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Algoritmo para Calcular Logaritmos

                                 José Acevedo Jiménez
                                  Santiago, Rep. Dom.


          Calcular el logaritmo de un número hoy día es tarea sencilla, el uso
    de tablas y reglas para calcular el valor de los mismos es cosa del
    pasado. Gracias a las computadoras podemos obtener logaritmos con
    una precisión antes no imaginada, entonces cabe preguntarnos: ¿De qué
    sirve un algoritmo que calcule logaritmos si ya existen métodos para
    calcularlos de forma efectiva?
    La respuesta la dejo abierta al lector, mas quiero expresar mi opinión
    sobre la misma, muchos pueden estar pensando: ¿para qué reinventar la
    rueda? Pues bien mis queridos amigos, no se trata de reinventarla sino de
    perfeccionarla, agregarle algún valor, si la primera rueda fue de
    superficie regular, alguien pensó que podía agregarle valor
    adicionándole ranuras, creo en esa filosofía, la de mejorar lo existente.
    Basado en esa filosofía y con la creencia firme de que todo puede ser
    expresado de una forma sencilla, la llevamos a la práctica al crear un
    algoritmo que permite calcular logaritmos de una manera fácil.

    En secundaria nos enseñaron a calcular los logaritmos de números cuyos
    resultados son enteros, ejemplo:

    Para encontrar el logaritmo en base 10 de 1000 sólo tenemos que
    descomponer el 1000 de la siguiente forma:


1000 10
100      10
10       10
1
Es decir que 103 = 1000, como el logaritmo es la operación inversa a la
potenciación tendremos que: Log1000 = 3.

Si queremos encontrar el logaritmo en base 2 de 16, también resulta
bastante sencillo ya que 16 = 24. Siempre que podamos expresar un
número como potencia entera de otro número nos resultará sencillo
encontrar el logaritmo (en base de la potencia dada) de dicho número.

Para recordar:

Un logaritmo se compone de dos partes, la característica (parte entera
del logaritmo) y la mantisa (parte decimal).


Log 35 = 1.54406



    1                0.54406
Característica       Mantisa


Conocer la característica de un logaritmo es bastante sencillo, basta con
rodar el punto decimal hacia la izquierda del número dado hasta obtener
otro número menor que la base del logaritmo, en el caso del ejemplo
mostrado la característica es igual a 1 ya que sólo tenemos que rodar
hacia la izquierda el punto decimal una posición para obtener un número
menor que la base (en este caso igual a 10) del logaritmo. En otras
palabras lo que hicimos fue dividir el número dado entre la base del
logaritmo, hasta obtener otro número menor que la base.
Ejemplos:

a) 1235 1235 ÷ 10 = 123.5
        123.5 ÷ 10 = 12.35
        12.35 ÷ 10 = 1.235

            1.235 < 10  C1235 = 3


b) 100000  100000 ÷ 10 = 10000
           10000 ÷ 10 = 1000
           1000 ÷ 10 = 100
           100 ÷ 10 = 10
           10 ÷ 10 = 1

              1 < 10  C100000 = 5



Si la base del logaritmo es igual a 2, ¿Cual es la característica(C) de los
siguientes números?

  a) 15  15 ÷ 2 = 7.5
         7.5 ÷ 2 = 3.75
         3.75 ÷ 2 = 1.875

       1.875 < 2  C15 = 3

  b) 250  250 ÷ 2 = 125
          125 ÷ 2 = 62.5
          62.5 ÷ 2 = 31.25
          31.25 ÷ 2 = 15.625
          15.625 ÷ 2 = 7.8125
          7.8125 ÷ 2 = 3.90625
          3.90625 ÷ 2 = 1.953125
1.953125 < 2  C250 = 7

Como ya dijimos, un logaritmo se compone de dos partes, la
característica es cosa fácil de hallar, pero que hay de la mantisa, ¿cómo
hacemos para encontrarla?

Una vez encontrada la característica del logaritmo, procedemos a buscar
la mantisa de la siguiente manera:

Anteriormente vimos que la característica de 1235 es igual a 3, en base
del logaritmo igual a 10, y lo desarrollamos de la siguiente manera:

     1235 1235 ÷ 10 = 123.5
          123.5 ÷ 10 = 12.35
          12.35 ÷ 10 = 1.235

            1.235 < 10  C1235 = 3

El primer paso para encontrar la mantisa es tomar el último resultado
(1.235) de las divisiones antes efectuadas y elevarlo a la décima potencia
(base del sistema decimal usado, si quisiéramos expresar nuestra mantisa
en otro sistema numérico, el binario por ejemplo, entonces elevaríamos
el número a la segunda potencia, y así para cada caso dependiendo de la
base del sistema numérico empleado).

1.23510 = 8.25409
Efectuado este paso, procederemos a desarrollar la operación de
división, tal como se hizo para conseguir la característica, hasta obtener
un número menor que la base del logaritmo.

8.25409 < 10  M1235 = 0.0
Como 8.25409 es menor que 10, no podemos efectuar la división por lo
que el primer dígito de la mantisa (M) es igual a cero.
Una vez obtenido el menor de los números, tomamos dicho número y lo
elevamos a la décima potencia, debemos tener presente que el exponente
10 nos lo da la base del sistema numérico y no debe ser confundido con
la base del logaritmo que coinciden en este ejemplo.

8.2540910 = 1467884889

Para obtener el segundo dígito de la mantisa procederemos a desarrollar
la operación de división, hasta obtener un número menor que la base del
logaritmo.

1467884889 ÷ 10 = 146788488.9
146788488.9 ÷ 10 = 14678848.89
14678848.89 ÷ 10 = 1467884.889
1467884.889 ÷ 10 = 146788.4889
146788.4889 ÷ 10 = 14678.84889
14678.84889 ÷ 10 = 1467.884889
1467.884889 ÷ 10 = 146.7884889
146.7884889 ÷ 10 = 14.67884889
14.67884889 ÷ 10 = 1.467884889

1.467884889 < 10  M1235 = 0.09

Tomamos el menor de los números obtenidos y lo elevamos a la décima
potencia, para conseguir el tercer dígito de la mantisa.

1.46788488910 = 46.44299713

Para obtener el tercer dígito de la mantisa procederemos a desarrollar la
operación de división, hasta obtener un número menor que la base del
logaritmo.

46.44299713 ÷ 10 = 4.644299713

4.644299713 < 10  M1235 = 0.091
Una vez más tomamos el menor de los números obtenidos y lo elevamos
a la décima potencia.

4.64429971310 = 4668768.986

Para obtener el cuarto dígito de la mantisa procederemos a desarrollar la
operación de división a partir del resultado obtenido, hasta conseguir un
número menor que la base del logaritmo.

4668768.986 ÷ 10 = 466876.8986
466876.8986 ÷ 10 = 46687.68986
46687.68986 ÷ 10 = 4668.768986
4668.768986 ÷ 10 = 466.8768986
466.8768986 ÷ 10 = 46.68768986
46.68768986 ÷ 10 = 4.668768986

4.668768986 < 10  M1235 = 0.0916

Realizando este proceso de ‘elevar y dividir’, hemos conseguido una
mantisa de cuatro cifras, después del punto decimal. Para obtener un
resultado más preciso, sólo tenemos que seguir el proceso mostrado una
y otra vez hasta conseguir una mantisa con la precisión deseada.

Si han sido buenos observadores, entonces habrán notado que se han
tomado los números con una considerable cantidad de dígitos después
del punto decimal, esto es importante si queremos conseguir resultados
precisos, aunque para nuestro caso no es necesario usar cantidades tan
exactas, ya que a modo de ilustración sólo nos ha interesado una mantisa
de cuatro cifras decimales.

Una forma de comprender mejor lo expuesto es a través del siguiente
diagrama de flujo:
Diagrama de flujo
                           (Cálculo de logaritmos)




           Inicio




     Número(N)




     Base Log. (B)




      Div. (D) = N
                                                               N = N-1




           N>B
                          No
                                             N<1
            ¿?                                ¿?              Si

       Si
                                                   No              Div. menor = D

           D = D/B



     Cuenta Div. Efect.
          (CDE)
                                                           Borrar CDE


                                                                                    1
           D≥B
Si          ¿?                 No   Característica = CDE
No
                         D=1                             D = D10
1                         ¿?



                        Si
                                                         E=D
                     Característica
                       (Caract)




                           Fin             No            D>B
                                                          ¿?



       Borrar Cuenta (C)
                                                         Si


                                                         E = E/B
     Mult. Var. K por 10
           (K = 1)



                                                         Cuenta

     Caract. = (Caract + C/ K)




                                            No           E≥B            Si
          Borrar C                                        ¿?




Si                                    No                           No
            E=1                                  Parar                       D=E
             ¿?                                   ¿?




                                                   Si
Aplicando el algoritmo de cálculo de logaritmos, encuentre el logaritmo
común de 25. Usar sistema de numeración binario.

25 ÷ 10 = 2.5
   2.5 < 10  C25 = 1

2.52 = 6.25
    6.25 < 10  M25 = 0.0

6.252 = 39.0625
39.0625 ÷ 10 = 3.90625
   3.90625 < 10 M25 = 0.01

3.906252 = 15.25878
15.25878 ÷ 10 = 1.525878
    1.525878 < 10 M25 = 0.011

1.5258782 = 2.3283
    2.3283 < 10  M25 = 0.0110

2.32832 = 5.4209
    5.4209 < 10 M25 = 0.01100

5.42092 = 29.3861
29.3861 ÷ 10 = 2.93861
    2.93861 < 10  M25 = 0.011001

Log 25(base decimal) = 1.011001(base binaria)

Nota:
     Sólo la mantisa queda expresada en el sistema numérico usado
(binario en este caso), el valor de la característica debe ser convertido al
sistema numérico utilizado.

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Logaritmos

  • 1. Algoritmo para Calcular Logaritmos José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. Calcular el logaritmo de un número hoy día es tarea sencilla, el uso de tablas y reglas para calcular el valor de los mismos es cosa del pasado. Gracias a las computadoras podemos obtener logaritmos con una precisión antes no imaginada, entonces cabe preguntarnos: ¿De qué sirve un algoritmo que calcule logaritmos si ya existen métodos para calcularlos de forma efectiva? La respuesta la dejo abierta al lector, mas quiero expresar mi opinión sobre la misma, muchos pueden estar pensando: ¿para qué reinventar la rueda? Pues bien mis queridos amigos, no se trata de reinventarla sino de perfeccionarla, agregarle algún valor, si la primera rueda fue de superficie regular, alguien pensó que podía agregarle valor adicionándole ranuras, creo en esa filosofía, la de mejorar lo existente. Basado en esa filosofía y con la creencia firme de que todo puede ser expresado de una forma sencilla, la llevamos a la práctica al crear un algoritmo que permite calcular logaritmos de una manera fácil. En secundaria nos enseñaron a calcular los logaritmos de números cuyos resultados son enteros, ejemplo: Para encontrar el logaritmo en base 10 de 1000 sólo tenemos que descomponer el 1000 de la siguiente forma: 1000 10 100 10 10 10 1
  • 2. Es decir que 103 = 1000, como el logaritmo es la operación inversa a la potenciación tendremos que: Log1000 = 3. Si queremos encontrar el logaritmo en base 2 de 16, también resulta bastante sencillo ya que 16 = 24. Siempre que podamos expresar un número como potencia entera de otro número nos resultará sencillo encontrar el logaritmo (en base de la potencia dada) de dicho número. Para recordar: Un logaritmo se compone de dos partes, la característica (parte entera del logaritmo) y la mantisa (parte decimal). Log 35 = 1.54406 1 0.54406 Característica Mantisa Conocer la característica de un logaritmo es bastante sencillo, basta con rodar el punto decimal hacia la izquierda del número dado hasta obtener otro número menor que la base del logaritmo, en el caso del ejemplo mostrado la característica es igual a 1 ya que sólo tenemos que rodar hacia la izquierda el punto decimal una posición para obtener un número menor que la base (en este caso igual a 10) del logaritmo. En otras palabras lo que hicimos fue dividir el número dado entre la base del logaritmo, hasta obtener otro número menor que la base.
  • 3. Ejemplos: a) 1235 1235 ÷ 10 = 123.5 123.5 ÷ 10 = 12.35 12.35 ÷ 10 = 1.235 1.235 < 10  C1235 = 3 b) 100000  100000 ÷ 10 = 10000 10000 ÷ 10 = 1000 1000 ÷ 10 = 100 100 ÷ 10 = 10 10 ÷ 10 = 1 1 < 10  C100000 = 5 Si la base del logaritmo es igual a 2, ¿Cual es la característica(C) de los siguientes números? a) 15  15 ÷ 2 = 7.5 7.5 ÷ 2 = 3.75 3.75 ÷ 2 = 1.875 1.875 < 2  C15 = 3 b) 250  250 ÷ 2 = 125 125 ÷ 2 = 62.5 62.5 ÷ 2 = 31.25 31.25 ÷ 2 = 15.625 15.625 ÷ 2 = 7.8125 7.8125 ÷ 2 = 3.90625 3.90625 ÷ 2 = 1.953125
  • 4. 1.953125 < 2  C250 = 7 Como ya dijimos, un logaritmo se compone de dos partes, la característica es cosa fácil de hallar, pero que hay de la mantisa, ¿cómo hacemos para encontrarla? Una vez encontrada la característica del logaritmo, procedemos a buscar la mantisa de la siguiente manera: Anteriormente vimos que la característica de 1235 es igual a 3, en base del logaritmo igual a 10, y lo desarrollamos de la siguiente manera: 1235 1235 ÷ 10 = 123.5 123.5 ÷ 10 = 12.35 12.35 ÷ 10 = 1.235 1.235 < 10  C1235 = 3 El primer paso para encontrar la mantisa es tomar el último resultado (1.235) de las divisiones antes efectuadas y elevarlo a la décima potencia (base del sistema decimal usado, si quisiéramos expresar nuestra mantisa en otro sistema numérico, el binario por ejemplo, entonces elevaríamos el número a la segunda potencia, y así para cada caso dependiendo de la base del sistema numérico empleado). 1.23510 = 8.25409 Efectuado este paso, procederemos a desarrollar la operación de división, tal como se hizo para conseguir la característica, hasta obtener un número menor que la base del logaritmo. 8.25409 < 10  M1235 = 0.0 Como 8.25409 es menor que 10, no podemos efectuar la división por lo que el primer dígito de la mantisa (M) es igual a cero.
  • 5. Una vez obtenido el menor de los números, tomamos dicho número y lo elevamos a la décima potencia, debemos tener presente que el exponente 10 nos lo da la base del sistema numérico y no debe ser confundido con la base del logaritmo que coinciden en este ejemplo. 8.2540910 = 1467884889 Para obtener el segundo dígito de la mantisa procederemos a desarrollar la operación de división, hasta obtener un número menor que la base del logaritmo. 1467884889 ÷ 10 = 146788488.9 146788488.9 ÷ 10 = 14678848.89 14678848.89 ÷ 10 = 1467884.889 1467884.889 ÷ 10 = 146788.4889 146788.4889 ÷ 10 = 14678.84889 14678.84889 ÷ 10 = 1467.884889 1467.884889 ÷ 10 = 146.7884889 146.7884889 ÷ 10 = 14.67884889 14.67884889 ÷ 10 = 1.467884889 1.467884889 < 10  M1235 = 0.09 Tomamos el menor de los números obtenidos y lo elevamos a la décima potencia, para conseguir el tercer dígito de la mantisa. 1.46788488910 = 46.44299713 Para obtener el tercer dígito de la mantisa procederemos a desarrollar la operación de división, hasta obtener un número menor que la base del logaritmo. 46.44299713 ÷ 10 = 4.644299713 4.644299713 < 10  M1235 = 0.091
  • 6. Una vez más tomamos el menor de los números obtenidos y lo elevamos a la décima potencia. 4.64429971310 = 4668768.986 Para obtener el cuarto dígito de la mantisa procederemos a desarrollar la operación de división a partir del resultado obtenido, hasta conseguir un número menor que la base del logaritmo. 4668768.986 ÷ 10 = 466876.8986 466876.8986 ÷ 10 = 46687.68986 46687.68986 ÷ 10 = 4668.768986 4668.768986 ÷ 10 = 466.8768986 466.8768986 ÷ 10 = 46.68768986 46.68768986 ÷ 10 = 4.668768986 4.668768986 < 10  M1235 = 0.0916 Realizando este proceso de ‘elevar y dividir’, hemos conseguido una mantisa de cuatro cifras, después del punto decimal. Para obtener un resultado más preciso, sólo tenemos que seguir el proceso mostrado una y otra vez hasta conseguir una mantisa con la precisión deseada. Si han sido buenos observadores, entonces habrán notado que se han tomado los números con una considerable cantidad de dígitos después del punto decimal, esto es importante si queremos conseguir resultados precisos, aunque para nuestro caso no es necesario usar cantidades tan exactas, ya que a modo de ilustración sólo nos ha interesado una mantisa de cuatro cifras decimales. Una forma de comprender mejor lo expuesto es a través del siguiente diagrama de flujo:
  • 7. Diagrama de flujo (Cálculo de logaritmos) Inicio Número(N) Base Log. (B) Div. (D) = N N = N-1 N>B No N<1 ¿? ¿? Si Si No Div. menor = D D = D/B Cuenta Div. Efect. (CDE) Borrar CDE 1 D≥B Si ¿? No Característica = CDE
  • 8. No D=1 D = D10 1 ¿? Si E=D Característica (Caract) Fin No D>B ¿? Borrar Cuenta (C) Si E = E/B Mult. Var. K por 10 (K = 1) Cuenta Caract. = (Caract + C/ K) No E≥B Si Borrar C ¿? Si No No E=1 Parar D=E ¿? ¿? Si
  • 9. Aplicando el algoritmo de cálculo de logaritmos, encuentre el logaritmo común de 25. Usar sistema de numeración binario. 25 ÷ 10 = 2.5 2.5 < 10  C25 = 1 2.52 = 6.25 6.25 < 10  M25 = 0.0 6.252 = 39.0625 39.0625 ÷ 10 = 3.90625 3.90625 < 10 M25 = 0.01 3.906252 = 15.25878 15.25878 ÷ 10 = 1.525878 1.525878 < 10 M25 = 0.011 1.5258782 = 2.3283 2.3283 < 10  M25 = 0.0110 2.32832 = 5.4209 5.4209 < 10 M25 = 0.01100 5.42092 = 29.3861 29.3861 ÷ 10 = 2.93861 2.93861 < 10  M25 = 0.011001 Log 25(base decimal) = 1.011001(base binaria) Nota: Sólo la mantisa queda expresada en el sistema numérico usado (binario en este caso), el valor de la característica debe ser convertido al sistema numérico utilizado.