciones Analitica →H funciones holomorfas (series convergentes)
4. Funciones de Anillos →funciones isomorfas de anillos.
Observaci´on 2.3. Sea una categorias.. C={obj(c), Hom(A, B); ◦}
Ejemplo 2.2. Sea C=Categoria de conjuntos.
obj(C)={A:Aconjuntos}
Hom(A, B) × Hom(B, C) → Hom(A, C)
(f, g) → g ◦ f
1. Asociativa :f,g y h: Hom(A,B) y Hom(B,C) Hom(C,D)
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) por asociatividad de funciones
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9. CAP´ITULO 2. CATEGORIAS Y FUNTORES 8
2. Si f∈ Hom(A,B) y g∈ Hom(C,A) y 1A : Hom(A, A) f ◦ 1A = f
1A ◦ g = g
3. Hom(A,B)=Hom(C,D)
Observaci´on 2.4. f : A → B ; g : C → B funciones f=g ⇐⇒A=C y B=D
Ejemplo 2.3. La categoria de espacios topologicos f con funciones continuas.
CJ ={obj(τ);Hom(A,B);◦} es una Categoria.
Donde :
obj(τ)={(x,τ),espacio topologico}.
Hom(A,B)={f:A → B,funciones continuas}.
◦ ≡ composicion de funciones
G.Daniel S´anchez Mej´ıa
