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Cinetica de un cuerpo rigido

dinamica

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NUCLEO MIRANDA
EXTENSION OCUMARE DEL TUY
ING. CIVIL 501N15
Profesor: Integrantes:
Héctor Velazco Yonaira Escobar C.I:15.540.833
Hilde Quintero C.I: 19.509.097
Lina Rios C.I: 23.614.120
Ocumare del Tuy de 2015
Índice
Introducción………………………………………………………………………….3
Cinemática De Cuerpo Rígido……………………………………………………..4
Traslación Pura……………………………………………………………………4
Segunda Ley de Newton Para La Traslación De Un Cuerpo Rígido………..5
Rotación Pura………………………………………………………………………..7
La Segunda Ley de Newton para el Movimiento de Rotación……………..…..8
Caso general de movimiento…………………………………………………..…10
Movimiento General = Traslación + Rotación (M.G = T + R)…………………10
Conclusión………………………………………………………………………….11
Bibliografía………………………………………………………………………….12
Introducción
En un cuerpo rígido se observa el comportamiento de diferentes cuerpos
al rodar, sin deslizar, por un plano inclinado y analizar de qué variables
dependen las velocidades con las que llegan a la base del mismo.
Se aplicar muchas veces la ecuación, que relaciona la resultante R de las
fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleración G del centro de masa G
del sistema. el cuerpo experimentará Rotación y Traslación.
Las leyes de Newton son aplicables al movimiento de un punto material,
no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rígido que
puede ser de traslación más rotación, se necesita ecuaciones adicionales
para relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento
angular del cuerpo.
Cinemática De Cuerpo Rígido
Un cuerpo rígido es aquél en el que la distancia entre cualquier par de
puntos permanece constante, es decir, es un cuerpo ideal cuyas
dimensiones no cambian bajo ninguna circunstancia.
El cuerpo rígido es un caso especial de un sistema de partículas. Es un
cuerpo ideal en el cual las partículas que lo componen no modifican
suposición relativa entre ellas, cualquiera sea la fuerza o torque a la que esté
sometido. Es decir, ninguna fuerza y/o torque que “actúe” sobre el sólido
rígido será capaz de modificar la distancia que guarda cada una de las
partículas que componen al sólido con todas las demás. Esta es su
característica distintiva.
Traslación Pura
Este movimiento es aquél en el que una línea recta trazada entre dos
puntos del cuerpo rígido permanece con la misma dirección a lo largo del
movimiento. Dicho de otra forma, las trayectorias que describen sus
partículas son paralelas.
Si cada partícula describe una trayectoria recta, se denomina traslación
rectilínea.
(Fig. 1) Movimiento de traslación de un cuerpo rígido
Si la traslación se realiza de tal manera que las trayectorias de las
partículas sean curvas equidistantes, se denomina traslación curvilínea. Por
ejemplo, en una barra que se columpia, cada uno de sus puntos describe un
arco de circunferencia, por ello la traslación que realiza es curvilínea. Fig. 2
(Fig.2)
(Fig.3)
Segunda Ley de Newton Para La Traslación De Un Cuerpo Rígido
Cuando un cuerpo rígido efectúa un movimiento plano de traslación es
suficiente conocer el movimiento del centro de masa, pues la posición de
cualquier otro punto permanece invariable respecto a este centro de masa.
Para determinar la ecuación de movimiento del centro de masa de un cuerpo
rígido se comienza por un sistema de n partículas que van desde la 1 hasta
la n, la letra i nos identifica a cualquiera de ellas. Puede haber fuerzas
internas y externas actuando sobre las partículas las internas no cambian el
estado del movimiento del sistema, las externas sí lo hacen; si consideramos
al cuerpo rígido compuesto de un gran número de partículas sabemos que
para cada una de ellas se cumple la Segunda Ley de Newton.
mi ai = Fi
Si las sumamos obtenemos
Σmi ai = Σ Fi (Ec 1.1)
Recordemos que para el centro de masa de un sistema de partículas se
cumple que
Σmi ri = M rcm
Donde ri es la posición de cada partícula y rcm es la posición del centro
de masa. Si derivamos dos veces obtendremos que:
Σmi ai = Macm (Ec 1.2)
Supongamos que un cuerpo rígido está compuesto de una infinidad de
partículas, entonces se iguala este valor de ecuación 1.2 y la ecuación 1.1
obtenemos que:
Macm = ΣFi
Esto nos indica que la aceleración del centro de masa (cm) de un cuerpo
rígido, es la de un punto cuya masa es igual a la masa del cuerpo y al que se
aplican todas las fuerzas externas. Para un movimiento plano
Maxcm = ΣFix
MaYcm = ΣFiy
Donde
acm = axcm i+ aycm
Estas son las ecuaciones para el movimiento de traslación de un cuerpo
rígido. Observe que cualquier partícula del cuerpo rígido se mueve con la
misma velocidad que el centro de masa, ya que hemos definido que en el
movimiento de traslación las trayectorias que describen las partículas de un

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  • 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NUCLEO MIRANDA EXTENSION OCUMARE DEL TUY ING. CIVIL 501N15 Profesor: Integrantes: Héctor Velazco Yonaira Escobar C.I:15.540.833 Hilde Quintero C.I: 19.509.097 Lina Rios C.I: 23.614.120 Ocumare del Tuy de 2015
  • 2. Índice Introducción………………………………………………………………………….3 Cinemática De Cuerpo Rígido……………………………………………………..4 Traslación Pura……………………………………………………………………4 Segunda Ley de Newton Para La Traslación De Un Cuerpo Rígido………..5 Rotación Pura………………………………………………………………………..7 La Segunda Ley de Newton para el Movimiento de Rotación……………..…..8 Caso general de movimiento…………………………………………………..…10 Movimiento General = Traslación + Rotación (M.G = T + R)…………………10 Conclusión………………………………………………………………………….11 Bibliografía………………………………………………………………………….12
  • 3. Introducción En un cuerpo rígido se observa el comportamiento de diferentes cuerpos al rodar, sin deslizar, por un plano inclinado y analizar de qué variables dependen las velocidades con las que llegan a la base del mismo. Se aplicar muchas veces la ecuación, que relaciona la resultante R de las fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleración G del centro de masa G del sistema. el cuerpo experimentará Rotación y Traslación. Las leyes de Newton son aplicables al movimiento de un punto material, no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rígido que puede ser de traslación más rotación, se necesita ecuaciones adicionales para relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento angular del cuerpo.
  • 4. Cinemática De Cuerpo Rígido Un cuerpo rígido es aquél en el que la distancia entre cualquier par de puntos permanece constante, es decir, es un cuerpo ideal cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna circunstancia. El cuerpo rígido es un caso especial de un sistema de partículas. Es un cuerpo ideal en el cual las partículas que lo componen no modifican suposición relativa entre ellas, cualquiera sea la fuerza o torque a la que esté sometido. Es decir, ninguna fuerza y/o torque que “actúe” sobre el sólido rígido será capaz de modificar la distancia que guarda cada una de las partículas que componen al sólido con todas las demás. Esta es su característica distintiva. Traslación Pura Este movimiento es aquél en el que una línea recta trazada entre dos puntos del cuerpo rígido permanece con la misma dirección a lo largo del movimiento. Dicho de otra forma, las trayectorias que describen sus partículas son paralelas. Si cada partícula describe una trayectoria recta, se denomina traslación rectilínea. (Fig. 1) Movimiento de traslación de un cuerpo rígido
  • 5. Si la traslación se realiza de tal manera que las trayectorias de las partículas sean curvas equidistantes, se denomina traslación curvilínea. Por ejemplo, en una barra que se columpia, cada uno de sus puntos describe un arco de circunferencia, por ello la traslación que realiza es curvilínea. Fig. 2 (Fig.2) (Fig.3) Segunda Ley de Newton Para La Traslación De Un Cuerpo Rígido Cuando un cuerpo rígido efectúa un movimiento plano de traslación es suficiente conocer el movimiento del centro de masa, pues la posición de cualquier otro punto permanece invariable respecto a este centro de masa. Para determinar la ecuación de movimiento del centro de masa de un cuerpo rígido se comienza por un sistema de n partículas que van desde la 1 hasta la n, la letra i nos identifica a cualquiera de ellas. Puede haber fuerzas internas y externas actuando sobre las partículas las internas no cambian el estado del movimiento del sistema, las externas sí lo hacen; si consideramos al cuerpo rígido compuesto de un gran número de partículas sabemos que para cada una de ellas se cumple la Segunda Ley de Newton.
  • 6. mi ai = Fi Si las sumamos obtenemos Σmi ai = Σ Fi (Ec 1.1) Recordemos que para el centro de masa de un sistema de partículas se cumple que Σmi ri = M rcm Donde ri es la posición de cada partícula y rcm es la posición del centro de masa. Si derivamos dos veces obtendremos que: Σmi ai = Macm (Ec 1.2) Supongamos que un cuerpo rígido está compuesto de una infinidad de partículas, entonces se iguala este valor de ecuación 1.2 y la ecuación 1.1 obtenemos que: Macm = ΣFi Esto nos indica que la aceleración del centro de masa (cm) de un cuerpo rígido, es la de un punto cuya masa es igual a la masa del cuerpo y al que se aplican todas las fuerzas externas. Para un movimiento plano Maxcm = ΣFix MaYcm = ΣFiy Donde acm = axcm i+ aycm Estas son las ecuaciones para el movimiento de traslación de un cuerpo rígido. Observe que cualquier partícula del cuerpo rígido se mueve con la misma velocidad que el centro de masa, ya que hemos definido que en el movimiento de traslación las trayectorias que describen las partículas de un
  • 7. cuerpo rígido son paralelas y que la distancia entre cualquier par de ellas es constante. En el caso de la traslación plana tenemos la rectilínea y la curvilínea, veremos más adelante ejemplos de estos movimientos; en algunas ocasiones, al resolver problemas es necesario incluir una tercera ecuación que nos indica que el cuerpo no rota. Para ello vamos a definir la torca y el producto vectorial. Rotación Pura. Es aquél movimiento plano en el que las partículas describen trayectorias circulares centradas en un eje fijo perpendicular al plano de los círculos. El movimiento de un CD en el reproductor es un ejemplo de rotación, al igual que el de una llanta de un automóvil que viaje en línea recta. Para analizar el comportamiento cinemático de un cuerpo rígido debemos partir de la idea de que un ángulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido (CR); este ángulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR. Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como: Mientras que la aceleración quedaría definida por: La energía cinética de rotación se escribe:
  • 8. Cuerpo rígido rotando sobre un eje fijo (Fig.4) El vector de posición del punto P es r y va desde el origen al punto P. Consideremos ahora que la proyección del vector r sobre el plano x-y va desde el origen al punto P’ y llamemos θ al ángulo que forma esta proyección con el eje x. La Segunda Ley de Newton para el Movimiento de Rotación La relación entre el par neto externo y la aceleración angular es de la misma forma que en la segunda ley de Newton y se llama algunas veces segunda ley de Newton para la rotación. No es una relación general como en el caso de la lineal, porque el momento de inercia no es estrictamente una cantidad escalar. Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:
  • 9. Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Un momento de torsión resultante t produce aceleración angular α de disco con inercia rotacional I. Dónde: = es el momento aplicado al cuerpo. = es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación. = es la aceleración angular. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es ½ mv2, mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es ½ Iω2. Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular L: L = Iω El vector momento angular tiene la misma dirección que el vector velocidad angular ω
  • 10. Caso general de movimiento El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación. (Fig.5) Movimiento General El movimiento del cuerpo al pasar de la posición (1) a la posición (2), se puede considerar como una traslación del centro de masa y una rotación alrededor de un eje que pasa a través del centro de masa. Este movimiento combinado, genera diferentes desplazamientos a las diferentes partículas que conforman el cuerpo rígido. Así, el desplazamiento del centro de masa es diferente al desplazamiento de la partícula A y en general se presenta esta situación para todas las partículas del cuerpo. MOVIMIENTO GENERAL = TRASLACION + ROTACION (M.G = T + R) Teorema de Chasle: Cualquier movimiento general en el plano de un cuerpo rígido se explica como la combinación de dos movimientos más simples:  Una traslación tomando como referencia un punto cualquiera y Una rotación alrededor de dicho punto.
  • 11. (Fig.6)  Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo. La posición del punto "P" del sólido es rp = rc+R Donde:  "C" se refiere al centro de masa del sólido.  El vector "R" que va del centro de masas al punto.  "P" es un vector cuyo módulo es constante. Derivando la expresión anterior respecto al tiempo se obtiene:  Drp/dt = drc/dt+ dR/dt  Vp = vc + ω x R
  • 12. (Fig.7) El primer término es la velocidad del punto "P", el segundo la velocidad de masas y el tercero es la velocidad del punto "P" respecto al centro de masas.
  • 13. CONCLUSION Un cuerpo rígido es aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de cargas que actúan sobre ellas, en lo general esas deformaciones son muy pequeñas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura que se toma en consideración El análisis se basa en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizante. El concepto fundamental de que el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos escalares y vectoriales de dos vectores.
  • 14. BIBLIOGRAFIA Sears, Zemansky, Young, Freedman, Física universitaria, Vol. 1, 9ª Edición, (Addison Wesley Longman, México, 1998. Original en inglés de 1996). Roederer, J, Mecánica elemental, (Ed. Eudeba, Argentina, 2002) Resnick, Halliday, Krane, Física, Vol. 1, 12ª Edición, (Ed. Continental, México, 2001)