Este documento describe los conceptos de homomorfismo de anillo y módulo. Explica que un homomorfismo de anillo preserva las operaciones de suma y multiplicación y que su imagen es un subanillo. También define tipos de homomorfismos como monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos. Finalmente, indica que un homomorfismo de módulo preserva las acciones del anillo sobre el módulo y que los módulos junto con sus homomorfismos forman una categoría abeliana.
2. HOMOMORFISMO DE ANILLO
Se dirá que la aplicación ƒ: R → S, es
un homomorfismo de anillo si se cumplen las
siguientes dos condiciones:
1.- ƒ (a + b) = ƒ(a) + ƒ(b), cualesquiera que
sean a, b ϵ R.
2.- ƒ (a . b) = ƒ(a) . ƒ(b), cualesquiera que
sean a, b ϵ R.
3. HOMOMORFISMO DE ANILLO
La primera condición nos dice que ƒ es
en particular un homomorfismo de grupo
entre los grupos abelianos (R, +) y (S,
+). Con esta definición se ve que la
imagen de ƒ, im(ƒ) = ƒ (R), es un
subanillo de (S, +, .).
4. TIPOS DE HOMOMORFISMOS
Se dice que ƒ es un monomorfismo si es una
aplicación inyectiva, es decir, ƒ (a) = ƒ (b) implica
que a = b, cualesquiera que sean a, b ϵ R. Esto es
equivalente a decir que Ker ƒ = {0}.
5. TIPOS DE HOMOMORFISMOS
• Se dice que ƒ es un epimorfismo si es una
aplicación sobreyectiva, es decir, ƒ (R) = im (ƒ)
= S. Un epimorfismo de anillos no es
necesariamente
una
aplicación
sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos
de anillos sobreyectivos sí resultan ser
epimorfismos.
6. TIPOS DE HOMOMORFISMOS
dice que ƒ es un isomorfismo si existe
el homomorfismo inverso ƒ ⁻ᴵ : S → R de
manera que
ƒ ᴵƒ ⁻ᴵ= Idѕ y ƒ ᴵƒ ⁻ᴵ=
Idʀ. Esto ocurre si y solo ƒ si es una
aplicación biyectiva, es decir, ƒ es a la vez
monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.
Se
7. TIPOS DE HOMOMORFISMOS
• Si R y S son anillos unitarios (cuyos elementos
unidades
son
respectivamente
1ʀ
y
1ѕ), entonces la aplicación ƒ: R → S se dirá que
es un homomorfismo de anillo unitario si es un
homomorfismo de anillo y además se cumple ƒ
(1ʀ) = 1ѕ.
8. HOMOMORFISMO DE MÓDULO
Suponga que M es un R-módulo izquierdo
y N es un subgrupo de M. Entonces N es un
submódulo de (o R-submódulo, para ser más
explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r
en R, el producto m está en N. Si M y N son R –
módulos, entonces una función f: M → N es un
homomorfismo de R – módulos si, para cualquier
m, n en M y r, s en R se tiene que f (rm + sn) = rf
(m) + sf (n).
Esto como cualquier homomorfismo de
objetos matemáticos, es precisamente una
función que preserva la estructura de los objetos.
9. HOMOMORFISMO DE MÓDULOS
Un homomorfismo biyectivo de módulos es
un isomorfismo de módulos y los dos módulos se
llaman isomorfos. Dos módulos isomorfos son
idénticos para todos los propósitos prácticos,
diferenciándose en la notación para sus
elementos.
El núcleo de un homomorfismo de módulo
f: M → N es el submódulo de M que consiste en
todos los elementos que son enviados a cero por
f.
Los R-módulos izquierdos junto con sus
homomorfismos de módulo, forman una
categoría escrita como ʀMod. Esta es una
categoría abeliana.
