1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE GUERRERPO
TICS
ERVIN IVAN MARTINEZ VALDEZ

2. DERIVADAS
 Es un hecho bien conocido que la salida de una
función varía a medida que la entrada de la función
varía. Un término de las matemáticas, utilizado para
medir esta variación se llama derivada, la cual es
estudiada bajo el cálculo.
 Una derivada representa la variación infinitesimal
causada a una función cuando una o más de sus
variables son variadas. La noción de derivada se
encuentra en el corazón de las matemáticas modernas
y el cálculo.

3.  Sin embargo, la noción de derivada puede explicarse
de dos maneras, una como el gradiente de la curva, que
es la representación geométrica, y la otra como la tasa
de cambio explicada anteriormente, que es la
representación física.
 Una definición general de una derivación sería la
siguiente “la medida de la variación en una de las
cantidades determinada por el cambio en otra
cantidad”. La derivación de una función en un punto
representa la mejor estimación lineal de esa función
cerca del punto de entrada elegido.

4.  Si una función valorada real tiene una sola variable como su entrada, la
derivada de la función en algún punto representará la pendiente de la
tangente para la gráfica de la función en ese punto. La derivada de una
función también se denomina transformación lineal de esa función o
linealización de las dimensiones superiores
 La diferenciación de la función extraerá la derivada de esa función, el
proceso inverso que es, la anti diferenciación / integración extraerá de
nuevo la función.
 La notación convencional para denotar una derivada es la siguiente,

5.  Esta es una derivada de la función y con respecto a x. También se puede representar
como,
 Sin embargo, las derivadas son en su mayoría definidas en el plano real, pero pueden ser
mejor definidas en un plano complejo.
 Tales derivadas se denominan derivadas complejas.
 Es esencial que obtengamos un único resultado para todas las derivadas a lo largo del
plano complejo, por la existencia de un derivado complejo. Y es un hecho notable que la
mayoría de las funciones matemáticas satisfacen esta propiedad.
 El cálculo de la derivada de una función requiere seguir algunos pasos.
 Vamos a empezar con el entendimiento de la pendiente. La pendiente de una recta con
los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se puede definir como,
 Ahora sustituye y = f (x) Ahora sustituye y = f (x), que es la ecuación de la recta, en lugar
de y para obtener,, que es la ecuación de la recta, en lugar de y para obtener,

6.  Ahora redefina el punto de la función para obtener la derivada de la función en un punto
x0. Coloca x0 = x1 y x = x2
 Ahora, para determinar la derivada de la recta, tome el límite, o en otras palabras permita
que x avance a x0.
 Después de calcular la derivada de primer orden, también es posible calcular la segunda
derivada o la tercera derivada de una función. La derivada de segundo orden de una
función es representada como,
 f’‘(x)

7. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
 La Interpretación Geométrica de la DerivadaAdemás de evaluar el valor de una función en cierto
punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la
entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal.
Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto.
 Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su
pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la
función.
 La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la
representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La
pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.
 Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma

8.  La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en
el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de
la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos
sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el
gráfico anterior representa esa línea.
 A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro
conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la
función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,
En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la
misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se
conoce como la tangente de la función en ese punto.