1. fundamentos de elasticidad

23/04/2019
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
FÍSICA AVANZADA
ELASTICIDAD
Autor: Segundo Lizardo Gallardo
Zamora Trujillo-2014
Segundo L. Gallardo Zamora 1

La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones (transito-
rias o permanentes) que sufren los cuerpos bajo la acción de
fuerzas externas.
ELASTICIDAD
23/04/2019 2Segundo L. Gallardo Zamora
Estas deformaciones se deben a variaciones de las posiciones
relativas de las moléculas o enlaces interatómicos de los
átomos de un cuerpo, bajo la acción de fuerzas mecánicas
externas que pueden producir: tracción, compresión,o torsión.
Figura 1. Como mode-
lo simplificado de las
deformaciones de un
cuerpo, consideremos
las variaciones de las
dimensiones relativas
de los enlaces, repre-
sentados mediante re-
sortes que unen áto-
mos y moléculas
F
-F
Deformación
por
compresión
-F F
a) Deformación por
tracción

Deformación
por torsión

En las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deforma-
ciones que realizamos o vemos en la vida práctica
ELASTICIDAD
Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se
dice que es un cuerpo elástico o que tuvo una deformación
transitoria.
Figura 2. Deformación por
Estiramiento (tracción)
Figura 3. Deformación por
aplastamiento (compresión)
Figura 4. Deformación
por torsión
En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al
cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plástico o que tuvo una
deformación permanente

ELASTICIDAD
Los cuerpos de comportamiento plástico pueden romperse si
la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se
muestra en la Fig.5, con un vehículo deformado por la colisión
o un CD deformado por torsión hasta romperlo.
Figura 5. Deformación Permanente y rotura
Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo). Es la relación entre la
fuerza deformadora y el área de la superficie sobre la cual
actúa. Se represente por la letra griega épsilon minúscula: 

ELASTICIDAD
Unidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2
Deformación (Tensor de Deformación o deformación unitaria).
La deformación es un número sin unidades
Esfuerzo =
Fuerza
Área
Deformación =  =
Variación de la dimensión
Dimensión inicial
 =
F
A
(1)
Es la medida del grado de deformación que sufre una determina-
da dimensión del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo. Se
representa por la letra griega delta minúscula: 
Según la dimensión que se tome en cuenta, la deformación
puede ser de varios tipos.

I. Deformación longitudinal. Es la deformación que sufre la di-
mensión paralela a la dirección de la fuerza deformadora (por
estiramiento o compresión).
ELASTICIDAD
Deformación longitudinal =
Variación de la longitud
Longitud inicial
Ejemplo 1. En la Fig.6 y Fig.7 se muestra un
cable cilíndrico deformado por estiramiento.
Figura 6. Cable
sujeto a
estiramiento por
tensión
F = Tensión = T
F = m g
L = =
L – L0
L0
 L
L0
(2)
D
Do
A
L
Lo
F
F
Figura 7. En vista
ampliada el cable
es deformado
longitudinal y
transversalmente.

ELASTICIDAD
En todos los cuerpos, la deformación en una determinada
dimensión implica también deformaciones en las dimensio-
nes transversales a la dirección de la fuerza, tal como se
ilustra en la Fig.7 para el diámetro de un cable cilíndrico.
Deformación transversal =
Variación de la dimensión transversal
Dimensión transversal inicial
II. Deformación transversal. Es la deformación que sufre la di-
mensión transversal (perpendicular) a la dirección de la
fuerza deformadora.
T = =
D – D0
D0
 D
D0
(3)
Por ejemplo, en la varilla cilíndrica de la Fig.7, la deforma-
ción transversal es definida por el diámetro. Por lo tanto:
Razón de Poisson.
Es la relación entre la deformación transversal y la deformación
longitudinal. Se representa por la letra griega sigma minúscula:

ELASTICIDAD
Razón de Poisson =
Deformación transversal
Deformación longitudinal
 = - = -
D / D0
 L / L0
 D Lo
 L D0
(4)
Para una barra cilíndrica de diámetro Do y longitud Lo iniciales,
como el de la Fig.7, la razón de Poisson es:
La razón de Poisson es un número sin unidades y el signo negativo
permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformación
lineal o en la deformación transversal. Su valor puede estar entre 0,0 y
0,5.
Pregunta. ¿Cómo definiría: a) la defor-
mación longitudinal, b) la deformación
transversal y c) la razón de Poisson de
la barra rectangular de la Fig.8, some-
tida a la fuerza deformadora F paralela
a la arista b.
Figura 8.
ao
bo
co
- F F

III. Deformación por torsión (corte o cizalladura). Es la deforma-
ción o desplazamiento que sufren los planos o capas de un
cuerpo por efecto de una fuerza tangencial que produce un
torque.
ELASTICIDAD
Ejemplo 3. La deformación por torsión
que sufre el alambre atado a un disco,
como el de la Fig.9, se mide mediante
el pequeño ángulo  que gira el disco
por acción del torque .
Figura 4
IV. Deformación volumétrica. Es la deformación del volumen de
un cuerpo como consecuencia de la variación de la presión
externa que actúa sobre el cuerpo.
 c = Tan  (5)
Deformación por Corte
Cizalladura o Torsión
Tangente del ángulo de la
deformación por torsión
=

Figura 9.

F
Alambre

ELASTICIDAD
Módulo de Elasticidad.
El módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo
y la correspondiente deformación.
Figura 10. Submarino
sujeto a deformación
volumétrica por la presión
del agua
Agua
F = P A
Módulo de Elasticidad = =
Esfuerzo
Deformación


(7)
Deformación Volumétrica =
Variación del volumen
Volumen inicial
V = =
V – V0
V0
 V
V0
(6)

ELASTICIDAD
El módulo de elasticidad es una constante característica del
material del cual esta hecho un cuerpo. En un gráfico del
esfuerzo vs la deformación, el módulo de elasticidad es igual a la
pendiente del gráfico como se muestra en la Fig.11.
Límite
elástico
Límite de
ruptura
Esfuerzo
DeformaciónFigura 11
Tipos de módulos.
Módulo de Young.
Este módulo mide la resistencia de un sólido a un cambio de
longitud.
La relación lineal entre  y 
se denomina la Ley de Hooke
y es válida dentro del límite de
elasticidad. Luego:
Esfuerzo
Deformación
= constante
Esfuerzo = (const) Deformación

ELASTICIDAD
Unidades:
N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2
Módulo de Young =
Esfuerzo longitudinal
Deformación longitudinal
F/A
L/Lo
Y =

L
Y = (8)
Módulo de Torsión (Corte, Rigidez o
Cizalladura)
Este módulo mide la resistencia que presentan
los planos (o capas) de un sólido a ser
desplazados unos con respecto a otros por
acción de una fuerza tangencial que actúa sobre
la superficie del cuerpo.
Para una varilla cilíndrica como la de la Fig.12,
el módulo de Young es:
D
Do
A
L
Lo
F
F
Figura 12.

ELASTICIDAD
23/04/2019 Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplo 4.
Para la fuerza F, que actúa tangen-
cialmente a la superficie de área A,
deformando el bloque de la Fig.13,
se tiene que: h
A F

x
-F
Figura 13
Esfuerzo por corte = c =
F
A
Módulo de
Torsión
Esfuerzo por torsión
Deformación por torsión
= G =
c =  rad.Entonces:
Si el ángulo de deformación es pequeño: Tan    rad.
13
y la deformación por corte es:
c = Tan  =  x / h (9)

ELASTICIDAD
Por lo tanto, el módulo de corte se define como:
Módulo Volumétrico.
Mide la resistencia que presentan los sólidos o líquidos a
cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presión.
G =
F / A

(10)
Módulo
Volumétrico
Esfuerzo volumétrico
Deformación Volumétrica
= B =
Donde el esfuerzo volumétrico, según la Ec.(1), sería:
Que no es sino, la variación de presión que al actuar sobre un
cuerpo hace cambiar su volumen.
F
A
v = =  P (11)

ELASTICIDAD
Módulo Volumétrico = B = -
 P
 V / Vo
Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresión
anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en  P o en V.
B = - Vo ( )
 P
 V
(13)
Y por definición, la deformación volumétrica es:
Por lo tanto:
Las unidades del módulo volumétrico son iguales a las del
módulo de Young. N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2
F
FF
F
F
A
Figura 14
vo
v
En la Fig. 14 se muestra el cambio de volu-
men V en un paralelepípedo debido a la
variación de presión P.
v =
 V
Vo
(12)

ELASTICIDAD
La unidades del módulo de compresibilidad son el inverso de la
unidades del módulo volumétrico
Los valores de los módulos de elasticidad y la razón de
Poisson, para diversos materiales, se encuentra en los textos
de Física, tal como se muestran en la Tabla 1.
m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf
K = = - ( )
 V
 P
1
B
1
Vo
(14)
Módulo de Compresibilidad.
Este módulo se define como el inverso del módulo volumétrico

TABLA 1. Módulos de Elasticidad y razón de Poisson de algunos materiales
ELASTICIDAD
Material Módulo de Young N/m2 Módulo de Corte
N/m2
Módulo Volumétrico
N/m2
Razón de
Poisson
Acero 21 x 1010 8,1 x 1010 16 x 1010 0,30
Aluminio 6,8 x 1010 2,5 x 1010 7,0 x 1010
Bronce 9,1 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010
Cobre 10,8 x 1010 4,2 x 1010 14 x 1010
Cuarzo 5,6 x 1010 2,6 x 1010 2,7 x 1010
Estaño 4,5 x 1010 1.67 x 1010 5,1 x 1010
Latón 4,6 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010
Oro 7,6 x 1010 2,8 x 1010 16,6 x 1010
Plata 7,4 x 1010 2,8 x 1010 10,9 x 1010
Vidrio 6,5 - 7,8 x 1010
2,6 – 3,2 x 1010 5,0 – 5,6 x 1010
Mercurio ---------------- ---------------- 2,8 x 1010 ----------------
Agua ---------------- ---------------- 0,21 x1010 ----------------
Glicerina ---------------- ----------------- 4,5x109 ----------------

Relaciones entre módulos de elasticidad.
ELASTICIDAD
Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrópi-
cos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogéneos
(igual densidad) los tres módulos de elasticidad y la razón de
Poisson se relacionan mediante la expresión:
Y = 3 B ( 1 – 2  ) = 2 G ( 1 +  ) (15)
Ejemplo 1
Un alambre de 100 cm de longitud y 0,64 cm de radio es
sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 kgf en
su extremo inferior. Si el módulo de Young es 9,0x1011 din/cm2
y la razón de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformación por
extensión, b) la disminución en el radio y c) la disminución en
el área de la sección transversal del alambre.
Datos: L = 100 cm = 1,00 m; ro = 0,64 cm = 0,0064 m; F = 1,2
kgf = 11,772 N; Y = 9,0x1011 din/cm2 = 9,0x1010 N/m2 y  = 0,30
Por ejemplo: La razón de Poisson del acero, se ha obtenido usando la
relación:  = (Y/2G) – 1 = (21x1010/2x8.1x1010) – 1 = 0,2962…  0,30

Solución
ELASTICIDAD
19Segundo L. Gallardo Zamora23/04/2019 19Segundo L. Gallardo Zamora
a) La deformación por extensión L = L/Lo , se puede obtener del
módulo de Young es: Y = (F/A)/(L/Lo)
de donde L = (L/Lo) = F/AY
Donde el área de la sección transversal es:
A =  (0,0064)2 = 1,29x10-4 m2
Entonces: L = (11,772/[(1,29x10-4 )(9,0x1010 )]
L = 1,01x10-6
b) La disminución en el radio se obtiene de  = – (D/Do)/(L/Lo),
de donde: D = –  Do(L/Lo) = –  Do L
y como D = 2 r, se demuestra que: D = 2r = –  2 ro L
Entonces: r = –  ro L = -(0,30x0,0064x1,01x10-6 )
= - 1,9x10-9 m
c) La disminución en la sección transversal del área es:
A = (r2 – r2
o) = [(ro +  r )2 – r2
o] ≈ 2 ro r

Esta expresión se obtiene cuando, en el cálculo de A, no se
consideran potencias de segundo o mayor orden en ( r), por
ser una cantidad muy pequeña.
ELASTICIDAD
Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en
un clavo de acero de 2,5 [mm] de diámetro. Rebota con una
rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. ¿Cuál es la deformación
longitudinal promedio del clavo durante cada impacto?
Ejemplo 2
Datos: m = 0,300 kg; V1 = 20 m/s; Do= 2,5 mm = 2,5 x10-3 m; V2 =
10 m/s; t = 0,11 s, Y = 21x1010 N/m2.
Solución.
La deformación por compresión es L = L/Lo , y como el módulo
de Young es: Y = (F/A)/(L/Lo)
Entonces : L = (L/Lo) = F/AY
Por lo tanto, usando valores se tiene:
A ≈ (2)( )(0,0064)(-1,9x10-9) = -7,6x10-11 m2

Para calcular la fuerza usamos la relación entre impulso y mo-
mento lineal: Ft = m v.
F = m v/t.
ELASTICIDAD
Ejemplo 3
Dos placas metálicas se mantienen juntas por medio de cuatro
remaches de diámetro 0,50 cm, como se muestra en la Fig.16. Si
el esfuerzo máximo de corte que puede soportar cada remache
es de 3,0x108 N/m2. ¿Cuánta fuerza paralela a las placas es
necesaria aplicar para desprender los remaches?
Datos: D = 0,50 cm = 0,0050 m; c = 3,0x108 N/m2
Donde el cambio de velocidad se obtiene
usando la Fig.14.
v =  v2 – v1 = (10 j-(-20 j)) = 30 j = 30 m/s
Entonces: F = 0,300(30)/0,11 = 81,8 N
y como A = ()(2,5 x10-3 )2 /4 = 4,9x10-6 m2
Finalmente: L = 81,8/[(4,9x10-6)(21x1010)] = 7,9x10-5
v1 v2
Figura 15
Y
X
j
i

Solución
ELASTICIDAD
El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: c = FT /A
y para “n” remaches es:
F = n  A , con A =  D2/4
Ejemplo 4
Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presión
atmosférica normal. (1,013x105 Pa). Calcular el cambio de radio
“a” de la esfera si: a) es llevada a la luna (presión
esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del
océano, donde la presión es de 8,0x107 Pa. (Pa = N/m2)
Usando valores: F = 4(3,0x108)() (0,0050)2 /4 = 2,4x104 N
De donde la fuerza tangencial o
paralela que se aplica a las placas
para desprender un remache es:
FT = c A
-FT
remache
Figura 16
FT
FTA
-FT

Datos: ro = 10,0 cm = 0,100 m; Po = 1,013x105 Pa = 1,013x105 N/m2
= 1 atm; P1 ≈ 0, P2 = 8,0 x107 Pa y Bvidrio = 5,6x1010 N/m2
ELASTICIDAD
Solución
a) El cambio en el radio en la Luna se obtiene del módulo volu-
métrico: B = – Vo P/V.
de donde: V = – Vo P/B.
Pero: V = (4/3)(r3 – r3
o) ≈ 4  r2
o r
por lo tanto:
V = – (4/3)ro
3 (P – Po)/B = 4  ro
2 r
que simplificando se tiene:
r = – (ro/3)(P – Po )/B
b) Esta pregunta queda como ejercicio para el alumno.
Usando valores se tiene:
r = – (0,100/3)(0 – 1,013x105)/5,6x1010 )
r = 6,03x10-8 m (Esto es un aumento del radio)

ELASTICIDAD
24Segundo L. Gallardo Zamora 24Segundo L. Gallardo Zamora
EJERCICIO EL-01
4. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya diá-
metro es 2,54 cm. ¿Cuál es el esfuerzo en el cable?
5. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por
un peso de 4,80 kgf. ¿Cuál es el diámetro del alambre?
3. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud
de 35.07 cm. ¿Cuál es la deformación lineal del alambre?
6. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud
soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. ¿Cuál
es la magnitud de la carga?
7. Un semáforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de
acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ángulo de 14° con la
horizontal, ¿cuál es la deformación longitudinal y la deformación
transversal del alambre?
23/04/2019
1. Definir el esfuerzo y la deformación producida en una varilla de sección
transversal rectangular cuando es sometida a una fuerza de tracción.
2. Completar los valores de la razón de Poisson de la Tabla 1, (Diap. 17)
usando una de las relaciones de la Ec. 15 (Diap. 18)

ELASTICIDAD
25Segundo L. Gallardo Zamora 25Segundo L. Gallardo Zamora
8. Un cubo de latón de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de
2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformación volumétrica
del cubo.
9. Demostrar que, cuando un esfuerzo cortante c deforma un cuerpo en un
ángulo , el trabajo por unidad de volumen es ½ c  y que, cuando un
esfuerzo uniforme F produce una deformación volumétrica v, el trabajo
por unidad de volumen realizado es ½ P V
10. Un torque de 24,53 N.m, aplicado en el extremo de una varilla cilíndrica
de 1,25 cm de diámetro y 60,6 cm de longitud, le produce una torsión de
2° cuando el otro extremo es mantenido fijo. Encontrar: i) el módulo de
rigidez de la varilla y ii) el trabajo realizado en esta deformación
11. Un bloque cúbico como el de la Fig.13 (Diapos.14) es sometido a una
tensión uniforme F perpendicular a un par de caras opuestas. Demostrar
que: i) la deformación volumétrica del cubo es aproximadamente: v = L
(1 - 2 ) y ii) el decremento fraccionario en el área de la sección
transversal, sobre la que actúa F, es aproximadamente (A/Ao ) = 2   L
FIN
23/04/2019

1. fundamentos de elasticidad

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 1. fundamentos de elasticidad

Similar a 1. fundamentos de elasticidad (20)

Último

Último (20)

1. fundamentos de elasticidad