2.  En matemáticas, la derivada de una función es una
medida de la rapidez con la que cambia el valor de
dicha función matemática, según cambie el valor
de su variable independiente. La derivada de una
función es un concepto local, es decir, se calcula
como el límite de la rapidez de cambio media de la
función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se toma
cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor
de la derivada de una cierta función en un punto
dado. En términos físicos, representa la cuantía del
cambio que se produce sobre una magnitud.

3.  Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si
una función representa la posición de un objeto con
respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho
objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de
4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a
una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede
estar viajando a velocidades mayores o menores en
distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y
las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo
es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a
las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad
media en intervalos de tiempo cada vez menores
alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre
las 15:19 y las 15:21, etc.

4.  El valor de la derivada de una función en
un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde
con pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en dicho punto. La
recta tangente es a su vez la gráfica de la
mejor aproximación lineal de la función
alrededor de dicho punto. La noción de
derivada puede generalizarse para el caso
de funciones de más de una variable con
la derivada parcial y el diferencial.

5.  La derivada de una función f en un
punto x se denota como f′(x). La función
cuyo valor en cada punto x es esta
derivada es la llamada función
derivada de f, denotada por f′. El proceso
de encontrar la derivada de una función se
denomina diferenciación, y es una de las
herramientas principales en el área de las
matemáticas conocida como cálculo.

7.  Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
 En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que
una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra
cantidad "x".
 En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a
cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función
base, etc.
 En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna
fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En
nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del
que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el
resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que
como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene
constante a lo largo de la linea recta azul que representa la tangente
en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender puesto que el
triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto
'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura
proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.

8.  Esta definicion, que es laboriosa de calcular algebraicamente
por la regla de los cuatro pasos, constituye la aproximación más
veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente
de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.
 También puede definirse alternativamente la derivada de una
función en cualquier punto de su dominio de la siguiente
manera:
 En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el
coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto
'P' de la función por el resultado de la división representada por
la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la
gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la
linea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la
función. Esto es facil de entender puesto que el triangulo
rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P', por
mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura
proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.

11.  si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida.
Esta última expresión coincide con la velocidad
instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado
en cinemática.
 Aunque podrían calcularse todas las derivadas
empleando la definición de derivada como un
límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el
cálculo de límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo
cual sería muy laborioso), existen reglas bien
establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo
de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de
una función de acuerdo a su forma sin tener que calcular
forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez.
Tales reglas se deducen sucesivamente de la definición
de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse
en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

12.  El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su
significado representan el acercamiento epistémico más
completo posible en torno a la definición de derivada, y con
ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

17.  Sería muy dificil poner todas las
aplicaciones que tiene la derivada
aquí, pero el sentido de esto que el cálculo
infinitesimal(este incluye a la derivada,que
es uno de sus conceptos) se dedica al
estudio del cambio(en funciones) o sea a
ver cuanto cambia una función a medida
que cambia "X" y mientras se cumpla que
Y=f(X) podrás aplicarlo a funciones sujetas
a cambio. Por ejemplo la aceleración es la
derivada de la velocidad ya que un
cambio en la velocidad nos da la
aceleración.