1. Que es la derivada: Es la pendiente de la tangente del grafico en el punto x
Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera.
Es valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento
de la variable independiente.
Definición analítica de derivada como un límite
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una
cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x".
En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto
objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que
hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la
división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la
gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la linea recta azul que
representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender
puesto que el triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P',
2. por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el
resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.
Esta definición, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los
cuatro pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por
la izquierda de manera simultánea.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier
punto de su dominio de la siguiente manera:
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la
tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de h, en la cual
es posible cancelar siempre el factor " x - h " en lugar de solo h. El aspecto de este
límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento
uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con
cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo
resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte más conveniente.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a (varios
autores prefieren utilizar la notación "xo" en lugar de a) se define como sigue:
si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión
coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado
en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de
derivada como un límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el cálculo de
límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo cual sería muy laborioso), existen
reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas,
las cuales permiten calcular la derivada de una función de acuerdo a su forma sin
tener que calcular forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez. Tales
reglas se deducen sucesivamente de la definición de derivada y de reglas previas,
como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan
el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de
derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.
