1.-FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD.pptx

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE
CIENCIAS
FÍSICA II
Autor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora
Trujillo-2023
FUNDAMENTOS
DE
ELASTICIDAD

19/04/2023
Segundo Lizardo Gallardo
Zamora
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ELASTICIDAD
La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones
(transitorias o permanentes) que sufren los cuerpos bajo
la acción de fuerzas externas.
Estas deformaciones se deben a variaciones de las
posiciones relativas de las moléculas o enlaces interató-
micos de los átomos de un cuerpo, bajo la acción de
fuerzas mecánicas externas que pueden producir:
tracción, compresión o torsión.
Como modelo simplificado de las deformaciones de un
cuerpo, consideremos las variaciones de las dimensiones
relativas de los enlaces, representados mediante resor-
tes, que unen átomos y moléculas como se muestra en la
Fig.1 de la siguiente página.

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ELASTICIDAD
F
-F
Deformación
por
compresión
-F F
a) Deformación por
tracción

Deformación
por torsión
Figura 1.
En las Fig.2, Fig. 3
y Fig.4, se mues-
tran algunos tipos
de deformaciones
que realizamos o
vemos en la vida
práctica.
Figura 2. Deformación por
Estiramiento y torsión
Figura 3. Deformación
por aplastamiento
Figura 4. Deformación
por torsión

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ELASTICIDAD
Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuer-
za se dice que es un cuerpo elástico o que tuvo una defor-
mación transitoria.
En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma
al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plástico o que
tuvo una deformación permanente
Los cuerpos de comportamiento
plástico pueden romperse si la fuer-
za deformadora sigue actuando so-
bre estos, tal como se muestra en la
Fig.5, con un vehículo deformado
por la colisión o un CD deformado
por torsión hasta romperlo.
Figura 5.

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ELASTICIDAD
Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo). Es la relación entre
la fuerza deformadora normal y el área de la superficie so-
bre la cual actúa. Se represente por la letra griega épsilon
minúscula: 
Unidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2
Deformación (Tensor de Deformación o deformación
unitaria).
Esfuerzo =
Fuerza
Área
Es la medida del grado de deformación que sufre una de-
terminada dimensión del cuerpo cuando es sometida a un
esfuerzo. Se representa por la letra griega delta minúscula:
.
Deformación =  =
Variación de la dimensión
Dimensión inicial
 =
F
A
(1)

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ELASTICIDAD
La deformación es un número sin unidades, pues expresa
solamente la relación entre la variación de una dimensión
del cuerpo con su dimensión inicial.
Según la dimensión que se tome en cuenta, la deforma-
ción puede ser de varios tipos.
I. Deformación longitudinal. Es la deformación que sufre la
dimensión paralela a la dirección de la fuerza deforma-
dora, ya sea por estiramiento o compresión.
Deformación longitudinal =
Variación de la longitud
Longitud inicial
L = =
L – L0
L0
 L
L0
(2)

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ELASTICIDAD
Ejemplo 1. En la Fig.6 y Fig.7 se muestra un cable cilíndrico
deformado por estiramiento.
Figura 6. Cable
sujeto a
estiramiento
por tensión
F = Tensión = T
F = m g
D
Do
A
L
Lo
F
F
Figura 7. En vista
ampliada el cable
es deformado lon-
gitudinal y trans-
versalmente.
En todos los cuerpos la deformación,
en una determinada dimensión, implica también defor-
maciones en las dimensiones transversales a la dirección
de la fuerza, tal como se ha ilustrado en la Fig.7 para el
diámetro de un cable cilíndrico.

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ELASTICIDAD
II. Deformación transversal. Es la deformación que sufre la
dimensión transversal (perpendicular) a la dirección de la
fuerza deformadora.
T = =
D – D0
D0
 D
D0
(3)
Por ejemplo, en la varilla cilíndrica de la Fig.7, la defor-
mación transversal se define usando el diámetro. Por lo
tanto:
Razón de Poisson.
Es la relación entre la deformación transversal y la defor-
mación longitudinal. Se representa por la letra griega
sigma minúscula: 
Deformación
transversal
Variación de la dimensión transversal
Dimensión transversal inicial
=

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ELASTICIDAD
 = -
D / D0
 L / L0
(4)
Pregunta. ¿Cómo definiría: a) la defor-
mación longitudinal, b) la deforma-
ción transversal y c) la razón de Pois-
son de la barra rectangular de la Fig.8. Figura 8.
ao
bo
co
- F F
Para una barra cilíndrica de la Fig.7 de diámetro Do y lon-
gitud Lo iniciales la razón de Poisson es:
Razón de Poisson =
Deformación transversal
Deformación longitudinal
La razón de Poisson es un número sin unidades y el signo
negativo permite cancelar el signo negativo que puede
surgir en la deformación lineal o en la deformación trans-
versal. Su valor puede estar entre 0,0 y 0,5.

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ELASTICIDAD
III. Deformación por Torsión. Es la deformación o desplaza-
miento que sufren los planos o capas de un cuerpo por
efecto de un par de fuerzas tangenciales que produce un
torqueo momento, como en la Fig.9.
 c = Tan  (5)
Tangente del ángulo de la
deformación por torsión
=
Deformación por Corte
Cizalladura o Torsión

F
-F
Un ejemplo práctico de la deformación por torsión es el
que sufre un alambre atado a un disco como el de la
Fig.10. Si el disco es girado en un pequeño ángulo  por
acción de la fuerza tangencial F produce el torque  con
Figura 9.

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ELASTICIDAD
respecto al eje central del alambre y el disco..

Figura 10.

F
Alambre
IV. Deformación volumétrica.
V = =
V – V0
V0
 V
V0
(6)
Deformación
Volumétrica
Variación del volumen
Volumen inicial
=
Este tipo de deformación sufre,
por ejemplo el submarino de la
Fig.11, debido a la presión hi-
drostática del agua que lo rodea. Agua
F = P A
Figura 11
Es la deformación del volumen de un
cuerpo como consecuencia de la va-
riación de la presión externa que actúa
sobre el cuerpo.

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ELASTICIDAD
Módulo de Elasticidad.
El módulo de elasticidad se define como la razón entre el
esfuerzo (causa) y la correspondiente deformación
(efecto). Esta relación define una constante característica
del material del cual esta hecho el cuerpo.
Módulo de Elasticidad = = constante
Esfuerzo
Deformación
Si graficamos el esfuerzo vs
la deformación obtenemos
la Fig.12, donde el módulo
de elasticidad esta definido
por la pendiente de la recta.
Constante =

 (7)
Límite
elástico
Límite de
ruptura
Esfuerzo:

Deformación: 
Figura 12

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ELASTICIDAD
La relación lineal entre  y  se denomina la Ley de Hooke
y es válida dentro del límite de elasticidad. Esto significa
que:  = (const) 
Tipos de módulos.
Módulo de Young. Este módulo mide la
resistencia de un sólido a un cambio de su
longitud (aumento o disminución).
Módulo de Young =
Esfuerzo longitudinal
Deformación longitudinal
F/A
L/Lo
Y = 
L
Y = (8)
Para una varilla cilíndrica como la de la
Fig.13, el módulo de Young se define como:
D
Do
A
L
Lo
F
F
Figura 13.

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ELASTICIDAD
Unidades: N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2
Este módulo mide la resistencia que presentan los planos
(o capas) de un sólido a ser desplazados unos con respec-
to a otros por acción de una fuerza tangencial que actúa
sobre la superficie del cuerpo.
Módulo
de Torsión
Esfuerzo por torsión
Deformación por torsión
=
Módulo de Torsión (Corte, Rigidez o Cizalladura)
Un ejemplo de esta deformación
es la de un bloque prismático
como el de la Fig. 14 sobre el cual
actúan fuerzas tangenciales F y -F
opuestas sobre cada una de las
caras opuestas de área A.
h
A F

x
-F
Figura 14

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ELASTICIDAD
Para la Fig.13, el esfuerzo por torsión es definido como:
F
A
T =
y la deformación por torsión como:
c = Tan  =  x / h
Si el ángulo de deformación es pequeño:
Tan    rad.
c =  rad.
Entonces, la deformación por torsión es:
(9)
Por lo tanto, el módulo de torsión (Corte, Rigidez o
Cizalladura es:
G =
F /A

(10)
Unidades: N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

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ELASTICIDAD
MÓDULO VOLUMÉTRICO.
Mide la resistencia que presentan los sólidos o líquidos a
cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de
presión. Módulo
Volumétrico
Esfuerzo volumétrico
Deformación Volumétrica
= B =
Donde el esfuerzo volumétrico, según la Ec.(1), sería:
Esta ecuación nos indica que el esfuerzo volumétrico re-
presenta un cambio de presión y que al actuar sobre un
cuerpo le hace cambiar su volumen.
F
A
v = = P (21)
Por definición la deformación volumétrica es:
v =
V
Vo
(22)

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ELASTICIDAD
Entonces, usando las Ec.(21) y (22), el módulo volumétrico
del paralelepípedo de la Fig. 18 podemos definirlo como:
F
F
F
F
F
A
Figura 18
vo
v
Módulo Volumétrico = B = - P
V / Vo
(23)
o en la forma
El signo negativo (-) en estas fórmulas en
sirven para cancelar el signo negativo (-)
que puede surgir en P o en V, porque el
módulo volumétrico B siempre es positivo.
B = - Vo ( )
P
V
(24)
Las unidades del módulo volumétrico son iguales a las del
módulo de Young y módulo de torsión.
N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

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ELASTICIDAD
Módulo de Compresibilidad.
K = = - ( )
V
P
1
B
1
Vo
(25)
En muchas aplicaciones prácticas se usa el módulo de
compresibilidad definido como el inverso del módulo
volumétrico
La unidades del módulo de compresibilidad son:
m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf
Los valores de los módulos de elasticidad y la razón de
Poisson, para diversos materiales, se encuentra en los
textos de Física, tal como se muestran en la Tabla 1.

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ELASTICIDAD
TABLA 1. Módulos de Elasticidad y razón de Poisson de algunos materiales
Material
Módulo de Young
Y N/m2
Módulo de Corte
G N/m2
Módulo Volumétrico
B N/m2
Razón de
Poisson 
Acero 21 x 1010 8,1 x 1010 17 x 1010 0,30
Aluminio 6,8 x 1010 2,5 x 1010 7,5 x 1010
Bronce 9,1 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010
Cobre 10,8 x 1010 4,2 x 1010 14 x 1010
Cuarzo 5,6 x 1010 2,6 x 1010 2,7 x 1010
Estaño 4,5 x 1010 1.67 x 1010 5,1 x 1010
Latón 4,6 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010
Oro 7,6 x 1010 2,8 x 1010 16,6 x 1010
Plata 7,4 x 1010 2,8 x 1010 10,9 x 1010
Vidrio 6,5 - 7,8 x 1010
2,6 – 3,2 x 1010 5,0 – 5,6 x 1010
Mercurio ---------------- ---------------- 2,8 x 1010 ----------------
Agua ---------------- ---------------- 0,21 x1010 ----------------
Glicerina ---------------- ----------------- 4,5x109 ----------------

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ELASTICIDAD
RELACIONES ENTRE MÓDULOS DE ELASTICIDAD.
En cuerpos Isotrópicos (igual propiedad en todas direccio-
nes) y Homogéneos (igual densidad) los tres módulos de
elasticidad y la razón de Poisson se relacionan mediante la
expresión:
Y = 3 B ( 1 – 2  ) = 2 G ( 1 +  ) (26)
Ejemplo 1
Un alambre de 100 cm de longitud y 0,64 cm de radio, su-
jetado en su extremo superior soporta en el otro extremo
Esta relación se puede verificar usando los datos de la
Tabla 1. Por ejemplo, para el acero si aplicamos la fórmula
 = (Y/2G) – 1
Obtenemos:  = (21x1010/2x8.1x1010) – 1
= 0,296296…  0,30

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ELASTICIDAD
una carga de 1,2 kgf en su extremo inferior. Si el módulo
de Young es vale 9,0x1011 din/cm2 y la razón de Poisson
0,30, calcular: a) la deformación por extensión, b) la dis-
minución en el radio y c) la disminución en el área de la
sección transversal del alambre
Datos: L = 100 cm = 1,00 m; ro = 0,64 cm = 0,0064 m; F =
1,2 kgf = 11,772 N; Y = 9,0x1011 din/cm2 = 9,0x1010 N/m2
y  = 0,30
Solución
a) La deformación por extensión L = L/Lo , se puede ob-
tener del módulo de Young
Y = (F/A)/(L/Lo)
Esto es L = (L/Lo) = F/AY

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ELASTICIDAD
donde el área de la sección transversal es:
A =  (0,0064)2 = 1,29x10-4 m2
b) La disminución en el radio se obtiene de
 = – (D/Do)/(L/Lo)
c) La disminución en la sección transversal del área es:
A = (r2 – r2
o) = [(ro +  r)2 – r2
o]
≈ 2 ro r
Por lo tanto: L = (11,772/[(1,29x10-4 )(9,0x1010 )]
L = 1,01x10-6
Entonces: r = –  ro L = -(0,30x0,0064x1,01x10-6 )
= – 1,9x10-9 [m]
de donde: D = –  Do(L/Lo) = –  Do L
y como D = 2 r, se demuestra que: D = 2r = –  2 ro L

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ELASTICIDAD
Expresión que se obtiene cuando, en el cálculo de A, no
se consideran potencias de segundo o mayor orden en
( r), por ser una cantidad muy pequeña.
Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20
[m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de diámetro.
Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. ¿Cuál es
la deformación longitudinal promedio del clavo durante
cada impacto?
Ejemplo 6
Datos: m = 0,300 kg; V1 = 20 m/s; Do= 2,5 mm = 2,5 x10-3
m; V2 = 10 m/s; t = 0,11 s, Y = 21x1010 N/m2.
Por lo tanto, usando valores se tiene:
A ≈ (2)( )(0,0064)(-1,9x10-9) = -7,6x10-11 [m2 ]

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ELASTICIDAD
Solución.
La deformación por compresión L = L/Lo se obtiene del
módulo de Young: Y = (F/A)/(L/Lo)
Entonces : L = (L/Lo) = F/AY
Para calcular la fuerza usamos la relación entre impulso y
momento lineal: Ft = m V
de donde F = m V/t.
Donde el cambio de velocidad V se
obtiene usando la Fig.19.
Figura 19
Y
X
𝒋
𝒊
Entonces: F = 0,300(30)/0,11 = 81,8 [N]
y como A = ()(2,5 x10-3 )2 /4 = 4,9x10-6 [m2]
𝐕𝟏 𝐕𝟐
V =  𝐕𝟐 – 𝐕𝟏  =  10 j-(-20 j)
= 30 j = 30 [m/s]

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ELASTICIDAD
Finalmente tenemos:
Ejemplo 7
Dos placas metálicas se mantienen juntas por medio de
cuatro remaches de diámetro 0,50 cm, como se muestra
en la Fig.20. Si el esfuerzo máximo de corte que puede
soportar cada remache es de 3,0x108 N/m2. ¿Cuánta
fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para
desprender los remaches?
Datos: D = 0,50 cm = 0,0050 m; c = 3,0x108 N/m2
L = 81,8/[(4,9x10-6)(21x1010)] = 7,9x10-5
Solución:
El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es:
c = FT /A

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ELASTICIDAD
y para “n” remaches es: F = n  A , con A =  D2/4
Usando valores: F = 4(3,0x108)()(0,0050)2/4
F = 2,4x104 [N]
De donde la fuerza tangencial
o paralela que se aplica a las
placas para desprender un
sólo remache es:
FT = c A
-FT
remache
Figura 20
FT
FT
A
-FT
Ejemplo 8
Un torque de 24,53 N.m, aplicado en el extremo de una
varilla cilíndrica de 1,25 cm de diámetro y 60,6 cm de lon-
gitud, le produce una torsión de 2° cuando el otro extre-
mo es mantenido fijo. Encontrar: i) el módulo de rigidez
de la varilla y ii) el trabajo realizado en esta deformación.

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ELASTICIDAD
Datos:  = 24,53 [N], D = 1,25 [cm] = 1,25x10-2 [m], R =
6,25x10-3 [m], L = 60,6 [cm] = 0,606 [m] y  = 2° = /90
[rad]
Solución
a) El módulo de rigidez se obtiene usando valores en:
2 L 
  R4
G =
2(0,606)(24,53)
 (/90)(6,25x10-3)4
G = G = 1,78x1011 [N/m2]
b) El trabajo realizado se obtiene usando valores en:
W =
 G R4 2
4 L
W =
 (1,78x1011)(6,25x10-3)4 (/90)2
4 (0.606)
W = 4,23 [J]

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ELASTICIDAD
Ejemplo 9
Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la pre-
sión atmosférica normal. (1,013x105 Pa). Calcular el cam-
bio de radio “a” de la esfera si: a) es llevada a la luna (pre-
sión esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fon-
do del océano, donde la presión es de 8,0x107 Pa. (Pa =
N/m2)
Datos: ro = 10,0 cm = 0,100 m; Po = 1,013x105 Pa = 1,013x
105 N/m2 = 1 atm; P1 ≈ 0, P2 = 8,0 x107 Pa y Bvidrio = 5,6x
1010 N/m2
Solución
a) El cambio en el radio en la Luna se obtiene del módulo
volumétrico: B = – Vo P/V.
donde despejamos: V = – Vo P/B.

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ELASTICIDAD
Pero: V = (4/3)(r3 – r3
o) ≈ 4  r2
o r
Usando valores se tiene:
r = – (0,100/3)(0 – 1,013x105)/5,6x1010 )
r = 6,03x10-8 m
que simplificando obtenemos:
r = – (ro/3)(P – Po )/B
por lo tanto: 4  ro
2 r = – (4/3)ro
3 (P – Po)/B
Este resultado positivo significa un aumento del radio
de la esfera en la Luna.
b) Esta pregunta queda como ejercicio para el
estudiante.

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ELASTICIDAD
EJERCICIO EL-01
4. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un
cable cuya diámetro es 2,54 cm. ¿Cuál es el esfuerzo en el
cable?
3. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta
alcanzar una longitud de 35.07 cm. ¿Cuál es la
deformación lineal del alambre?
1. Definir el esfuerzo y la deformación producida en una
varilla de sección transversal rectangular cuando es
sometida a una fuerza de tracción.
2. Completar los valores de la razón de Poisson de la Tabla
1, (Diap. 25) usando una de las relaciones de la Ec. 15
(Diap. 18)

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ELASTICIDAD
5. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105
kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. ¿Cuál es el
diámetro del alambre?
6. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m
de longitud soporta una carga que la comprime
longitudinalmente en 6,25 mm. ¿Cuál es la magnitud de
la carga?
7. Un semáforo de 50 kgf es sostenido mediante dos
cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables
forman un ángulo de 14° con la horizontal, ¿cuál es la
deformación longitudinal y la deformación transversal
del alambre?
8. Un cubo de latón de 6 cm de lado es sometido a una
fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras.

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ELASTICIDAD
Calcular la deformación volumétrica del cubo.
9. Demostrar que, cuando un esfuerzo cortante c
deforma un cuerpo en un ángulo , el trabajo por
unidad de volumen es ½ c  y que, cuando un esfuerzo
uniforme F produce una deformación volumétrica v,
el trabajo por unidad de volumen realizado es ½ P V
10. Un bloque cúbico es sometido a una tensión uniforme
F perpendicular a un par de caras opuestas. Demostrar
que: i) la deformación volumétrica del cubo es
aproximadamente: v = L (1 - 2 ) y ii) el decremento
fraccionario en el área de la sección transversal, sobre
la que actúa F, es aproximadamente (A/Ao ) = 2   L
FIN

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