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Dinámica de un cuerpo rígido
FÍSICA I
Javier Pulido Villanueva
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Introducción
Un CUERPO RÍGIDO es un sistema constituido por muchas partículas, en el cual, la distancia
entre ellas permanece constante en el tiempo bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un
cuerpo rígido por tanto no cambia ni su forma ni su volumen durante su movimiento.
𝐴𝐵 constante
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Introducción
Se pueden distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento es de
TRASLACIÓN cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas
que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo siempre permanecen paralelas a su posición
inicial.
Traslación rectilínea Traslación curvilínea
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Introducción
El movimiento es de ROTACIÓN alrededor de un eje cuando todas las partículas describe
trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación.
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www.uns.edu.pe
Introducción
El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una
combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un
sistema de referencia en traslación pero no rotante en el cual el movimiento del cuerpo parezca
solamente de rotación.
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Momentum angular de un cuerpo rígido
Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de una
eje 𝑍 con una velocidad angular 𝝎. La partícula 𝑃𝑖 describe
un circulo de radio 𝑅𝑖 con una velocidad 𝒗𝑖, siendo 𝒓𝑖 el
vector de posición con respecto al origen O. El momentum
angular de una partícula 𝑃𝑖 con respecto al origen O es
𝑳𝑖 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖
Su dirección es perpendicular al plano de 𝒓𝑖 y 𝒗𝑖 y está
situado en el plano determinado por 𝒓𝑖 y el eje 𝑍.
(1)
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Momentum angular de un cuerpo rígido
La componente de 𝑳𝑖 en la dirección del eje de giro, 𝑂𝑍,
tiene por módulo
𝐿𝑖𝑧 = 𝑟𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖 cos
𝜋
2
− 𝜃𝑖
𝐿𝑖𝑧 = 𝑟𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖 sen 𝜃𝑖 = 𝑚𝑖𝑣𝑖 𝑟𝑖 sen 𝜃𝑖
y como: 𝑣𝑖 = 𝑅𝑖𝜔 y 𝑅𝑖 = 𝑟𝑖 sen 𝜃𝑖, resulta
𝐿𝑖𝑧 = 𝑚𝑖 𝑅𝑖𝜔 𝑅𝑖
𝐿𝑖𝑧 = 𝑚𝑖𝑅𝑖
2
𝜔
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Momentum angular de un cuerpo rígido
La componente del momentum angular total del cuerpo a lo largo del eje de rotación 𝑍 es
𝐿𝑧 = 𝐿1𝑧 + 𝐿2𝑧 + ⋯ = ∑
𝑖
𝐿𝑖𝑧
𝐿𝑧 = 𝑚𝑖𝑅𝑖
2
+ 𝑚𝑖𝑅𝑖
2
+ ⋯ 𝜔
𝐿𝑧 = ∑
𝑖
𝑚𝑖𝑅𝑖
2
𝜔
La cantidad
𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖
2
+ 𝑚𝑖𝑅𝑖
2
+ ⋯ = ∑
𝑖
𝑚𝑖𝑅𝑖
2
es el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje de rotación 𝑍.
(2)
(3)
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Momentum angular de un cuerpo rígido
Podemos, por lo tanto escribir la ec. (2) en la forma
𝐿𝑧 = 𝐼𝜔
El momemtum angular total del cuerpo rígido es igual a
𝑳 = 𝑳1 + 𝑳2 + ⋯ = ∑
𝑖
𝑳𝑖
en general, este momentum angular no es paralelo al eje de rotación.
(4)
Sin embargo, para cada cuerpo, sin importar su forma, existen tres direcciones mutuamente
perpendiculares para las cuales el momentum angular es paralelo al eje de rotación. Estos ejes
se denominan ejes principales de inercia, y los momentos correspondientes de inercia, se llaman
momentos principales de inercia.
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Momentum angular de un cuerpo rígido
Cuando el cuerpo rígido rota alrededor de un eje principal de inercia, el momentum angular total
𝑳 es paralelo a la velocidad angular 𝝎, se escribe
𝑳 = 𝐼𝝎
en el cual 𝐼 es el momento principal de inercia
correspondiente. Esta relación vectorial es valida
solamente para la rotación alrededor de un eje principal de
inercia.
(5)
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Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido
Se estableció la relación entre el momentum angular total de un sistema de partículas y el torque
neto de las fuerzas aplicadas a las partículas. Esto es
𝑑𝑳
𝑑𝑡
= 𝝉
donde 𝑳 = ∑
𝑖
𝑳𝑖 es el momentum angular total y 𝝉 = ∑
𝑖
𝝉𝑖 es el torque neto debido a las fuerzas
externas. Está ecuación se cumple también para un cuerpo rígido, el cual es un caso especial de
un sistema de partículas.
(6)
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Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido
Para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal de inercia. De acuerdo a la ec. (5),
𝑳 = 𝐼𝝎. El torque con respecto al eje principal de inercia, es
𝑑 𝐼𝝎
𝑑𝑡
= 𝝉
𝝉 = 𝐼𝜶
Al ser 𝐼 dependiente de la masa y parámetros geométricos del cuerpo y estos permanecer
constante con el tiempo, se escribirá
(7)
donde 𝜶 = Τ
𝑑𝝎 𝑑𝑡 es la aceleración angular del cuerpo rígido. Esta ecuación es la segunda ley
de Newton aplicada a la rotación.
(8)
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Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido
El volante que se muestra tiene un radio de 500 mm, una masa
de 120 kg y un radio de giro de 375 mm. Un bloque 𝐴 de 15 kg
se une a un alambre que está enrollado alrededor del volante, y
el sistema se suelta desde el reposo. Si se desprecia el efecto de
la fricción, determine (a) la aceleración del bloque 𝐴 y (b) la
velocidad del bloque 𝐴 después de que éste se ha movido 1,5 m.
PROBLEMA EJEMPLO 1
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Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido
Una barra uniforme de longitud L y masa M, que gira libremente alrededor de una bisagra sin
fricción, se suelta desde el reposo en su posición horizontal, como se muestra en la figura.
Calcular la aceleración angular de la barra y su aceleración lineal de su extremo.
PROBLEMA EJEMPLO 2
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Energía cinética de rotación
Podemos definir la energía cinética de un sistema de partículas como
𝐾 = ෍
𝑖
1
2
𝑚𝑖𝑣𝑖
2
En el caso de un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje fijo con velocidad angular 𝝎, la
velocidad de cada partícula es 𝑣𝑖 = 𝜔𝑅𝑖, donde 𝑅𝑖 es la distancia de la partícula al eje de
rotación. Luego
𝐾 = ෍
𝑖
1
2
𝑚𝑖𝑅𝑖
2
𝜔2
=
1
2
∑
𝑖
𝑚𝑖𝑅𝑖
2
𝜔2
Teniendo en cuenta la definición del momento de inercia, concluimos
𝐾 =
1
2
𝐼𝜔2 (9)
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Energía cinética de rotación
Consideremos ahora el caso más general, un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje que
pasa por el centro de masas y una traslación a los largo de dicho eje.
Por ahora no consideramos la traslación, pero si consideramos la rotación. Ahora en el caso de
que el eje no pase por el centro de masas, la energía cinética se puede desglosar en dos
términos; así
𝐾 =
1
2
𝐼𝜔2
=
1
2
𝐼𝐺 + 𝑀𝑟2
𝜔2
donde 𝐼𝐺 es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al de giro y que pasa por el centro
de masas 𝐺, que se encuentra a una distancia 𝑟 del él. Luego
𝐾 =
1
2
𝑀𝑟2
𝜔2
+
1
2
𝐼𝐺𝜔2
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Energía cinética de rotación
La velocidad 𝒗𝐺 del centro de masa es 𝑣𝐺 = 𝜔𝑟, con lo que
Esta ecuación describe la energía cinética del cuerpo como la suma de la energía cinética del
centro de masas más la de una rotación, respecto de un eje que pasa por el centro de masas, de
velocidad angular igual a la del cuerpo en torno a un eje instantáneo.
𝐾 =
1
2
𝑀𝑣𝐺
2
+
1
2
𝐼𝐺𝜔2 (10)
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Energía cinética de rotación
Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M pivota sobre un extremo. Se coloca en la
posición horizontal y se libera desde el reposo. Suponiendo que el pivote carece de fricción,
determinar (a) la velocidad angular de la barra cuando alcanza su posición vertical y (b) la fuerza
ejercida por el pivote en este momento.
PROBLEMA EJEMPLO 3
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Energía cinética de rotación
Una bola de boliche de 11 cm de radio y masa 𝑚 = 7,2 kg rueda sin deslizamiento sobre una
superficie horizontal a 2 m/s. Después sube por una pendiente sin deslizamiento hasta una altura
ℎ antes de alcanzar momentáneamente el reposo. Determinar ℎ.
PROBLEMA EJEMPLO 4

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  • 1. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe LICENCIADA POR LA SUNEDU Tema: Curso: Docente: Dinámica de un cuerpo rígido FÍSICA I Javier Pulido Villanueva www.uns.edu.pe
  • 2. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Introducción Un CUERPO RÍGIDO es un sistema constituido por muchas partículas, en el cual, la distancia entre ellas permanece constante en el tiempo bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido por tanto no cambia ni su forma ni su volumen durante su movimiento. 𝐴𝐵 constante
  • 3. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Introducción Se pueden distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento es de TRASLACIÓN cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo siempre permanecen paralelas a su posición inicial. Traslación rectilínea Traslación curvilínea
  • 4. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Introducción El movimiento es de ROTACIÓN alrededor de un eje cuando todas las partículas describe trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación.
  • 5. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Introducción El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotante en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación.
  • 6. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Momentum angular de un cuerpo rígido Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de una eje 𝑍 con una velocidad angular 𝝎. La partícula 𝑃𝑖 describe un circulo de radio 𝑅𝑖 con una velocidad 𝒗𝑖, siendo 𝒓𝑖 el vector de posición con respecto al origen O. El momentum angular de una partícula 𝑃𝑖 con respecto al origen O es 𝑳𝑖 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖 Su dirección es perpendicular al plano de 𝒓𝑖 y 𝒗𝑖 y está situado en el plano determinado por 𝒓𝑖 y el eje 𝑍. (1)
  • 7. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Momentum angular de un cuerpo rígido La componente de 𝑳𝑖 en la dirección del eje de giro, 𝑂𝑍, tiene por módulo 𝐿𝑖𝑧 = 𝑟𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖 cos 𝜋 2 − 𝜃𝑖 𝐿𝑖𝑧 = 𝑟𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖 sen 𝜃𝑖 = 𝑚𝑖𝑣𝑖 𝑟𝑖 sen 𝜃𝑖 y como: 𝑣𝑖 = 𝑅𝑖𝜔 y 𝑅𝑖 = 𝑟𝑖 sen 𝜃𝑖, resulta 𝐿𝑖𝑧 = 𝑚𝑖 𝑅𝑖𝜔 𝑅𝑖 𝐿𝑖𝑧 = 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 𝜔
  • 8. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Momentum angular de un cuerpo rígido La componente del momentum angular total del cuerpo a lo largo del eje de rotación 𝑍 es 𝐿𝑧 = 𝐿1𝑧 + 𝐿2𝑧 + ⋯ = ∑ 𝑖 𝐿𝑖𝑧 𝐿𝑧 = 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 + 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 + ⋯ 𝜔 𝐿𝑧 = ∑ 𝑖 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 𝜔 La cantidad 𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 + 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 + ⋯ = ∑ 𝑖 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 es el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje de rotación 𝑍. (2) (3)
  • 9. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Momentum angular de un cuerpo rígido Podemos, por lo tanto escribir la ec. (2) en la forma 𝐿𝑧 = 𝐼𝜔 El momemtum angular total del cuerpo rígido es igual a 𝑳 = 𝑳1 + 𝑳2 + ⋯ = ∑ 𝑖 𝑳𝑖 en general, este momentum angular no es paralelo al eje de rotación. (4) Sin embargo, para cada cuerpo, sin importar su forma, existen tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales el momentum angular es paralelo al eje de rotación. Estos ejes se denominan ejes principales de inercia, y los momentos correspondientes de inercia, se llaman momentos principales de inercia.
  • 10. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Momentum angular de un cuerpo rígido Cuando el cuerpo rígido rota alrededor de un eje principal de inercia, el momentum angular total 𝑳 es paralelo a la velocidad angular 𝝎, se escribe 𝑳 = 𝐼𝝎 en el cual 𝐼 es el momento principal de inercia correspondiente. Esta relación vectorial es valida solamente para la rotación alrededor de un eje principal de inercia. (5)
  • 11. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido Se estableció la relación entre el momentum angular total de un sistema de partículas y el torque neto de las fuerzas aplicadas a las partículas. Esto es 𝑑𝑳 𝑑𝑡 = 𝝉 donde 𝑳 = ∑ 𝑖 𝑳𝑖 es el momentum angular total y 𝝉 = ∑ 𝑖 𝝉𝑖 es el torque neto debido a las fuerzas externas. Está ecuación se cumple también para un cuerpo rígido, el cual es un caso especial de un sistema de partículas. (6)
  • 12. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido Para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal de inercia. De acuerdo a la ec. (5), 𝑳 = 𝐼𝝎. El torque con respecto al eje principal de inercia, es 𝑑 𝐼𝝎 𝑑𝑡 = 𝝉 𝝉 = 𝐼𝜶 Al ser 𝐼 dependiente de la masa y parámetros geométricos del cuerpo y estos permanecer constante con el tiempo, se escribirá (7) donde 𝜶 = Τ 𝑑𝝎 𝑑𝑡 es la aceleración angular del cuerpo rígido. Esta ecuación es la segunda ley de Newton aplicada a la rotación. (8)
  • 13. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido El volante que se muestra tiene un radio de 500 mm, una masa de 120 kg y un radio de giro de 375 mm. Un bloque 𝐴 de 15 kg se une a un alambre que está enrollado alrededor del volante, y el sistema se suelta desde el reposo. Si se desprecia el efecto de la fricción, determine (a) la aceleración del bloque 𝐴 y (b) la velocidad del bloque 𝐴 después de que éste se ha movido 1,5 m. PROBLEMA EJEMPLO 1
  • 14. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Ecuación de movimiento de rotación de un cuerpo rígido Una barra uniforme de longitud L y masa M, que gira libremente alrededor de una bisagra sin fricción, se suelta desde el reposo en su posición horizontal, como se muestra en la figura. Calcular la aceleración angular de la barra y su aceleración lineal de su extremo. PROBLEMA EJEMPLO 2
  • 15. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Energía cinética de rotación Podemos definir la energía cinética de un sistema de partículas como 𝐾 = ෍ 𝑖 1 2 𝑚𝑖𝑣𝑖 2 En el caso de un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje fijo con velocidad angular 𝝎, la velocidad de cada partícula es 𝑣𝑖 = 𝜔𝑅𝑖, donde 𝑅𝑖 es la distancia de la partícula al eje de rotación. Luego 𝐾 = ෍ 𝑖 1 2 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 𝜔2 = 1 2 ∑ 𝑖 𝑚𝑖𝑅𝑖 2 𝜔2 Teniendo en cuenta la definición del momento de inercia, concluimos 𝐾 = 1 2 𝐼𝜔2 (9)
  • 16. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Energía cinética de rotación Consideremos ahora el caso más general, un cuerpo rígido que rota con respecto a un eje que pasa por el centro de masas y una traslación a los largo de dicho eje. Por ahora no consideramos la traslación, pero si consideramos la rotación. Ahora en el caso de que el eje no pase por el centro de masas, la energía cinética se puede desglosar en dos términos; así 𝐾 = 1 2 𝐼𝜔2 = 1 2 𝐼𝐺 + 𝑀𝑟2 𝜔2 donde 𝐼𝐺 es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al de giro y que pasa por el centro de masas 𝐺, que se encuentra a una distancia 𝑟 del él. Luego 𝐾 = 1 2 𝑀𝑟2 𝜔2 + 1 2 𝐼𝐺𝜔2
  • 17. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Energía cinética de rotación La velocidad 𝒗𝐺 del centro de masa es 𝑣𝐺 = 𝜔𝑟, con lo que Esta ecuación describe la energía cinética del cuerpo como la suma de la energía cinética del centro de masas más la de una rotación, respecto de un eje que pasa por el centro de masas, de velocidad angular igual a la del cuerpo en torno a un eje instantáneo. 𝐾 = 1 2 𝑀𝑣𝐺 2 + 1 2 𝐼𝐺𝜔2 (10)
  • 18. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Energía cinética de rotación Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M pivota sobre un extremo. Se coloca en la posición horizontal y se libera desde el reposo. Suponiendo que el pivote carece de fricción, determinar (a) la velocidad angular de la barra cuando alcanza su posición vertical y (b) la fuerza ejercida por el pivote en este momento. PROBLEMA EJEMPLO 3
  • 19. LICENCIADA POR LA SUNEDU www.uns.edu.pe Energía cinética de rotación Una bola de boliche de 11 cm de radio y masa 𝑚 = 7,2 kg rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontal a 2 m/s. Después sube por una pendiente sin deslizamiento hasta una altura ℎ antes de alcanzar momentáneamente el reposo. Determinar ℎ. PROBLEMA EJEMPLO 4