El documento presenta varios problemas relacionados con el movimiento armónico simple. Los problemas tratan sobre determinar distancias, velocidades, aceleraciones y constantes de fase para partículas que oscilan armónicamente. Se proporcionan ecuaciones para describir la posición, velocidad y aceleración de las partículas en función del tiempo.

1. Oscilaciones
Movimiento armónico simple.
1. Un muchacho avanza a velocidad suicida con sus patines de ruedas cuando sus tirantes
super elásticos se enganchan en el poste de una valla y comienza a oscilar adelante y
atrás con una amplitud A. ¿qué distancia recorre en un periodo?
En un período iniciara un nuevo ciclo, por ello recorre una distancia de 4ª, y se
encuentra en la misma posición inicial.
2. Un vecino toma una instantánea del muchacho oscilante del problema 1 en un
momento en que su velocidad es nula. ¿Cuál es su distancia al poste en ese instante?
En el momento inicial su velocidad es máxima y se encuentra en el centro de
oscilación, en el momento en que su velocidad es nula se encuentra en x=A.
3. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de un oscilador de amplitud A y frecuencia f
cuando su aceleración es máxima? ¿Y cuándo su desplazamiento es máximo?
En el momento en que la aceleración es máxima tendremos x=±A, dado que 𝑎𝑎 =
−𝜔𝜔2
𝑥𝑥.
Por tanto:
𝑎𝑎 =
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ∗ 𝐴𝐴 = 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
∗ 𝐴𝐴
El valor es el mismo en los dos casos.
4. ¿Pueden tener la misma dirección el desplazamiento y la aceleración de un oscilador
armónico simple? ¿Y el desplazamiento y la velocidad? ¿Y la aceleración y la
velocidad? Razonar las respuestas.
Tomaremos la pregunta con sentido, dado que en sentido estricto el movimiento
armónico unidimensional tiene una única dirección.
El sentido del desplazamiento y la aceleración son siempre opuestos, dado que 𝑎𝑎 =
−𝜔𝜔2
𝑥𝑥.
La velocidad puede tener el mismo sentido que el desplazamiento, por ejemplo, puede
ir hacia la derecha y tener velocidad positiva, o ir hacia la izquierda y tener velocidad
negativa.
Cuando el objeto se dirige hacia el centro de oscilación su aceleración va hacia el
centro y la velocidad también está dirigida hacia él.
5. Verdadero o falso:
a) En el movimiento armónico simple, el período es proporcional al cuadrado de su
amplitud.
b) En el movimiento armónico simple, la frecuencia no depende de la amplitud.
c) Si la aceleración de una partícula es proporcional al desplazamiento, pero de
sentido opuesto, el movimiento es armónico simple.
a) Falso, el período es independiente de la amplitud.
b) Correcto.
c) Correcto, que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥.
6. La posición de una partícula viene dada por x=(7 cm)*cos6πt, en donde t viene dado
por segundos. Determinar

2. a) La frecuencia.
b) El período.
c) La amplitud del movimiento de la partícula.
d) ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula está en su posición
de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante?
a) 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 ; 𝑓𝑓 =
𝜔𝜔
2∗𝜋𝜋
=
6∗𝜋𝜋
2∗𝜋𝜋
= 3 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
= 0,33 𝑠𝑠
c) 𝐴𝐴 = 7 𝑐𝑐𝑐𝑐
d) La partícula sale de x=A.
Pasará por la posición de equilibrio en T/4.
𝑡𝑡 = 0,0825 𝑠𝑠.
En ese instante se está moviendo hacia la izquierda.
7. a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la partícula del problema 6?
b) ¿Cuál es su aceleración máxima?
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,07 ∗ 6 ∗ 𝜋𝜋 = 1,32 𝑚𝑚/𝑠𝑠
b) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 0,07 ∗ (6 ∗ 𝜋𝜋)2
= 24,87 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
8. ¿Cuál es la constante de fase δ en la ecuación x=A*cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛿𝛿) si la posición de la
partícula oscilante en el instante t=0 es
a) 0 b)-A c) A d) A/2.
a) 0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎0 = ±
𝜋𝜋
2
b) −1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = arccos (−1) = 𝜋𝜋
c) 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎1 = 0
d)
1
2
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = arccos �
1
2
� = ±
𝜋𝜋
3
9. Una partícula de masa m empieza estando en reposo en x=+25 cm y oscila alrededor
de su posición de equilibrio en x=0 con un período de 1,5 s. Escribir las ecuaciones para
a) La posición x en función del tiempo.
b) La velocidad v en función de t.
c) La aceleración a en función de t.
a) 𝐴𝐴 = 0,25 𝑚𝑚
𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2
1,5
∗ 𝜋𝜋 = 1,33 ∗ 𝜋𝜋
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑠𝑠
𝑡𝑡 = 0 , 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = 0
𝑥𝑥 = 0,25 ∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (SI)
b) 𝑣𝑣 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = −0.25 ∗ 1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡)
𝑣𝑣 = −1,045 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
c) 𝑎𝑎 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = 0,25 ∗ (1,33 ∗ 𝜋𝜋)2
∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡)
𝑎𝑎 = −4,36 ∗ cos(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
10. Hallar
a) La velocidad máxima.
b) La aceleración máxima de la partícula del problema 6.
c) ¿Cuál es la primera vez en que la partícula está en x=0 y moviéndose hacia la
derecha?
a) 𝑥𝑥 = 0,07 ∗ cos(6 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆)

3. 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,07 ∗ 6 ∗ 𝜋𝜋 = 1,32 𝑚𝑚/𝑠𝑠
b) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 0,07 ∗ (6 ∗ 𝜋𝜋)2
= 24,87 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
c) 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝í𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝á 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 =
0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇/4. Moviéndose hacia la izquierda.
𝑡𝑡 =
0,33
4
= 0,0825 𝑠𝑠
En x=0 y moviéndose hacia la derecha será en 3*T/4.
𝑡𝑡 =
3∗𝑇𝑇
4
= 0,25 𝑠𝑠
También podemos hacer:
0 = cos(6 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) ; 6 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 = arccos(0) =
𝜋𝜋
2
𝑡𝑡 =
1
12
𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 =
1
12
+
𝑇𝑇
2
∗ 𝑛𝑛 ; n=0,1,2,3,….
La solución buscada corresponde a n=1 ; t= 0,25 s.
11. Resolver el problema 9 para el caso en que la partícula está inicialmente en x=25 cm y
se está moviendo con velocidad vo=+50 cm/s.
0,25 = 𝐴𝐴 ∗ cos (𝛿𝛿)
0,50 = −𝐴𝐴 ∗ 1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛿𝛿)
Dividiendo:
tan(𝛿𝛿) = −
0,50
0,25∗1,33∗𝜋𝜋
; 𝛿𝛿 = −0,446 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐴𝐴 =
0,25
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
0,25
cos (−0,446)
= 0,277 𝑚𝑚
𝑥𝑥 = 0,277 ∗ cos(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 − 0,446) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
𝑣𝑣 = −0,277 ∗ 1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 − 0,446) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
𝑣𝑣 = 1,157 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 − 0,446) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
𝑎𝑎 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = 0,277 ∗ (1,33 ∗ 𝜋𝜋)2
∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 − 0,446)
𝑎𝑎 = −4.84 ∗ cos(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 − 0,446) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
12. El período de una partícula oscilante es 8 s y su amplitud 12 cm. En el tiempo t=0 se
encuentra en la posición de equilibrio. Determinar la distancia recorrida durante el
intervalo
a) t=0 a t=2 s.
b) t= 2 s a t = 4 s.
c) t= 0 a t = 1 s.
d) t=1 s a t = 2 s.
a) Δt=T/4
En T/4 recorrerá una distancia A, si se movía hacia la derecha acabará en x=A.
Se encuentra en x=12 cm.
Δx=12 cm
b) Δt=4-2= 2 s =T/4
Se encontrará en el centro, sentido de movimiento hacia la izquierda. Ha salido del
extremo, x=A.
Δx=-12 cm
c) 𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2∗𝜋𝜋
8
=
𝜋𝜋
4
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑥𝑥 = 0,08 ∗ cos (
𝜋𝜋
4
∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑡𝑡 = 0; 𝑥𝑥 = 0: 𝑣𝑣 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔
0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = arccos(0) = ±
𝜋𝜋
2
; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ó𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝛿𝛿 = −
𝜋𝜋
2

4. 𝑥𝑥 = 0,08 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 𝑡𝑡 −
𝜋𝜋
2
�
𝑥𝑥(1) − 𝑥𝑥(0) = 0,12 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
−
𝜋𝜋
2
� − 0,12 ∗ cos �−
𝜋𝜋
2
� = 0,085 𝑚𝑚
d) En t =2 s se encuentra en x=A.
𝑥𝑥(1) − 𝑥𝑥(0) = 12 − 8,5 = 3,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
13. El período de una partícula oscilante es 8 s. En t=0 s, la partícula está en x=A=10 cm.
a) Hacer un gráfico de x en función de t.
b) Hallar la distancia recorrida en el primero, segundo, tercero y cuarto segundos
después de t=0.
a) 𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2∗𝜋𝜋
8
=
𝜋𝜋
4
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑥𝑥 = 0,10 ∗ cos (
𝜋𝜋
4
∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑡𝑡 = 0; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴
1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0
𝑥𝑥 = 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 𝑡𝑡�
b) 𝑥𝑥(1) − 𝑥𝑥(0) = 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
� − 0,10 = −0,02923 𝑚𝑚
𝑥𝑥(2) − 𝑥𝑥(1) = 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 2� − 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
� = −0,071 𝑚𝑚
𝑥𝑥(3) − 𝑥𝑥(2) = 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 3� − 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 2� = −0,071 𝑚𝑚
𝑥𝑥(4) − 𝑥𝑥(3) = 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 4� − 0,10 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
∗ 3� = −0,0292 𝑚𝑚
14. En las especificaciones militares es frecuente que exijan que los dispositivos
electrónicos sean capaces de resistir aceleraciones de 10 g=98,1 m/s2
. Para asegurarse
de que sus productos cumplen con esta especificación, los fabricantes los someten a
ensayos en unas mesas vibrantes que pueden hacer vibrar un equipo a diversas
frecuencias y amplitudes especificades. Si un determinado dispositivo se somete a una
vibración de 1,5 cm de amplitud, ¿Cuál deberá ser su frecuencia para que cumpla con
la especificación militar de los 10 g?
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑤𝑤2
= 10 ∗ 𝑔𝑔
10 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
; 𝑓𝑓 = �
10∗𝑔𝑔
𝐴𝐴∗4∗𝜋𝜋2 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
10∗𝑔𝑔
𝐴𝐴
= 12,87 𝐻𝐻𝐻𝐻

5. 15. La posición de una partícula viene dada por x=2,5*cosπt, en donde x se expresa en
metros y t en segundos.
a) Determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima de la partícula.
b) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando x=1,5 m.
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,5 ∗ 𝜋𝜋 = 7,85 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 2,5 ∗ 𝜋𝜋2
= 24,67 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
b) 𝑣𝑣 = − 2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡)
1,5 = 2,5 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) ; 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 = arccos(0,6) ; 𝑡𝑡 = 0,295 𝑠𝑠
𝑣𝑣(0,295) = −2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 0,295) = −6,28 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2
∗ 𝑥𝑥 = −𝜋𝜋2
∗ 1,5 = −14,8 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
16. En mar gruesa, la proa de un destructor sufre un movimiento de balanceo vertical
equivalente a un movimiento armónico simple de 8,0 s de período y 2,0 m de
amplitud.
a) ¿Cuál es la máxima velocidad vertical de la proa del destructor?
b) ¿Cuál es su aceleración máxima?
c) Un marinero de 80 kg está subido a una báscula de una cámara de proa. ¿Cuáles
son la máxima y mínima lecturas de la báscula en newtons?
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,0 ∗
2∗𝜋𝜋
8,0
= 1,18 𝑚𝑚/𝑠𝑠
b) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 2,0 ∗ �
2∗𝜋𝜋
8,0
�
2
= 0,925 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
c) En el punto más alto de la oscilación la báscula marcará:
𝐹𝐹 + 𝑃𝑃 = 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
∗ 𝐴𝐴 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 80 ∗ ��
2∗𝜋𝜋
8,0
�
2
∗ 2,0 + 9,81� =
883,5 𝑁𝑁
En el punto inferior:
𝑃𝑃 − 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
∗ 𝐴𝐴 = 80 ∗ �9.81 − �
2∗𝜋𝜋
8,0
�
2
∗ 2,0� = 686,1 𝑁𝑁
Movimiento armónico simple y movimiento circular
17. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad
constante de 80 cm/s. Hallar
a) La frecuencia.
b) El periodo del movimiento.
c) C) Escribir una ecuación para el componente x de la posición de la partícula en
función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante
t = 0.
a) 𝜔𝜔 =
𝑣𝑣
𝑅𝑅
=
80 𝑐𝑐𝑐𝑐/𝑠𝑠
40 𝑐𝑐𝑐𝑐
= 2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠; 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓; 𝑓𝑓 =
𝜔𝜔
2∗𝜋𝜋
=
2
2∗𝜋𝜋
= 0.3183 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
;𝑇𝑇 = 3,14 𝑠𝑠
c) 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑅𝑅 = 0,4 𝑚𝑚 ; 𝜔𝜔 = 2
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑠𝑠
𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0
𝑥𝑥 = 0,4 ∗ cos (2 ∗ 𝑡𝑡) (S.I.)
18. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 cm, dando 1 rev cada 3s.
a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula?
b) ¿Cuál es su velocidad angular?

6. c) Escribir una ecuación para el componente x de la posición de la misma en función
de t, suponiendo que está sobre el eje x en el instante t=0.
a) 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 ∗ 𝑅𝑅 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
∗ 𝑅𝑅 =
2∗𝜋𝜋
3
∗ 0,15 = 0,314 𝑚𝑚/𝑠𝑠
b) 𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2∗𝜋𝜋
3
= 2.094 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
c) 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
𝑅𝑅 = 0,15 𝑚𝑚 ; 𝜔𝜔 = 2.094
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑠𝑠
𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0
𝑥𝑥 = 0,15 ∗ cos (2.094 ∗ 𝑡𝑡) (S.I.)
La energía en el movimiento armónico simple
19. Si la amplitud de un oscilador armónico simple se triplica, ¿en qué factor se modifica la
energía?
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
Si triplicamos la amplitud la energía del movimiento se hará 9 veces mayor.
20. Un objeto sujeto a un muelle tiene un movimiento armónico simple de amplitud 4,0
cm. Cuando el objeto se encuentra a 2,0 cm de la posición de equilibrio, ¿qué fracción
de su energía total es energía potencial?
a) Un cuarto. b) un terció. C) la mitad. D) dos tercios. E) tres cuartos.
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
𝐸𝐸𝑝𝑝 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2
𝐸𝐸𝑝𝑝
𝐸𝐸
=
𝑥𝑥2
𝐴𝐴2 =
22
42 = 0,25
Respuesta a.
21. Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k=4,5
kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar su
energía total.
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 4,5 ∗ 103
∗ 0,12
= 22,5 𝐽𝐽
22. Determinar la energía total de un objeto de 3 kg que oscila sobre un muelle horizontal
con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 2,4 Hz.
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
∗ 𝐴𝐴2
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 3 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 2.42
∗ 0.12
= 3.41 𝐽𝐽
23. Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de
constante de fuerza k=500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s.
a) ¿Cuál es la energía total?
b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?
a) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
=
1
2
∗ 1,5 ∗ 0,72
= 0.3675 𝐽𝐽
b) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
; 𝐴𝐴 = �
2∗𝐸𝐸
𝑘𝑘
= �
2∗0.3675
500
= 0.0383 𝑚𝑚

7. 24. Un objeto de 3 kg que oscila unido a un muelle de constante 2 kN/m tiene una energía
total de 0,9 J.
a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
b) ¿Cuál es su velocidad máxima?
a) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
; 𝐴𝐴 = �
2∗𝐸𝐸
𝑘𝑘
= �
2∗0,9
2000
= 0.03 𝑚𝑚
b) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
; 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �
2∗𝐸𝐸
𝑚𝑚
= �
2∗0.9
3
= 0.775 𝑚𝑚/𝑠𝑠
25. Un objeto oscila unido a un muelle con una amplitud de 4,5 cm. Su energía total es 1,4
J. ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle?
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
; 𝑘𝑘 =
2∗𝐸𝐸
𝐴𝐴2 =
2∗1,4
0.0452 = 1382.7𝑁𝑁/𝑚𝑚
26. Un objeto de 3 kg oscila sobre un muelle con una amplitud de 8 cm. Su aceleración
máxima es 3,50 m/s2
. Determinar la energía total.
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
; 𝑤𝑤 = �
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
= �
3,50
0,08
= 6.61 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐴𝐴2
∗ 𝜔𝜔2
=
1
2
∗ 3 ∗ 0.082
∗ 6.612
= 0.419 𝐽𝐽
Muelles
27. Verdadero o falso.
a) El período de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es el mismo,
independientemente de que el muelle sea vertical u horizontal.
b) La velocidad máxima de un objeto que oscila con amplitud A sobre un
determinado muelle es la misma, independientemente de que el muelle sea
vertical u horizontal.
a) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
. La constante es característica del muelle. Por tanto es correcta.
b) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔. Correcta.
28. Un músico planea anunciar el año nuevo tocando el trombón mientras oscila arriba y
abajo sobre un muelle que cuelga de un rascacielos en Times Square en Nueva York.
Intenta oscilar con un período de un segundo en sincronía con los espectadores,
mientras estos hacen la cuenta atrás hasta el momento justo de la media noche. Si
utiliza un muelle de contante de fuerza 3000 N/m, el músico debe estar seguro de que
el total de su masa vibrante debe alcanzar el valor total de
a) 3000 kg b) √3000 𝑘𝑘𝑘𝑘 c) 4𝜋𝜋2(3000)𝑘𝑘𝑘𝑘 d) 3000
4𝜋𝜋2
� 𝑘𝑘𝑘𝑘
e) ninguno de los anteriores.
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
;𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ;𝑚𝑚 =
𝑘𝑘∗𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2
Por tanto, respuesta correcta d.
29. Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k=4,5
kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar
a) La frecuencia del movimiento.
b) El período.
c) La amplitud.
d) La velocidad máxima.

8. e) La aceleración máxima.
f) ¿Cuándo alcanza el objeto por vez primera su posición de equilibrio? ¿Cuál es su
aceleración en ese instante?
a) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
;𝑓𝑓 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = �
4500
2,4∗4∗𝜋𝜋2 = 6,89 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
6,89
= 0,145 𝑠𝑠
c) A=0,1 m
d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,1 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 6,89 = 4,33 𝑚𝑚/𝑠𝑠
e) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
= 0.1 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 6.892
= 187,4 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
f) Sale de un extremo, llegará al centro en T/4 s, su aceleración en ese momento es 0
(a=-w2
x).
30. Responder a las cuestiones del problema 29 para un objeto de 5 kg sujeto a un muelle
de constante de fuerza k=700 N/m, teniendo en cuenta que el muelle está inicialmente
separado 8 cm de la posición de equilibrio.
a) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
;𝑓𝑓 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = �
700
5∗4∗𝜋𝜋2 = 1,88 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
1,88
= 0,531 𝑠𝑠
c) A=0.08 m
d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,08 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1,88 = 0,945 𝑚𝑚/𝑠𝑠
e) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
= 0.08 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 1.882
= 11,16 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
f) Sale de un extremo, llegará al centro en T/4 s, su aceleración en ese momento es 0
(a=-w2
x).
31. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle horizontal oscila con una amplitud A=10 cm y una
frecuencia f=2,4 Hz.
a) ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle?
b) ¿Cuál es el período del movimiento?
c) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
d) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto?
a) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
= 3 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 2.42
= 682,2 𝑁𝑁/𝑚𝑚
b) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
2.4
= 0,42 𝑠𝑠
c) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,1 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 2.4 = 1.51 𝑚𝑚/𝑠𝑠
d) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
= 0.1 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 2.42
= 22.7 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
32. Una persona de 85 kg sube a un coche de masa 2400 kg con lo cual sus ballestas
descienden 2.35 cm. Suponiendo que no hay amortiguamiento, ¿con qué frecuencia
vibrará el coche y el pasajero sobre las ballestas?
𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 ; 𝑘𝑘 =
𝐹𝐹
∆𝑥𝑥
=
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
∆𝑥𝑥
𝑘𝑘 = 𝑀𝑀 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
;𝑓𝑓 = �
𝑘𝑘
𝑀𝑀∗4∗𝜋𝜋2 = �
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑀𝑀∗4∗𝜋𝜋2∗∆𝑥𝑥
𝑓𝑓 = �
85∗9,81
2485∗4∗𝜋𝜋2∗0.0235
= 0,601 𝐻𝐻𝐻𝐻
33. Un objeto de 4,5 kg oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 3,8 cm. Su
aceleración máxima es de 26 m/s2
. Determinar
a) La constante de fuerza k.
b) La frecuencia del movimiento.
c) El período del movimiento.

9. a) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
; 𝜔𝜔2
=
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝑚𝑚 ∗
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
= 4.5 ∗
26
0.038
= 3079 𝑁𝑁/𝑚𝑚
b) 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
=
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
; 𝑓𝑓 = �
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴∗4∗𝜋𝜋2 = �
26
0.038∗4∗𝜋𝜋2 = 4.16 𝐻𝐻𝐻𝐻
c) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
4.16
= 0.240 𝑠𝑠
34. Un objeto oscila con una amplitud de 5,8 cm sobre un muelle horizontal de constante
de fuerza 1,8 kN/m. Su velocidad máxima es de 2,20 m/s. Determinar
a) La masa del objeto.
b) La frecuencia del movimiento.
c) El período del movimiento.
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ; 𝜔𝜔 =
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
;𝑚𝑚 =
𝑘𝑘
𝜔𝜔2 =
𝑘𝑘∗𝐴𝐴2
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2 =
1800∗0.0582
2.202 = 1.25 𝑘𝑘𝑘𝑘
b) 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 =
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴
; 𝑓𝑓 =
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐴𝐴∗2∗𝜋𝜋
=
2.20
0.058∗2∗𝜋𝜋
= 6.04 𝐻𝐻𝐻𝐻
c) 𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
6.04
= 0.166 𝑠𝑠
35. Un bloque de 0,4 kg que está sujeto a un muelle de constante de fuerza 12 N/m oscila
con una amplitud de 8 cm. Determinar
a) La velocidad máxima del bloque.
b) La velocidad y aceleración del bloque cuando se encuentra a x=4 cm de la posición
de equilibrio.
c) El tiempo que tarda el bloque en desplazarse de x=0 a x= 4 cm.
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
; 𝜔𝜔 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= 0.08 ∗ �
12
0.4
= 0,438 𝑚𝑚/𝑠𝑠
b) 𝐴𝐴2
∗ 𝜔𝜔2
= 𝜔𝜔2
∗ 𝑥𝑥2
+ 𝑣𝑣2
; 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 ∗ √𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
∗ √𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2
𝑣𝑣 = �
12
0.4
∗ √0.082 − 0.042 = 0.379 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑎𝑎 = ± 𝜔𝜔2
∗ 𝑥𝑥 = ±
𝑘𝑘
𝑚𝑚
∗ 𝑥𝑥 = ±
12
0.4
∗ 0.04 = ±1.2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
c) Supongamos que x=0 en t=0 .
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)
0.04 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ; 0.5 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛(𝑤𝑤 ∗ 𝑡𝑡) : 𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(0.5) =
𝜋𝜋
6
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
∗ 𝑡𝑡 =
𝜋𝜋
6
; 𝑡𝑡 =
𝑇𝑇
12
=
𝜋𝜋
6∗𝜔𝜔
=
𝜋𝜋
6
∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
=
𝜋𝜋
6
∗ �
0.4
12
= 0.0956 𝑠𝑠
36. Un objeto de masa m está colgado de un muelle vertical de constante 1800 N/m.
Cuando se estira de él hacia abajo separándole 2,5 cm del equilibrio y se le deja en
libertad desde el reposo, el objeto oscila comuna frecuencia de 5,5 Hz.
a) Hallar m.
b) Hallar la cantidad en que se estira el muelle a partir de su longitud natural cuando
el objeto está en equilibrio.

10. c) Escribir expresiones para el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleración a en
función de t.
a) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
;𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
; 𝑚𝑚 =
𝑘𝑘
4∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2 =
1800
4∗𝜋𝜋2∗5.52 = 1,507 𝑘𝑘𝑘𝑘
b) 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 ; ∆𝑥𝑥 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑘𝑘
=
1.507∗9.81
1800
= 0.00821 𝑚𝑚
c) Suponemos que en t=0 la partícula comienza el movimiento en x=-A.
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋)
𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 11 ∗ 𝜋𝜋
𝑥𝑥 = 0,025 ∗ cos (11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋)
𝑣𝑣 = −0.275 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋)
𝑎𝑎 = −3.025 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋)
37. Un muelle sin deformación cuelga verticalmente y en su extremo se cuelga un cuerpo
de masa desconocida que se suelta desde el reposo. Cae 3,42 cm antes de que quede
en reposo por primera vez. Hallar el período del movimiento.
Consideramos que la situación inicial es h=0. El sistema baja una altura h ( -h) y se
estira, si la situación inicial tiene energía cero, la final también.
Por conservación de energías:
0 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ +
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2
0 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 +
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
∗ 𝑥𝑥2
𝑔𝑔 ∗ ℎ =
1
2
∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ∗ 𝑥𝑥2
; 𝑇𝑇 = �
2∗𝜋𝜋2∗𝑥𝑥2
𝑔𝑔∗𝑥𝑥
= �
2∗𝜋𝜋2∗0.03422
9.81∗0.0342
= 0.262 𝑠𝑠
38. Un muelle de constante k=250 N/m se cuelga de un soporte rígido y se une a su
extremo inferior un objeto de 1 kg de masa, que se deja en libertad cuando el muelle
está sin deformar.
a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de empezar a ascender de nuevo?
b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio del
objeto?
c) ¿Cuál es el período de oscilación?
d) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando alcanza por primera vez su posición de
equilibrio?
e) ¿Cuánto sucede esto?
a) Alargamiento del muelle:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ 𝑦𝑦 ; 𝑦𝑦 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑘𝑘
=
1∗9.81
250
= 0.03924 𝑚𝑚
b) Si consideramos como altura cero el punto de alargamiento del muelle anterior, y
punto d energía potencial elástica nulo el mismo punto anterior. Aplicamos
conservación energía mecánica:
0 = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ +
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2
; 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 = ℎ
𝑥𝑥 =
2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑘𝑘
=
2∗9.81∗1
250
= 0.07848 𝑚𝑚
c) 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
;𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ �
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
�
2
; 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
250
= 0.397 𝑠𝑠
d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0.07848 ∗
2∗𝜋𝜋
0.397
= 1.242 𝑚𝑚/𝑠𝑠
e) El objeto sale de x=-A en t=0, en el centro, x=0, habrá pasado T/4 s.
𝑡𝑡 =
𝑇𝑇
4
=
0.397
4
= 0.09925 𝑠𝑠

11. 39. El arco de St. Luis tiene una altura de 192 m. Supongamos que una atleta de 60 kg salta
de la parte más alta del arco con una banda elástica atada a sus pies y alcanza justo el
suelo con velocidad cero. Determinar su energía cinética Ec a los 2,00 segundos del
salto. Suponer que la banda elástica obedece la ley de Hooke y despreciar su longitud
natural).
Suponemos que durante toda la caída el cuerpo tiene m.v.a.s., de forma que su
ecuación para la velocidad es:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿)
Suponemos que A=192/2=96 m.
La posición inicial vendrá dada por x=A en t=0. Por tanto, 𝛿𝛿=0.
Inicialmente tenemos energía potencial gravitatoria.
𝐸𝐸1 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ
En el punto final, h=0, v=0 y tenemos energía potencial elástica:
𝐸𝐸2 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ (𝑥𝑥)2
Donde x=h.
Por conservación energía:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ (ℎ)2
; 𝑘𝑘 =
2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔
ℎ
=
2∗60∗9,81
192
= 6,13 𝑁𝑁/𝑚𝑚
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
; 𝜔𝜔 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= �
2∗𝑔𝑔
ℎ
= �
2∗9.81
192
= 0.320 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑣𝑣(2) = −96 ∗ 0.320 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(0.320 ∗ 2) = −18,35 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝐸𝐸𝑐𝑐(𝑡𝑡 = 2) =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣(2) =
1
2
∗ 60 ∗ 18.352
= 10097 𝐽𝐽
40. Un bloque de 0.12 kg está suspendido de un muelle. Cuando una pequeña piedra de
masa 30 g se sitúa sobre el bloque, el muelle se alarga 5 cm más. Con la piedra sobre el
bloque, el muelle oscila con una amplitud de 12 cm.
a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?
b) ¿Cuánto tiempo tardará el bloque en recorrer la distancia entre el punto más bajo
y el punto más alto?
c) ¿Cuál es la fuerza neta de la piedra cuando se encuentra en un punto de máximo
desplazamiento hacia arriba?
a) Con el alargamiento producido por la piedra:
𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ; 𝑘𝑘 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑥𝑥
=
0.030∗9.81
0.05
= 5.886 𝑁𝑁/𝑚𝑚
Para la vibración hemos de considerar la masa total del sistema, piedra más
bloque):
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
; 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
; 𝑓𝑓 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = �
5.886
(0.12+0.030)∗4∗𝜋𝜋2 = 0.997 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) El tiempo entre los puntos indicados será ½*T
𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
=
1
0.997
= 1.003 𝑠𝑠
∆𝑡𝑡 =
1
2
∗ 𝑇𝑇 = 0.502 𝑠𝑠
c) En el punto más alto, x=A.
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 + 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 = 0.15 ∗ 9.81 + 5.886 ∗ 0.12 = 2.18 𝑁𝑁

12. 41. Determinar en el problema 40 la máxima amplitud de oscilación con la condición de
que la piedra permanezca sobre el bloque.
En el punto más alto de la oscilación, la fuerza sobre la piedra viene dada por P-N:
𝑃𝑃 − 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎
El valor máximo de a para que la piedra no se separe del bloque es el que hace que
N=0, por ello:
𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎 ;𝑎𝑎 = 𝑔𝑔
Si miramos el bloque, su aceleración máxima será:
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝐴𝐴 ∗
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗
𝑘𝑘
𝑚𝑚
; 𝐴𝐴 =
𝑔𝑔∗𝑚𝑚
𝑘𝑘
Usando para k los cálculos del problema 40:
Con el alargamiento producido por la piedra:
𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ; 𝑘𝑘 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑥𝑥
=
0.030∗9.81
0.05
= 5.886 𝑁𝑁/𝑚𝑚
𝐴𝐴 =
9.81∗0.15
5.886
= 0.25 𝑚𝑚
42. Un objeto de masa 2.0 kg está sujeto en la parte superior de un muelle vertical que
está anclado en el suelo. La longitud del muelle es de 8,0 cm y la posición de equilibrio
del objeto sobre el muelle está a 5.0 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está
en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal
manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s.
a) ¿A que máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?
b) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura la primera vez?
c) ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿qué velocidad inicial mínima debe
darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado?
a) En la posición de equilibrio el muelle se ha comprimido 3 cm, por tanto:
𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ;𝑘𝑘 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
∆𝑥𝑥
=
2∗9.81
0.03
= 654 𝑁𝑁/𝑚𝑚
Para el sistema en vibración:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
;𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 0.3 ∗ �
2.0
654
= 0.0166 𝑚𝑚
ℎ = 𝐴𝐴 + ℎ0 = 0.0166 + 0.05 = 0.0666 𝑚𝑚
b) Sale del centro, se mueve hacia abajo, en llegar al punto más bajo emplea T/4, en
llegar al punto más alto des de el punto inferior T/2, en total:
∆𝑡𝑡 =
𝑇𝑇
4
+
𝑇𝑇
2
=
3
4
∗ 𝑇𝑇
𝑇𝑇 =
2∗𝜋𝜋
𝜔𝜔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2.0
654
= 0,348 𝑠𝑠
∆𝑡𝑡 =
3
4
∗ 0.348 = 0.261 𝑠𝑠
c) La altura máxima es de 6,666 m, no llega a los 8 cm iniciales de distancia al suelo,
por tanto, el muelle no estará sin compresión.
La velocidad dada debe conseguir que Δh= 0.03 m. Por conservación de energías:
Punto inicial, tenemos potencial gravitatoria, potencial elástica y cinética:
𝐸𝐸1 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ1 +
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦2
En el punto final, a una altura de 8 cm, tendremos potencial gravitatoria
únicamente:
𝐸𝐸2 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ2
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ1 +
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦2
= 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ2

13. 𝑣𝑣 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆ℎ −
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ∗ ∆𝑦𝑦2 = �2 ∗ 9.891 ∗ 0.03 −
4∗𝜋𝜋2
0.3482 ∗ 0.032 = 0.543 𝑚𝑚/𝑠𝑠
También con:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= 0.03 ∗ �
654
2
= 0.543 𝑚𝑚/𝑠𝑠
43. En un parque se ensaya una nueva atracción para los niños. Un muchacho se sitúa
sobre un gran bloque sujeto a un muelle horizontal. Cuando se comprime y se deja en
libertad, el muchacho y el bloque oscilan con un período de 2 s.
a) Si el coeficiente de rozamiento estático entre el muchacho y el bloque es 0.25,
¿deslizará el muchacho con una amplitud de 1 m?
b) ¿Cuál es la amplitud máxima que evita el desplazamiento?
a) La fuerza de rozamiento estático máxima que actúa sobre el muchacho es:
𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 2,4525 ∗ 𝑚𝑚
La aceleración máxima del bloque es 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
, La fuerza que debería actuar sobre el
muchacho será:
𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎ℎ𝑜𝑜 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝑚𝑚 ∗ 1 ∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 = 9.86 ∗ 𝑚𝑚
Por tanto, la fuerza anterior es mayor que la de fricción estática máxima, el
muchacho deslizará.
b) Para que no haya deslizamiento las dos fuerzas deberán ser iguales:
𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ∗ 𝑚𝑚 ; 𝐴𝐴 =
𝜇𝜇∗𝑔𝑔∗𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 =
0.25∗9.81∗4
4∗𝜋𝜋2 = 0.25 𝑚𝑚
Energía de un objeto sobre un muelle vertical
44. Un cuerpo de 2,5 kg cuelga de un muelle vertical de constante 600 N/m. Oscila con
una amplitud de 3 cm. Cuando el cuerpo posee un máximo desplazamiento hacia
abajo, encontrar
a) La energía total el sistema.
b) La energía potencial gravitatoria.
c) La energía potencial del muelle.
d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? (Escoger U=0 cuando el cuerpo
está en equilibrio).
a) Cuando una masa cuelga de un muelle en posición vertical hay que distinguir entre
la energía potencial gravitatoria Ug y la energía potencial del muelle, Um. En el
punto de equilibrio el muelle está estirado y su energía potencial es
1/2k𝑦𝑦𝑜𝑜
2
respecto a su posición sin masa; y la energía potencial gravitatoria es -mgyo
relativa a y=0. Se puede demostrar que si elegimos la energía potencial total
(incluida la gravitatoria) igual a cero en la posición de equilibrio y’=0, en cualquier
otra posición se cumple
𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 + 𝑈𝑈𝑔𝑔 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑦𝑦′2
(𝑈𝑈 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦′
= 0)
Si consideramos el origen de energías potenciales en el punto de equilibrio la
energía total es:
𝑈𝑈 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 600 ∗ 0.032
= 0.27 𝐽𝐽
b) La energía potencial gravitatoria será:
𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −2,5 ∗ 9.81 ∗ 0.03 = −0.736 𝐽𝐽
C)

14. La energía potencial del muelle será:
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = 0.27 + 0.736 = 1.006 𝐽𝐽
d) La energía cinética será máxima en el punto central:
𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑚𝑚 = 0.27 𝐽𝐽
45. Un cuerpo de 1,5 kg que alarga un muelle en 2,8 cm respecto a su longitud natural
cuando cuelga de él en reposo, oscila comuna amplitud de 2,2 cm. Hallar
a) La energía total del sistema.
b) La energía potencial gravitatoria en el máximo desplazamiento hacia abajo.
c) La energía potencial del muelle en su máximo desplazamiento hacia abajo.
d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? (Escoger U=0 cuando el cuerpo
está en equilibrio).
a) 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥; 𝑘𝑘 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
∆𝑥𝑥
=
1.5∗9.81
0.028
= 525.5 𝑁𝑁/𝑚𝑚
𝑈𝑈 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 525.5 ∗ 0.0222
= 0.127 𝐽𝐽
b) La energía potencial gravitatoria será:
𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −1,5 ∗ 9.81 ∗ 0.022 = −0.324 𝐽𝐽
c) La energía potencial del muelle será:
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = 0.127 + 0.324 = 0.451 𝐽𝐽
e) La energía cinética será máxima en el punto central:
d) 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑚𝑚 = 0.127 𝐽𝐽
46. Un objeto de 1,2 kg que cuelga de un muelle de constante 300 N/m oscila con una
velocidad máxima de 30 cm/s.
a) ¿Cuál es su desplazamiento máximo? Cuando el objeto está en su desplazamiento
máximo, hallar
b) La energía total del sistema.
c) La energía potencial gravitatoria.
e) La energía potencial del muelle. (Escoger U=0 cuando el cuerpo está en equilibrio).
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
; 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 0.30 ∗ �
1.2
300
= 0.019 𝑚𝑚
b) 𝑈𝑈 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 300 ∗ 0.0192
= 0.0542 𝐽𝐽
c) 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −1,2 ∗ 9.81 ∗ 0.019 = −0.224 𝐽𝐽
d) La energía potencial del muelle será:
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = 0.0542 + 0.224 = 0.278 𝐽𝐽
Péndulos simples
47. Verdadero o falso: el movimiento de un péndulo simple es armónico simple para
cualquier desplazamiento angular inicial.
Falso, se ha de cumplir la aproximación para ángulos pequeños:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠~𝜃𝜃
48. Verdadero o falso: El movimiento de un péndulo simple es periódico para cualquier
desplazamiento angular inicial.
Verdadero. Para que un péndulo simple ejecute un movimiento periódico, la fuerza
restauradora debe ser lineal. Esta condición se cumple para cualquier desplazamiento
angular inicial.

15. 49. La longitud de la cuerda o alambre que soporta un péndulo crece ligeramente al
aumentar su temperatura. ¿Cómo afectará esto a un reloj que funciona por la acción
de un péndulo simple?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
Si l crece, T se hace mayor, por tanto, el reloj se retrasa.
50. Hallar la longitud de un péndulo simple si el período del péndulo es 5 s en un punto
donde g=9.81 m/s2
.
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
𝑙𝑙 =
𝑇𝑇2∗𝑔𝑔
4∗𝜋𝜋2 =
25∗9.81
4∗𝜋𝜋2 = 6.21 𝑚𝑚
51. ¿Cuál deberá ser el período del péndulo del problema 50 en la Luna, en donde la
aceleración de la gravedad es un sexto de la correspondiente a la Tierra?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙∗6
𝑔𝑔𝑇𝑇
= 5 ∗ √6 = 12,25 𝑠𝑠
52. Si el período de un péndulo de 70 cm de longitud es 1,68 s. ¿Cuál es el valor de g en el
sitio donde está situado el péndulo?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
; 𝑔𝑔 =
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ∗ 𝑙𝑙 =
4∗𝜋𝜋2
12.682 ∗ 0.70 = 9.79 𝑚𝑚/𝑠𝑠2
53. Un péndulo colgado en el hueco de una escalera de un edificio de 10 pisos se compone
de una masa grande suspendida de un alambre de 34,0 m de longitud. ¿Cuál es su
período de oscilación (g=9,81 m/s2
)?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
34,0
9.81
= 11.7 𝑠𝑠
54. Demostrar que la energía total de un péndulo simple que se mueve con oscilaciones
de pequeña amplitud Φo es aproximadamente E=1/2mgL Φo
2
(Sugerencia: Utilizar la
aproximación cos Φ=1-Φ2
/2 para valores pequeños de Φ).
En el punto 1 toda la energía es potencial, tomando su origen en el punto 2 (h=0).
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅) = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅)
Utilizando la aproximación indicada:
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ �1 − 1 +
∅2
2
� = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗
∅2
2

16. 55. Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza sin rozamiento
hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo ϴ con la horizontal, como
muestra la figura. Determinar el período de oscilación de un péndulo sobre el carro
deslizante.
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒
Donde gef es:
𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑔𝑔 − 𝑎𝑎
Por dinámica:
𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑎𝑎
𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑔𝑔 ∗ (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔∗(1−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)
56. Un péndulo simple de longitud L se libera del reposo des de un ángulo Φo.
a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar su
velocidad cuando atraviesa la posición Φ=0.
b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta
velocidad.
c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando Φo es pequeño.
d) Determinar la diferencia de los resultados para Φo=0,20 rad y L=1m.
a)
𝑣𝑣 = 𝐿𝐿 ∗
𝑑𝑑∅
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐿𝐿 ∗
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(∅𝑜𝑜cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)) = −𝐿𝐿 ∗ ∅𝑜𝑜 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)

17. 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑜𝑜 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑜𝑜 ∗ �
𝑔𝑔
𝐿𝐿
b) Por energías, tomando h=0 en el punto inferior.
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
= 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅𝑜𝑜)
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅𝑜𝑜)
c) Para ángulos pequeños:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅ = 1 −
∅2
2
; 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅ =
∅2
2
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅𝑜𝑜) = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗
∅𝑜𝑜
2
2
= ∅𝑜𝑜 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿
El resultado del apartado (a) se puede escribir:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑜𝑜 ∗ �
𝑔𝑔
𝐿𝐿
= ∅𝑜𝑜 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿
d) Para el primer caso:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑎𝑎) = ∅𝑜𝑜 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 = 0.20 ∗ √9.81 ∗ 1 = 0.6264 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑏𝑏) = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐∅𝑜𝑜) = �2 ∗ 9.81 ∗ 1 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0.2) = 0.6254 𝑚𝑚/𝑠𝑠
∆𝑣𝑣 = 0.001 𝑚𝑚/𝑠𝑠
Péndulos físicos
57. Un disco delgado de 5 kg de masa y con un radio de 20 cm se suspende mediante un
eje horizontal perpendicular al disco y que pasa por su periferia. El disco se desplaza
ligeramente del equilibrio y se deja libremente. Hallar el período del movimiento
armónico simple subyacente.
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
=
1
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
+ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
=
3
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
3
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
3∗𝑅𝑅
2∗𝑔𝑔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
3∗0.2
2∗9.81
= 1.10 𝑠𝑠
58. Un arco circular de 50 cm de radio se cuelga de una varilla horizontal delgada,
permitiéndose que oscile en el plano del aro. ¿Cuál es el período de su oscilación,
suponiendo que la amplitud es pequeña?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
= 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
+ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
= 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2∗𝑅𝑅
𝑔𝑔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2∗0.5
9.81
= 2.01 𝑠𝑠
59. Se suspende una figura plana de 3 kg de un punto situado a 10 cm de su centro de
masas. Cuando está oscilando con amplitud pequeña, el período de oscilación es 2,6 s.
Hallar el momento de inercia I respecto a un eje perpendicular al plano de la figura que
pasa por el punto de pivotamiento.
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 =
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 =
2.62
4∗𝜋𝜋2 ∗ 3 ∗ 9.81 ∗ 0.1 = 0.504 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2

18. 60. La figura muestra una palanqueta con dos masas iguales (consideradas como masas
puntuales) sujetas a los extremos de una barra muy delgada (masa despreciable) de
longitud L.
a) Demostrar que el período de este péndulo es un mínimo cuando el punto de
pivotamiento se encuentra sobre una de las masas.
b) Determinar el período de este péndulo físico si la distancia entre P y la masa
superior es L/4.
a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥2
𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗
𝐿𝐿2
4
+ 𝑚𝑚 ∗
𝐿𝐿2
4
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
𝐼𝐼 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
+ 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
2
∗𝑚𝑚∗𝐿𝐿2+2∗𝑚𝑚∗𝑥𝑥2
2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝑥𝑥
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
2
∗𝐿𝐿2+2∗𝑥𝑥2
𝑔𝑔∗𝑥𝑥
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
1
4
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
��
1
2
∗𝐿𝐿2+2∗𝑥𝑥2
𝑥𝑥
� = 0
2∗𝑥𝑥2−(
1
4
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2)
𝑥𝑥2∗�
1
4
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
= 0
2 ∗ 𝑥𝑥2
− �
1
4
∗ 𝐿𝐿2
+ 𝑥𝑥2� = 0
𝑥𝑥 =
1
2
∗ 𝐿𝐿
b) En este caso x=L/4.
𝑇𝑇 =
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
1
4
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
1
4
∗𝐿𝐿2+�
1
4
∗𝐿𝐿�
2
1
4
∗𝐿𝐿
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
5∗𝐿𝐿
4
= 𝜋𝜋 ∗ �
5∗𝐿𝐿
𝑔𝑔
𝑇𝑇 = 𝜋𝜋 ∗ �
5∗2
9.81
= 3.17 𝑠𝑠
61. Supongamos que la barra del problema 60 tiene masa de 2m (figura). Determinar la
distancia entre la masa superior y el punto de pivotamiento P, de tal modo que el
período de este péndulo físico sea mínimo.

19. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 4 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥2
𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 ∗
𝐿𝐿2
4
+ 𝑚𝑚 ∗
𝐿𝐿2
4
+
1
12
∗ 2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
=
2
3
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
𝐼𝐼 =
2
3
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
+ 4 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2
3
∗𝑚𝑚∗𝐿𝐿2+4∗𝑚𝑚∗𝑥𝑥2
4∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝑥𝑥
=
𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
2
3
∗𝐿𝐿2+4∗𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
��
2
3
∗𝐿𝐿2+4∗𝑥𝑥2
𝑥𝑥
� = 0
8∗𝑥𝑥2−(
2
3
∗𝐿𝐿2+4∗𝑥𝑥2)
2∗𝑥𝑥2∗�
2
3
∗𝐿𝐿2+4∗𝑥𝑥2
𝑥𝑥
= 0
8 ∗ 𝑥𝑥2
− �
2
3
∗ 𝐿𝐿2
+ 4 ∗ 𝑥𝑥2� = 0
𝑥𝑥 =
𝐿𝐿
√6
𝑑𝑑 =
𝐿𝐿
2
−
𝐿𝐿
√6
= 0.0918 ∗ 𝐿𝐿
62. Tenemos una regla de metro y se nos pide que taladremos un agujero de tal modo que
el período que cuando pivotemos la regla sobre él, el período del péndulo sea mínimo.
¿conde taladraremos el agujero?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥2
=
1
12
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝐿𝐿2
+ 𝑀𝑀 ∗ 𝑥𝑥2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
12
∗𝑀𝑀∗𝐿𝐿2+𝑀𝑀∗𝑥𝑥2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑥𝑥
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗ �
1
12
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
2∗𝜋𝜋
√𝑔𝑔
∗
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
��
1
12
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
� = 0
2∗𝑥𝑥2−(
1
12
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2)
2∗𝑥𝑥2∗�
1
12
∗𝐿𝐿2+𝑥𝑥2
𝑥𝑥
= 0
2 ∗ 𝑥𝑥2
− �
1
12
∗ 𝐿𝐿2
+ 𝑥𝑥2� = 0
𝑥𝑥 =
𝐿𝐿
√12
=
1,00
√12
= 0,289 𝑚𝑚
La distancia al centro será:
𝑑𝑑 = 0,5 − 0,289 = 0,211 𝑚𝑚
63. Un objeto plano de forma irregular de masa 3,2 kg se suspende de una barra delgada
de longitud ajustable, de tal modo que es libre de oscilar en el plano del objeto
(figura). Cuando la longitud de la barra de soporte es 1,0 m, el período de este péndulo
para pequeñas oscilaciones es 2,6 s. Si la barra se acorta a 0,8 m, el período disminuye
a 2,5 s. ¿Cuál será el período de este péndulo físico si la longitud de la barra es 0,5 m?

20. 𝑇𝑇1
2
4∗𝜋𝜋2 =
𝐼𝐼𝑜𝑜+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿1+𝑑𝑑)2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿1+𝑑𝑑)
𝐼𝐼𝑜𝑜 =
𝑇𝑇1
2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿1 + 𝑑𝑑) − 𝑀𝑀 ∗ (𝐿𝐿1 + 𝑑𝑑)2
𝑇𝑇2
2
4∗𝜋𝜋2 =
𝐼𝐼𝑜𝑜+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿2+𝑑𝑑)2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿2+𝑑𝑑)
Substituyendo el momento de inercia despejado:
𝑇𝑇2
2
4∗𝜋𝜋2 =
𝑇𝑇1
2
4∗𝜋𝜋2∗𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿1+𝑑𝑑)−𝑀𝑀∗(𝐿𝐿1+𝑑𝑑)2+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿2+𝑑𝑑)2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿2+𝑑𝑑)
Despejando d:
𝑑𝑑 =
𝑇𝑇1
2
4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿1−
𝑇𝑇2
2
4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿2−𝐿𝐿1
2+𝐿𝐿2
2
𝑇𝑇2
2
4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔−
𝑇𝑇1
2
4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔+2∗𝐿𝐿1−2∗𝐿𝐿2
Substituyendo los valores:
𝑑𝑑 =
2.62
4∗𝜋𝜋2∗9.81∗1−
2.52
4∗𝜋𝜋2∗9.81∗0.8−12
+0.82
2.52
4∗𝜋𝜋2∗9.81−
1.62
4∗𝜋𝜋2∗9.81+2∗1−2∗0.8
= 0.283 𝑚𝑚
𝐼𝐼𝑜𝑜 =
2.62
4∗𝜋𝜋2 ∗ 3.2 ∗ 9.81 ∗ (1 + 0.283) − 3.2 ∗ (1 + 0.283)2
= 1.6291 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2
El período pedido será:
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼𝑜𝑜 + 𝑀𝑀 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑)2
𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑)
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1.6291 + 3.2 ∗ (0.5 + 0.283)2
3.2 ∗ 9.81 ∗ (0.5 + 0.283)
= 2,4 𝑠𝑠
64. Cuando una persona de baja estatura y otra de alta estatura caminan juntas a la
misma velocidad, la persona baja debe dar un número mayor de pasos. Supongamos
que la pierna es un péndulo físico que oscila alrededor de la articulación de la cadera.
Estimar la frecuencia natural de este péndulo para una persona de altura media y
compara el resultado con el ritmo que esta persona da sus pasos normalmente sin
prisas.

21. El periodo de la persona con piernas costas es mayor que el de la persona con piernas
largas, la persona con piernas cortas moverá las piernas mayor número de veces por
segundo que la de piernas largas.
65. La figura muestra un disco uniforme de radio R=0,8 m y masa 6 kg con un pequeño
agujero a la distancia d del centro del disco que puede servir de punto de pivote.
a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el período de este péndulo físico sea 2,5 s?
b) ¿A qué distancia d este péndulo físico tendrá el período menor posible? ¿cuál es
este período?
a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑
𝐼𝐼 =
1
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝑑𝑑2
𝑇𝑇2
= 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗
�
1
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2�
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑
𝑀𝑀 ∗ 𝑑𝑑2
− �
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔� ∗ 𝑑𝑑 −
1
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
= 0
𝑑𝑑2
− �
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔� ∗ 𝑑𝑑 −
1
2
∗ 𝑅𝑅2
= 0
Substituyendo por los valores:
𝑑𝑑2
− 1.553 ∗ 𝑑𝑑 − 032 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
𝑑𝑑 = 0.245 𝑚𝑚 ; 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟.
b) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗
2∗𝑀𝑀2∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑2−�
1
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2�∗𝑀𝑀∗𝑔𝑔
(𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑)2 ∗
1
2∗�
1
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 0 → 2 ∗ 𝑑𝑑2
−
1
2
∗ 𝑅𝑅2
− 𝑑𝑑2
= 0 ; 𝑑𝑑 =
𝑅𝑅
√2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
2
∗𝑅𝑅2+
𝑅𝑅2
2
𝑔𝑔∗
𝑅𝑅
√2
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
1
2
∗0.82+
0.82
2
9.81∗
0.81
√2
= 2.13 𝑠𝑠
66. Un objeto plano tiene un momento de inercia i respecto a su centro de masa. Cuando
se hace girar alrededor del punto P1, como se indica en la figura, oscila alrededor del
pivote con un período T. Existe otro punto P2 en el lado opuesto del centro de masas
respecto al cual el objeto oscila con el mismo período T. Demostrar que ℎ1 + ℎ2 =
𝑔𝑔𝑇𝑇2
4𝜋𝜋2.

22. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼+𝑀𝑀∗ℎ1
2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 =
𝐼𝐼+𝑀𝑀∗ℎ1
2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1
;
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 =
𝐼𝐼
ℎ1
+ 𝑀𝑀 ∗ ℎ1
Por ser el mismo período para los puntos 1 y 2:
𝐼𝐼
ℎ1
+ 𝑀𝑀 ∗ ℎ1 =
𝐼𝐼
ℎ2
+ 𝑀𝑀 ∗ ℎ2 ; 𝐼𝐼 = 𝑀𝑀 ∗ ℎ1 ∗ ℎ2
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 =
𝑀𝑀∗ℎ1∗ℎ2+𝑀𝑀∗ℎ1
2
𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔 = ℎ2 + ℎ1
67. Un péndulo físico se compone de una lenteja esférica de radio r y masa m colgada de
una cuerda (figura). La distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es
L. Cuando r es mucho menor que L, este péndulo suele considerarse como un péndulo
simple de longitud L.
a) Demostrar que para pequeñas oscilaciones el período viene dado por
𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑜𝑜�1 +
2𝑟𝑟2
5𝐿𝐿2
En donde 𝑇𝑇𝑜𝑜 = 2𝜋𝜋�
𝐿𝐿
𝑔𝑔
es el período del péndulo simple de longitud L.
b) Demostrar que cuando r es mucho menor que L, el período vale aproximadamente
𝑇𝑇~𝑇𝑇𝑜𝑜(1 +
𝑟𝑟2
5𝐿𝐿2).
c) Si L=1 m y r= 2 cm, hallar el error cuando se utiliza la aproximación 𝑇𝑇~𝑇𝑇𝑜𝑜para este
péndulo. ¿qué tamaño deberá tener el radio de la lenteja para que el error sea el 1
por ciento?
a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷

23. 𝐼𝐼 =
2
5
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑟𝑟2
+ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2
5
∗𝑚𝑚∗𝑟𝑟2+𝑚𝑚∗𝐿𝐿2
𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2
5
∗𝑟𝑟2+𝐿𝐿2
𝑔𝑔∗𝐿𝐿
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐿𝐿
𝑔𝑔
∗ �
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 + 1�
𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑜𝑜 ∗ ��
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 + 1�
b) ��
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 + 1� = 1 +
1
2
∗
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 +
1
8
∗ �
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2
�
2
+ ⋯ ≈ 1 +
1
2
∗
2
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 = 1 +
1
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2
c)
∆𝑇𝑇
𝑇𝑇
≈
𝑇𝑇−𝑇𝑇𝑜𝑜
𝑇𝑇𝑜𝑜
=
𝑇𝑇
𝑇𝑇𝑜𝑜
− 1 =
1
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 =
1
5
∗
0.022
12 = 0.008 ; 0.8 %
Para un error del 1 %:
0.01 =
1
5
∗
𝑟𝑟2
𝐿𝐿2 =
1
5
∗
𝑟𝑟2
12 ;𝑟𝑟 = √0.01 ∗ 5 ∗ 𝐿𝐿2 = √0.01 ∗ 5 ∗ 12 = 0.224 𝑚𝑚
68. La figura muestra el péndulo de un reloj. La barra uniforme de longitud L=2,0 m tiene
una masa m=0,8 kg. Sujeto a la barra hay un disco de masa M=1,2 kg y radio 0,15 m. el
reloj se ha construido de modo que marque un tiempo perfecto si el período del
péndulo es 3,50 s.
a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el período del péndulo sea 2,5 s?
b) Supongamos que el reloj de péndulo atrasa 5,0 min por día, ¿A qué distancia y en
qué dirección debe desplazarse el disco para asegurar que el reloj marque
correctamente el tiempo?
a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐼𝐼
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝐼𝐼 =
1
3
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
+
1
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
+ 𝑀𝑀 ∗∗ 𝑑𝑑2
2 ∗ 𝐷𝐷(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑑𝑑 ;𝐷𝐷(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) =
1
4
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿 +
𝑀𝑀
2
∗ 𝑑𝑑
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 =
1
3
∗𝑚𝑚∗𝐿𝐿2+
1
2
∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗𝑔𝑔∗�
1
4
∗𝑚𝑚∗𝐿𝐿+
𝑀𝑀
2
∗𝑑𝑑�
𝑀𝑀 ∗ 𝑑𝑑2
− �
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2
∗ (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 𝑔𝑔 ∗
𝑀𝑀
2
� ∗ 𝑑𝑑 + �
1
3
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿2
+
1
2
∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2
−
𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2
∗ (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 𝑔𝑔 ∗
1
4
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝐿𝐿� = 0
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− (0.2982 ∗ 𝑇𝑇2) ∗ 𝑑𝑑 + (1,0802 − 0,1988 ∗ 𝑇𝑇2) = 0
Haciendo T=2.5 s:
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− 1.86375 ∗ 𝑑𝑑 − 0,1623 = 0
Obtenemos d=1.6358 m
b) 24 ℎ ∗
3600 𝑠𝑠
1 ℎ
= 86400 𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒 1 𝑑𝑑í𝑎𝑎
5,0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗
60 𝑠𝑠
1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
= 300 𝑠𝑠
86440 ∗ 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 86100 ∗ 𝑇𝑇

24. 86400 ∗ 3,5 = 86100 ∗ 𝑇𝑇 ; 𝑇𝑇 =
86400∗3,5
86100
= 3,5122 𝑠𝑠
La distancia para el caso correcto es:
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− (0.2982 ∗ 3.52) ∗ 𝑑𝑑 + (1,0802 − 0.1988 ∗ 3.52) = 0
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− 3.65295 ∗ 𝑑𝑑 − 1.3551 = 0
𝑑𝑑 = 3.3784 𝑚𝑚
Para el período de 3.5122:
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− (0.2982 ∗ 3.51222) ∗ 𝑑𝑑 + (1,0802 − 0,1988 ∗ 3.51222) = 0
1.2 ∗ 𝑑𝑑2
− 3.6785 ∗ 𝑑𝑑 − 1.3721 = 0
𝑑𝑑 = 3.4016 𝑚𝑚
∆𝑑𝑑 = 3.4016 − 3.3784 =0.0232 m
La longitud da más larga que la longitud de la barra (¿?)
Relojes
69. Dos relojes tienen péndulos simples de longitudes idénticas, L. El péndulo del reloj A
oscila a lo largo de un arco de 10º; el del reloj B a lo largo de un arco de 5º. Cuando se
comparan los dos relojes resulta que
a) A es más lento que B.
b) A es más rápido que B.
c) Ambos relojes marcan el mismo tiempo.
d) La respuesta depende de la longitud L.
Respuesta a.
70. Un reloj de péndulo simple marca el tiempo exacto cuando su longitud es L. si la
longitud se incrementa en una pequeña cantidad, ¿en qué se afecta a la exactitud del
reloj?
a) El reloj atrasará.
b) El reloj adelantará.
c) El reloj continuará marcando el tiempo exacto.
d) La respuesta no puede determinarse sin conocer la longitud inicial del péndulo.
e) La respuesta no puede determinarse sin conocer el incremento relativo de la
longitud del péndulo.
Si L aumenta, el período también, por tanto, el reloj atrasará.
71. Un reloj de péndulo pierde 48 s por día cuando la amplitud del péndulo es 8,4o
. ¿Cuál
debería ser la amplitud del péndulo para que el reloj marcase el tiempo exacto?
𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑜𝑜 ∗ (1 +
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0� +
1
22 ∗ �
3
4
�
2
∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 �
1
2
∗ ∅𝑜𝑜� + ⋯)
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ (1 +
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0� +
1
22 ∗ �
3
4
�
2
∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 �
1
2
∗ ∅𝑜𝑜� + ⋯ )
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ �1 +
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0��
∆𝑇𝑇
𝑇𝑇
=
𝑇𝑇𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑇𝑇
=
48 𝑠𝑠
1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
∗
1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
24 ℎ
∗
1 ℎ
3600 𝑠𝑠
=
48
86400
∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ �1 +
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ 8,4� − 1 −
1
22 ∗
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0��

25. ∆𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ �
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(4,2) −
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0��
∆𝑇𝑇
2∗𝜋𝜋∗�
𝑙𝑙
𝑔𝑔
=
∆𝑇𝑇
𝑇𝑇
=
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(4,2) −
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0� =
48
86400
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
1
2
∗ ∅0� = 0.05605
∅0 = 6,43𝑜𝑜
72. Un reloj de péndulo que oscila con una amplitud muy pequeña adelanta 5 minutos
cada día. ¿qué amplitud angular deberá dársele al péndulo para mantener el tiempo
correcto?
∆𝑇𝑇
𝑇𝑇
=
𝑇𝑇𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙−𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑇𝑇
=
5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
∗
1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
24 ℎ
∗
1 ℎ
3600 𝑠𝑠
∗
60 𝑠𝑠
1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
=
5
1440
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ �1 +
1
22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0��
∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Suponiendo la amplitud del péndulo lento pequeña:
𝑇𝑇𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ≈ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∆𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
∗ �1 − 1 −
1
4
∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0��
∆𝑇𝑇
2∗𝜋𝜋∗�
𝑙𝑙
𝑔𝑔
=
∆𝑇𝑇
𝑇𝑇
= −
1
4
∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �
1
2
∗ ∅0� = −
5
1440
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
1
2
∗ ∅0� = 0.1178
∅0 = 13,5𝑜𝑜
Oscilaciones amortiguadas
73. Verdadero o falso: La energía de un oscilador no forzado, amortiguado, decrece
exponencialmente con el tiempo.
Verdadero, la energía es:
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−𝑡𝑡/𝜏𝜏
Donde 𝐸𝐸𝑜𝑜es la energía inicial i 𝜏𝜏 es la constante de tiempo.
74. Demostrar que la constante de amortiguamiento, b, tiene unidades de kg/s.
𝐹𝐹𝑑𝑑 = −𝑏𝑏 ∗ 𝑣𝑣 ; 𝑏𝑏 = −
𝐹𝐹𝑑𝑑
𝑣𝑣
Por dimensiones:
[𝑏𝑏] =
𝑀𝑀∗𝐿𝐿∗𝑇𝑇−2
𝐿𝐿∗𝑇𝑇−1 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑇𝑇−1
75. Un oscilador tiene un factor Q igual a 200. ¿En qué porcentaje disminuye su energía
durante un período?

26. 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐: 𝑄𝑄 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ 𝜏𝜏 =
𝜔𝜔0∗𝑚𝑚
𝑏𝑏
; 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋
200
= 0,0314 ;3,14 %
76. Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 3 cm con un muelle de constante
k=400 N/m. Hallar
a) El período.
b) La energía inicial total.
c) Si la energía disminuye en un 1 % por período, hallar la constante de
amortiguamiento b y el factor Q.
a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2
400
= 0.444 𝑠𝑠
b) 𝐸𝐸𝑜𝑜 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 400 ∗ 0.032
= 0,180 𝐽𝐽
c) 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
0,01
= 628
𝑄𝑄 =
𝜔𝜔0∗𝑚𝑚
𝑏𝑏
; 𝑏𝑏 =
𝜔𝜔0∗𝑚𝑚
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗𝑚𝑚
𝑇𝑇∗𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗2
0,444∗628
= 0,0451 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠
77. Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas en un
oscilador forzado es constante.
𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
𝐴𝐴(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡+𝑇𝑇
2∗𝜏𝜏
𝐴𝐴(𝑡𝑡)
𝐴𝐴(𝑡𝑡+𝑇𝑇)
=
𝐴𝐴𝑜𝑜∗𝑒𝑒
−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
𝐴𝐴𝑜𝑜∗𝑒𝑒
−
𝑡𝑡+𝑇𝑇
2∗𝜏𝜏
= 𝑒𝑒
𝑇𝑇
2∗𝜏𝜏 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
78. Un oscilador tiene un período de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5 por ciento
durante cada ciclo.
a) ¿En cuento disminuye su energía en cada ciclo?
b) ¿Cuál es la constante de tiempo τ?
c) ¿Cuál es el factor Q?
a) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
; 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ;
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸
=
𝑘𝑘∗𝐴𝐴∗𝑑𝑑𝑑𝑑
1
2
∗𝑘𝑘∗𝐴𝐴2
=
2∗𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
;
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
=
2∗∆𝐴𝐴
𝐴𝐴
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
= 2 ∗ 0,05 = 0,1 ;10 %
b)
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
=
𝑇𝑇
𝜏𝜏
; 𝜏𝜏 =
𝑇𝑇
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
=
3
0,1
= 30 𝑠𝑠
c) 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
;𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
0,1
= 62,8
79. Un oscilador posee un factor Q igual a 20.
a) ¿En qué fracción la energía disminuye en cada ciclo?
b) Utilizar la ecuación 𝜔𝜔′
= 𝜔𝜔𝑜𝑜�1 − �
𝑏𝑏
2𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜
�
2
para determinar la diferencia relativa
entre w’ y wo.( Sugerencia: Utilizar la aproximación (1+x)1/2
=1+1/2x para valores
pequeños de x).
a) �
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋
20
= 0,314
b) 𝜔𝜔′
= 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ �1 − �
𝑏𝑏
2∗𝑚𝑚∗𝜔𝜔𝑜𝑜
�
2
= 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ �1 −
𝑏𝑏2
4∗𝑚𝑚2∗𝜔𝜔𝑜𝑜
2
Usando:

27. 𝑄𝑄 =
𝜔𝜔0∗𝑚𝑚
𝑏𝑏
;
𝑏𝑏
𝑚𝑚∗𝜔𝜔𝑜𝑜
=
1
𝑄𝑄
𝜔𝜔′
= 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ �1 −
1
4∗𝑄𝑄2
Usando:
�1 −
1
4∗𝑄𝑄2
�
1/2
~1 −
1
2
∗
1
4∗𝑄𝑄2 = 1 −
1
8∗𝑄𝑄2
𝜔𝜔′
= 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ �1 −
1
8∗𝑄𝑄2
�
𝜔𝜔′
− 𝜔𝜔𝑜𝑜 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ �1 −
1
8∗𝑄𝑄2
� − 𝜔𝜔𝑜𝑜 = −
1
8∗𝑄𝑄2 ∗ 𝜔𝜔𝑜𝑜
𝜔𝜔′−𝜔𝜔𝑜𝑜
𝜔𝜔𝑜𝑜
== −
1
8∗𝑄𝑄2 == −
1
8∗202 = −0.0003125 ; 0,03125 %
80. Si no suministramos energía a un columpio infantil, su amplitud disminuye en un factor
1/e aproximadamente en ocho períodos. Estimar el factor Q de este sistema.
En t=0 la amplitud es Ao.
𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
Para t=8T:
𝐴𝐴(8 ∗ 𝑇𝑇) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
8∗𝑇𝑇
2∗𝜏𝜏 = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
4∗𝑇𝑇
𝜏𝜏
𝐴𝐴(8∗𝑇𝑇)
𝐴𝐴𝑜𝑜
= 𝑒𝑒−
4∗𝑇𝑇
𝜏𝜏
Según el enunciado este cociente es 1/e:
1
𝑒𝑒
= 𝑒𝑒−
4∗𝑇𝑇
𝜏𝜏 ; 1 =
4∗𝑇𝑇
𝜏𝜏
;
𝜏𝜏
𝑇𝑇
= 4
𝑄𝑄 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 ∗ 𝜏𝜏 =
2∗𝜋𝜋∗𝜏𝜏
𝑇𝑇
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 4 = 25.1
81. Un sistema masa-muelle oscila con una frecuencia de 200 Hz. La constante de tiempo
del sistema es 2.0 s. En el tiempo t=0, la amplitud de la oscilación es 6,0 cm y la energía
del sistema oscilante es 60 J.
a) ¿Cuáles son las amplitudes de oscilación para t=2,0 s y t=4,0 s?
b) ¿Cuánta energía se disipa en el primer intervalo de 2 s y en el segundo intervalo de
2 s?
a) 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
𝐴𝐴(2) = 0,06 ∗ 𝑒𝑒−
2
2∗2 = 3,64 ∗ 10−2
𝑚𝑚
𝐴𝐴(4) = 0,06 ∗ 𝑒𝑒−
4
2∗2 = 2,21 ∗ 10−2
𝑚𝑚
b) 𝐸𝐸(0) = 60 𝐽𝐽
𝐸𝐸(𝑡𝑡) =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
= 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
𝜏𝜏
𝐸𝐸(2) = 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑒𝑒−
2
2 = 60 ∗ 𝑒𝑒−1
∆𝐸𝐸(0 − 2 𝑠𝑠) = 60 ∗ (1 − 𝑒𝑒−1) = 37,9 𝐽𝐽
𝐸𝐸(4) = 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑒𝑒−
4
2 = 60 ∗ 𝑒𝑒−2
∆𝐸𝐸(2 − 4 𝑠𝑠) = 60 ∗ (𝑒𝑒−1
− 𝑒𝑒−2) = 14 𝐽𝐽
82. Se ha establecido que la Tierra en vibración posee un período de resonancia de 54 min
y un factor Q de aproximadamente 400, y que después de un gran terremoto, la Tierra
“tiembla” (se produce una vibración continua) durante dos meses.
a) ¿En qué factor disminuye la amplitud de las vibraciones durante este período de
tiempo?

28. b) Demostrar que después de n períodos, la energía es 𝐸𝐸𝑛𝑛 = (0,984)𝑛𝑛
𝐸𝐸𝑜𝑜, siendo Eo la
energía inicial.
c) Si la energía inicial de vibración de un terremoto es Eo, ¿Cuál es la energía al cabo
de 2 días?
a) �
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋
400
= 0,0157 ;1,57 %
b) 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 − ∆𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 − 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
= 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ �1 −
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
�
𝐸𝐸2 = 𝐸𝐸1 ∗ �1 −
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
� = 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ �1 −
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
�
2
𝐸𝐸𝑛𝑛 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ �1 −
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
�
𝑛𝑛
= 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ (1 − 0,0157)𝑛𝑛
= 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ (0.9843)𝑛𝑛
c) Calculamos el número de períodos en dos días:
2 𝑑𝑑í𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗
24 ℎ
1 𝑑𝑑í𝑎𝑎
∗
60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
1 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
= 2880 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑛𝑛 =
2880 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
54 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
= 53,3
𝐸𝐸𝑛𝑛 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ (0.9843)53,3
= 0,430 ∗ 𝐸𝐸𝑜𝑜
83. Una esfera de 3 kg cae en el aire con una velocidad terminal de 25 m/s. (Suponer que la
fuerza de rozamiento es -bv). La esfera está unida a un muelle de constante de fuerza k=400
N/m, y oscila con una amplitud inicial de 20 cm.
a) ¿Cuánto vale la constante de tiempo τ?
b) ¿Cuándo será la amplitud 10 cm?
c) ¿Cuánta energía se habrá perdido cuando la amplitud sea de 10 cm?
a) Utilizando la velocidad terminal:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑏𝑏 ∗ 𝑣𝑣 = 0 ; 𝑏𝑏 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑣𝑣
=
3∗9.81
25
= 1.1772 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠
𝜏𝜏 =
𝑚𝑚
𝑏𝑏
=
3
1.1772
= 2.55 𝑠𝑠
b) 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑜𝑜 ∗ 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
𝐴𝐴(𝑡𝑡)
𝐴𝐴𝑜𝑜
= 𝑒𝑒−
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏 ;
𝑡𝑡
2∗𝜏𝜏
= 𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐴𝐴𝑜𝑜
𝐴𝐴(𝑡𝑡)
; 𝑡𝑡 = 2 ∗ 𝜏𝜏 ∗ 𝑙𝑙𝑛𝑛
𝐴𝐴𝑜𝑜
𝐴𝐴(𝑡𝑡)
𝑡𝑡 = 2 ∗ 2,55 ∗ ln �
20
10
� = 3,54 𝑠𝑠
c) 𝐸𝐸𝑜𝑜 =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴𝑜𝑜
2
=
1
2
∗ 400 ∗ 0,22
= 8 𝐽𝐽
𝐸𝐸(10 𝑐𝑐𝑐𝑐) =
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 400 ∗ 0,12
= 2 𝐽𝐽
∆𝐸𝐸 = 2 − 8 = −6 𝐽𝐽
Oscilaciones forzadas y resonancia
84. Verdadero o falso:
a) La resonancia tiene lugar cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia
natural.
b) Si el valor de Q es alto la resonancia es aguda.
a) La amplitud de un oscilador forzado es:

29. 𝐴𝐴 =
𝐹𝐹𝑜𝑜
�𝑚𝑚2∗�𝜔𝜔𝑜𝑜
2−𝜔𝜔2�
2
+𝑏𝑏2∗𝜔𝜔2
La amplitud máxima (resonancia) se dará cuando: 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑜𝑜.
Verdadero.
b) Verdadero. La anchura de la curva de resonancia depende de:
∆𝜔𝜔
𝜔𝜔𝑜𝑜
=
1
𝑄𝑄
Si Q es grande, la anchura es pequeña, curva aguda.
85. Dar algunos ejemplos de sistemas comunes que pueden considerarse como osciladores
forzados.
Péndulo de un reloj, cuerda de un violín al tocarla con un arco.
86. Una copa de cristal que estalla por la acción de un sonido intenso es un ejemplo de:
a) Resonancia
b) Amortiguamiento crítico.
c) Decrecimiento exponencial de energía.
d) Sobreamortiguamiento.
La rotura se produce cuando se da la resonancia entre el sonido y la frecuencia de
vibración de la copa. Respuesta correcta a.
87. Determinar la frecuencia de resonancia para cada uno de los tres sistemas indicados en la
figura.
a) 𝑇𝑇𝑜𝑜 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝐾𝐾
; 𝑓𝑓
𝑜𝑜 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
=
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
400
10
= 1,01 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑓𝑓
𝑜𝑜 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
800
5
= 2,01 𝐻𝐻𝐻𝐻
c) 𝑇𝑇𝑜𝑜 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑙𝑙
𝑔𝑔
; 𝑓𝑓
𝑜𝑜 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑔𝑔
𝑙𝑙
=
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
9,81
2
= 0,352 𝐻𝐻𝐻𝐻
88. Un oscilador amortiguado pierde el 2 por ciento de su energía en cada ciclo.
a) ¿Cuál es su factor Q?
b) Si su frecuencia de resonancia es 300 Hz. ¿Cuál es la anchura de la curva de resonancia
cuando el oscilador está impulsado?
a) 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
0,02
= 3,14
b)
∆𝜔𝜔
𝜔𝜔𝑜𝑜
=
1
𝑄𝑄
; ∆𝜔𝜔 =
𝜔𝜔𝑜𝑜
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓𝑜𝑜
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗300
3,14
= 6,00 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

30. 89. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k= 400 N/m. La constante
de amortiguamiento es b=2,00 kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor
máximo 10 N y frecuencia angular ω=10 rad/s.
a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones?
b) Si se varia la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la
resonancia?
c) Hallar la amplitud de las vibraciones de resonancia.
d) ¿Cuál es la anchura Δω de la resonancia?
a) 𝐴𝐴 =
𝐹𝐹𝑜𝑜
�𝑚𝑚2∗�𝜔𝜔𝑜𝑜
2−𝜔𝜔2�
2
+𝑏𝑏2∗𝜔𝜔2
𝜔𝜔𝑜𝑜 = �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
= �
400
2
= 14,14 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝐴𝐴 =
10
�22∗(14,142−102)2+22∗10′2
= 4,98 ∗ 10−2
𝑚𝑚
b) Resonancia si ω=ωo=14,14 rad/s
c) 𝐴𝐴𝑟𝑟 =
𝐹𝐹𝑜𝑜
√𝑏𝑏2∗𝜔𝜔2
=
𝐹𝐹𝑜𝑜
𝑏𝑏∗𝜔𝜔
=
10
2∗14,14
= 0,354 𝑚𝑚
d) ∆𝜔𝜔 =
𝑏𝑏
𝑚𝑚
=
2
2
= 1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
90. Un oscilador amortiguado pierde 3,5 por ciento de su energía en cada ciclo.
a) ¿Cuántos ciclos han de transcurrir antes de que se disipe la mitad de su energía?
b) ¿Cuál es el factor Q?
c) Si la frecuencia natural es 100 Hz, ¿Cuál es la anchura de la curva de resonancia
cuando el oscilador se ve impulsado exteriormente?
a) Utilizamos solución encontrada problema 92:
𝐸𝐸𝑛𝑛 = 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ �1 −
∆𝐸𝐸
𝐸𝐸
�
𝑛𝑛
= 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ (1 − 0.035)𝑛𝑛
𝐸𝐸𝑜𝑜
2
= 𝐸𝐸𝑜𝑜 ∗ (1 − 0.035)𝑛𝑛
;
1
2
= (0.965)𝑛𝑛
;𝑛𝑛 =
𝑙𝑙𝑙𝑙0.5
𝑙𝑙𝑙𝑙0.965
= 19,5 ~20
b) 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
= 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
0.035
= 180
c)
∆𝜔𝜔
𝜔𝜔𝑜𝑜
=
1
𝑄𝑄
; ∆𝜔𝜔 =
𝜔𝜔𝑜𝑜
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓𝑜𝑜
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋∗100
180
= 3,49 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
91. Imaginemos a Tarzán columpiándose en la selva colgando de una liana con un período de 3
s. Su famoso chimpancé Chita le impulsa de modo que su amplitud permanece constante.
La masa de Tarzán es 90 kg y su velocidad en el extremo de la liana es 2.0 m/s.
a) ¿Cuál es la energía total de Tarzán?
b) Si Q=20, ¿Cuánta energía se disipa en cada oscilación?
c) ¿Cuál es la potencia suministrada por Chita? (Nota: el impulso que se da a un columpio
no suele ser sinusoidal. Sin embargo, para mantener una amplitud estacionaria, la
energía perdida en cada ciclo debida al amortiguamiento, debe reemplazarse por una
fuente de energía externa).
a) 𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
=
1
2
∗ 90 ∗ 4 = 180 𝐽𝐽
b) 𝑄𝑄 =
2∗𝜋𝜋
�
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
; �
|∆𝐸𝐸|
𝐸𝐸
�
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
=
2∗𝜋𝜋
𝑄𝑄
=
2∗𝜋𝜋
20
= 0,31114; ∆𝐸𝐸 = 56,5 𝐽𝐽
c) 𝑃𝑃 =
∆𝐸𝐸
𝑇𝑇
=
56.5
3
= 18,8 𝑊𝑊

31. Colisiones
92. Un muchacho apoya lateralmente su caja de sorpresas sobre una mesa, con la tapa
abierta, de modo que una cara de payaso de 0,4 kg sobresale de la caja horizontalmente
en el extremo de un muelle. El muchacho dispara una bolita de masilla con su tirachinas a
la cabeza del payaso. La bolita se adhiere a la cabeza y el payaso comienza a oscilar con
una amplitud de 16 cm y una frecuencia de 0,38 Hz. Suponiendo que la caja permanece
inmóvil, determinar
a) La velocidad de la masilla antes de la colisión.
b) La constante del muelle.
a) Suponemos m la masa de la masilla y M =0,4 kg la masa de la cara. En el movimiento
del sistema suponemos que se conserva la energía, v es la velocidad máxima.
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 𝑣𝑣2
𝑣𝑣2
=
𝑘𝑘∗𝐴𝐴2
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)
=
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗4∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2∗𝐴𝐴2
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)
; 𝑣𝑣 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 ∗ 𝐴𝐴
En la colisión, inelástica, se conserva la cantidad de movimiento, sea V la velocidad
inicial de la masilla:
𝑚𝑚 ∗ 𝑉𝑉 = (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 𝑣𝑣
𝑉𝑉 =
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗𝑣𝑣
𝑚𝑚
=
(𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓∗𝐴𝐴
𝑚𝑚
=
(0.4+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓∗𝐴𝐴
𝑚𝑚
𝑉𝑉 =
(0.4+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗0.38∗0.16
𝑚𝑚
= 0.382 ∗
0.4+𝑚𝑚
𝑚𝑚
b) 𝑘𝑘 = (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 𝜔𝜔2
= (𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
𝑘𝑘 = (0.4 + 𝑚𝑚) ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 0.382
= 5.7 ∗ (0.4 + 𝑚𝑚)𝑁𝑁/𝑚𝑚
93. La figura muestra un sistema vibrante masa-muelle soportado por una superficie sin
rozamiento y una segunda masa igual que se mueve hacia la masa vibrante con velocidad
v. El movimiento de la masa vibrante viene dado por
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (0.1 𝑚𝑚)cos (40 𝑠𝑠−1
𝑡𝑡)
En donde x es el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio. Las dos masas
chocan elásticamente justo cuando la masa vibrante pasa por su posición de equilibrio y se
mueve hacia la derecha.
a) ¿Cuál debe ser la velocidad v de la segunda masa para que el sistema masa-muelle
quede en reposo después de la colisión elástica?
b) ¿Cuál es la velocidad de la segunda masa después de la colisión elástica?
a) Por ser colisión elástica se conservan la cantidad de movimiento y la energía:
𝑣𝑣1𝑖𝑖 + 𝑣𝑣2𝑖𝑖 = 𝑣𝑣2𝑓𝑓
Por conservación energía:
𝑣𝑣1𝑖𝑖
2
+ 𝑣𝑣2𝑖𝑖
2
= 𝑣𝑣2𝑓𝑓
2
𝑣𝑣2𝑖𝑖
2
= 𝑣𝑣2𝑓𝑓
2
− 𝑣𝑣1𝑖𝑖
2
= �𝑣𝑣2𝑓𝑓 − 𝑣𝑣1𝑖𝑖� ∗ (𝑣𝑣2𝑓𝑓 + 𝑣𝑣1𝑖𝑖)
Usando la primera ecuación en ésta:
𝑣𝑣2𝑖𝑖
2
= (𝑣𝑣1𝑖𝑖 + 𝑣𝑣2𝑖𝑖 − 𝑣𝑣1𝑖𝑖) ∗ (𝑣𝑣1𝑖𝑖 + 𝑣𝑣2𝑖𝑖 + 𝑣𝑣1𝑖𝑖)
𝑣𝑣2𝑖𝑖
2
= 𝑣𝑣2𝑖𝑖 ∗ (2 ∗ 𝑣𝑣1𝑖𝑖 + 𝑣𝑣2𝑖𝑖) = 2 ∗ 𝑣𝑣1𝑖𝑖 ∗ 𝑣𝑣2𝑖𝑖 + 𝑣𝑣2𝑖𝑖
2
Por tanto:
2 ∗ 𝑣𝑣1𝑖𝑖 ∗ 𝑣𝑣2𝑖𝑖 = 0 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑣𝑣1𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑á 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑣𝑣2𝑖𝑖.

32. 𝑣𝑣2𝑖𝑖 = 0
b) Al tratarse de una colisión elástica entre dos masas iguales la masa libre deberá salir con
una velocidad igual a la que llevaba la masa atada al muelle.
La masa atada al muelle tiene su velocidad máxima:
𝑣𝑣 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0.1 ∗ 40 = 4 𝑚𝑚/𝑠𝑠
94. Después de la colisión elástica del problema 93, la energía de la masa de retroceso es 8.0 J.
Determinar el valor de las masas m y la constante del muelle.
𝐸𝐸 =
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2
; 𝑚𝑚 =
2∗𝐸𝐸
𝑣𝑣2 =
2∗8
16
= 1 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
= 1 ∗ 402
= 1600 𝑁𝑁/𝑚𝑚
95. Un objeto de 2 kg de masa apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento se une
a un muelle de constante 600 N/m. Otro objeto de 1 kg de masa desliza sobre la superficie
acercándose al primero a 6 m/s.
a) Hallar la amplitud de oscilación si el segundo objeto choca de forma inelástica perfecta
quedando unido también al muelle. ¿Cuál es el período de oscilación?
b) Hallar la amplitud y el período de oscilación si el choque fuese elástico
c) Para cada tipo de colisión, escribir una expresión para la posición en función del
tiempo t para el objeto unido al muelle, suponiendo que el choque se produce Enel
instante t=0.
a) En el choque tendremos conservación cantidad de movimiento:
𝑚𝑚1 ∗ 𝑣𝑣1 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑣𝑣2 = (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2) ∗ 𝑣𝑣
𝑣𝑣 =
𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2
(𝑚𝑚1+𝑚𝑚2)
=
2∗0+1∗(−6)
3
= −2 𝑚𝑚/𝑠𝑠
Una vez producido el choque los dos cuerpos unidos inician la oscilación, siendo la
velocidad anterior la máxima de la oscilación.
Por conservación de la energía en la oscilación:
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2
; 𝐴𝐴 = �
𝑚𝑚∗𝑣𝑣2
𝑘𝑘
= �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
∗ 𝑣𝑣 = �
3
600
∗ 2 = 0.141 𝑚𝑚
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ; 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
3
600
= 0,444 𝑠𝑠
b) 𝑚𝑚1 ∗ 𝑣𝑣1 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑣𝑣2 = 𝑚𝑚1 ∗ 𝑣𝑣1
′
+ 𝑚𝑚2 ∗ 𝑣𝑣2
′
La conservación de la energía es equivalente a:
𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣1
′
= 𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2
′
Despejamos 𝑣𝑣1
′
de la segunda ecuación y lo substituimos en la primera:
𝑣𝑣1
′
= 𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2
′
− 𝑣𝑣1
𝑚𝑚1 ∗ 𝑣𝑣1 + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑣𝑣2 = 𝑚𝑚1 ∗ (𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2
′
− 𝑣𝑣1) + 𝑚𝑚2 ∗ 𝑣𝑣2
′
Despejamos 𝑣𝑣2
′
y 𝑣𝑣1
′
:
𝑣𝑣2
′
=
2∗𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2−𝑚𝑚1∗𝑣𝑣2
𝑚𝑚1+𝑚𝑚2
𝑣𝑣1
′
= 𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1 +
2∗𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2−𝑚𝑚1∗𝑣𝑣2
𝑚𝑚1+𝑚𝑚2
Usando los valores:
𝑚𝑚1 = 2 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑣𝑣1 = 0; 𝑚𝑚2 = 1𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 𝑣𝑣2 = −6𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑣𝑣2
′
=
2∗2∗0+1∗(−6)−2∗(−6)
3
= 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑣𝑣1
′
= −6 − 0 +
2∗2∗0+1∗(−6)−2∗(−6)
3
= −4 𝑚𝑚/𝑠𝑠
El objeto ligado al muelle sale con una velocidad de 4 m/s.
Por conservación de la energía en el movimiento del cuerpo ligado al muelle:
1
2
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2
=
1
2
∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2
; 𝐴𝐴 = �
𝑚𝑚∗𝑣𝑣2
𝑘𝑘
= �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
∗ 𝑣𝑣 = �
2
600
∗ 4 = 0.231 𝑚𝑚

33. 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗
4∗𝜋𝜋2
𝑇𝑇2 ; 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
2
600
= 0,363 𝑠𝑠
c) 𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤 ∗ 𝑡𝑡)
En el caso inelástico:
A=0,141 m; 𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2∗𝜋𝜋
0.444
= 14.15 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 0,141 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(14,15 ∗ 𝑡𝑡)
En el caso elástico, las condiciones iniciales son las mismas:
A=0,231 m; 𝜔𝜔 =
2∗𝜋𝜋
𝑇𝑇
=
2∗𝜋𝜋
0.363
= 17.31𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 0,231 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(17.31 ∗ 𝑡𝑡)
Problemas generales
96. El efecto de la masa de un muelle sobre el movimiento de un objeto atado a él suele
despreciarse. Describir cualitativamente su efecto cuando se tiene en cuenta.
En el caso ideal de masa cero para el muelle:
𝑓𝑓 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
Si el muelle tiene masa, tendremos una masa efectiva del sistema en oscilación:
𝑓𝑓′
=
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑓𝑓′
= �
𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒
∗ 𝑓𝑓
La frecuencia se reduce.
97. Una lámpara que cuelga del techo de un vagón-club de un tren oscila con un período To
cuando el tren está en reposo. El período será (emparejar las columnas derecha e
izquierda)
1 Mayor que To cuando A El tren se mueve horizontalmente con velocidad
constante
2 Menor que To cuando B El tren se mueve por una curva de radio R con
velocidad v
3 Igual a To cuando C El tren asciende por una colina de inclinación ϴ a
velocidad constante
D El tren pasa por una colina de radio de curvatura R
con velocidad constante
El periodo de la lámpara varía inversamente con la raíz cuadrada del valor efectivo del
campo gravitacional local.
1. Mayor que To cuando B. El tren se mueve por una curva de radio R con velocidad v.
2. Menor que To cuando D. El tren pasa por una colina de radio de curvatura R con
velocidad constante.
3. Igual a To cuando A. El tren se mueve horizontalmente con velocidad constante.
C. El tren asciende por una colina de inclinación ϴ a velocidad
constante.
98.Dos sistemas masa-muelle oscilan con frecuencia fA y fB. Si fA=2fB y las constantes de los
dos muelles son iguales, las masas de ambos sistemas cumplen la relación:

34. a) MA=4 MB.
b) MA=MB/√2.
c) MA=MB/2.
d) MA=MB/4.
𝑓𝑓 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑓𝑓
𝐴𝐴 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑀𝑀𝐴𝐴
= 2 ∗ 𝑓𝑓𝐵𝐵 = 2 ∗
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑀𝑀𝐵𝐵
; 𝑀𝑀𝐴𝐴 =
𝑀𝑀𝐵𝐵
4
; respuesta d.
99. Dos sistemas masa-muelle A y B oscilan de modo que sus energías son iguales. Si MA=2 MB,
¿Cuál de las siguientes fórmulas relaciona las amplitudes de oscilación?
a) AA=AB/4.
b) AA=AB/√2.
c) AA=AB.
d) No hay suficiente información para determinar la relación de amplitudes.
1
2
∗ 𝑘𝑘𝐴𝐴 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
=
1
2
∗ 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
2
𝑀𝑀𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔𝐴𝐴
2
∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
= 𝑀𝑀𝐵𝐵 ∗ 𝜔𝜔𝐵𝐵
2
∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
2
; 2 ∗ 𝜔𝜔𝐴𝐴
2
∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
= 𝜔𝜔𝐵𝐵
2
∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
2
𝐴𝐴𝐴𝐴 =
1
√2
𝜔𝜔𝐵𝐵
𝜔𝜔𝐴𝐴
∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
Respuesta d.
100. Dos sistemas masa-muelle A y B oscilan de modo que sus energías son iguales. Si
kA=2kB, ¿Cuál de las siguientes fórmulas relaciona las amplitudes de oscilación?
a) AA=AB/4.
b) AA=AB/√2.
c) AA=AB.
d) No hay suficiente información para determinar la relación de amplitudes.
1
2
∗ 𝑘𝑘𝐴𝐴 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
=
1
2
∗ 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
2
2 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
= 𝐴𝐴𝐵𝐵
2
; 𝐴𝐴𝐴𝐴 =
1
√2
∗ 𝐴𝐴𝐵𝐵
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑏𝑏.
101. El péndulo A tiene una lenteja de masa MA y longitud LA; el péndulo B tiene una lenteja
de masa MB y longitud LB. Si el período de A es doble al de B, será:
a) LA=2LB y MA=2MB.
b) LA=4LB y MA=MB.
c) LA=4LB cualquiera que sea la relación MA/MB .
d) LA=√2LB cualquiera que sea la relación MA/MB.
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐿𝐿𝐴𝐴
𝑔𝑔
𝑇𝑇𝐵𝐵 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐿𝐿𝐵𝐵
𝑔𝑔
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 2 ∗ 𝑇𝑇𝐵𝐵
𝐿𝐿𝐴𝐴 = 4 ∗ 𝐿𝐿𝐵𝐵
Respuesta c.

35. 102. Una partícula posee un desplazamiento dado por x=0,4cos(3t+π/4) en donde x viene
en metros y t en segundos.
a) Hallar la frecuencia f y el período T del movimiento.
b) ¿En dónde está la partícula en t=0?
c) ¿Y en t=0,5 s?
a) 𝜔𝜔 = 3
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑠𝑠
; 𝑓𝑓 =
𝜔𝜔
2∗𝜋𝜋
= 0,478 𝐻𝐻𝐻𝐻 ;𝑇𝑇 =
1
𝑓𝑓
= 2,094 𝑠𝑠
b) 𝑥𝑥(0) = 0,4 ∗ cos �
𝜋𝜋
4
� = 0,283 𝑚𝑚
c) 𝑥𝑥(0,5) = 0,4 ∗ cos �3 ∗ 0,5 +
𝜋𝜋
4
� = −0,262 𝑚𝑚
103. a) Hallar una expresión para la velocidad de la partícula cuya posición viene dada en el
problema 102.
b) ¿Cuál es la velocidad en el instante t=0?
c) ¿Cuál es la velocidad máxima?
d) ¿En qué momento después de t=0 se presenta esta velocidad máxima?
a) 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −0,4 ∗ 3 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �3 ∗ 𝑡𝑡 +
𝜋𝜋
4
�
b) 𝑣𝑣(0) = −0,4 ∗ 3 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
𝜋𝜋
4
� = −0,849 𝑚𝑚/𝑠𝑠
c) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,4 ∗ 3 = 1,2 𝑚𝑚/𝑠𝑠
d) 1 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �3 ∗ 𝑡𝑡 +
𝜋𝜋
4
� ; 3 ∗ 𝑡𝑡 +
𝜋𝜋
4
= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(−1); 3 ∗ 𝑡𝑡 +
𝜋𝜋
4
= −
𝜋𝜋
2
; 3 ∗ 𝑡𝑡 = −
3∗𝜋𝜋
4
𝑡𝑡 = −
𝜋𝜋
4
= −0.785
Como la situación se repite cada T/2 s, el primer valor positivo de t será:
𝑡𝑡 = −0,785 +
2,094
2
= 0,262 𝑠𝑠
104. Un cuerpo unido a un muelle horizontal oscila con un período de 4 s. Si el cuerpo se
suspende verticalmente del muelle, ¿en cuánto se alarga el muelle respecto a su longitud
natural cuando el cuerpo está en equilibrio?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
; 𝑇𝑇2
= 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗
𝑚𝑚
𝑘𝑘
;𝑘𝑘 = 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗
𝑚𝑚
𝑇𝑇2
Al colgarlo verticalmente:
𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ; ∆𝑦𝑦 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑘𝑘
=
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
4∗𝜋𝜋2∗
𝑚𝑚
𝑇𝑇2
=
𝑔𝑔∗𝑇𝑇2
4∗𝜋𝜋2 =
9.81∗42
4∗𝜋𝜋2 = 3,96 𝑚𝑚
105. Una partícula pequeña de masa m se desliza sin rozamiento en un cuenco esférico de
radio r.
a) Demostrar que el movimiento de la masa es el mismo que si estuviese sujeta a un
muelle de longitud r.
b) Se desplaza una masa m1, una pequeña distancia s1 de la parte inferior del cuerpo
(figura) siendo s1 mucho menor que r. Otra segunda masa m2 se desplaza en sentido
opuesto a una distancia s2=3 s1 (s2 es también mucho menor que r). Si las masas se
dejan libres en el mismo instante, ¿en dónde se encontrarán? Explicarlo.

36. a) La partícula está sujeta a la fuerza normal y su peso.
Se puede observar que las fuerzas son análogas al caso del péndulo simple.
−𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑚𝑚 ∗
𝑑𝑑2𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑡𝑡2
Como s=R*ϴ
𝑑𝑑2𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑡𝑡2 = 𝑅𝑅 ∗
𝑑𝑑2𝜃𝜃
𝑑𝑑𝑡𝑡2
Obtenemos, considerando ángulos pequeños (senϴ ~ϴ):
𝑑𝑑2𝜃𝜃
𝑑𝑑𝑡𝑡2 ~ −
𝑔𝑔
𝑅𝑅
∗ 𝜃𝜃
Igual que el caso de cuerpo ligado a un muelle, donde k=-g/R.
b) En el movimiento armónico simple el período es independiente de la masa y de la
amplitud:
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑅𝑅
𝑔𝑔
Las dos partículas tienen el mismo periodo, llegan al punto inferior al mismo tiempo.
Coinciden en el punto inferior.
106. Cuando un avión disminuye su velocidad a fin de aterrizar, un viajero mide su
aceleración suspendiendo un yo-yo como un péndulo simple y observando que cuando la
lenteja (masa 40 kg) está en reposo respecto a él, la cuerda (longitud 70 cm) forma un
ángulo de 22º con la vertical. Determinar el período T para pequeñas oscilaciones de éste
péndulo.
El período del yo-yo viene dado por:
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐿𝐿
𝑔𝑔′
Por el diagrama:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔′
∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝑔𝑔′
=
𝑔𝑔
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝐿𝐿∗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃
𝑔𝑔
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
0.7∗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐22
9,81
= 1,62 𝑠𝑠

37. 107. Dos bloques idénticos situados uno sobre el otro descansan sobre una superficie
horizontal sin rozamiento. El bloque inferior está unido a un muelle de constante k=600
N/m. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, el sistema oscila con
una frecuencia de 1,8 Hz. Cuando la amplitud de oscilación excede 5 cm, el bloque superior
comienza a deslizarse respecto al inferior.
a) ¿Cuáles son las masas de los dos bloques?
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre los dos bloques?
a)
Consideramos que los dos bloques se mueven juntos, todas las fuerzas horizontales a
considerar son internas excepto la fuerza elástica. Podemos considerar un único
cuerpo de masa 2 m que se mueve bajo la acción de la fuerza elástica:
−𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = −2 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
∗ 𝑥𝑥 ;𝑚𝑚 =
𝑘𝑘
2∗𝜔𝜔2 =
𝑘𝑘
8∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2 =
600
8∗𝜋𝜋2∗1,82 = 2,35 𝑘𝑘𝑘𝑘
b) En el cuerpo superior tenemos:
𝜇𝜇 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑎𝑎
Cuando A=5 cm :
𝑎𝑎 = 𝜔𝜔2
∗ 𝐴𝐴
𝜇𝜇 =
𝜔𝜔2∗𝐴𝐴
𝑔𝑔
=
2∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2
𝑔𝑔
=
2∗𝜋𝜋2∗1,82
9,81
= 0,65
108. Dos átomos están ligados entre sí en una molécula. La energía potencial U que resulta
de su interacción se muestra en la figura. La variable r es la distancia entre los centros
atómicos y Eo es la energía más baja (estado fundamental).
a) Como resultado de una colisión, la molécula adquiere una energía cinética de vibración
cuyo valor máximo es 1,0 ev. Con esta energía cinética, ¿en qué intervalo de
separación vibrará la molécula?
b) Determinar un valor aproximado para la fuerza f(r) entre los dos átomos cuando su
separación es r=0,4 nm. Expresar la respuesta en las unidades utilizadas en el gráfico
de la figura.
c) Calcular la fuerza obtenida en (b) en Newtons. ¿Es atractiva o repulsiva esta fuerza?

38. a) Si la molécula se encuentra en su estado fundamental tendrá una energía
potencial Eo, la tomamos aproximadamente como -4 eV. Su energía cinética es 1,0
eV.
𝑈𝑈 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 + 𝐸𝐸𝑜𝑜 = 1 − 4 = −3 𝑒𝑒𝑒𝑒
Con esto, miramos el gráfico los valores correspondientes de r para U=-3 eV.
Aproximadamente serán 0,275 nm y 0,325 nm.
b) Como se aprecia en la gráfica de forma aproximada:
En el mínimo de U el radio es aproximadamente 0,3 nm.
Si consideramos la curva como aproximadamente una parábola:
𝑈𝑈(𝑟𝑟) = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ∗ (𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝑜𝑜)2
Si tomamos el mínimo:
𝑟𝑟(0,3) , 𝑈𝑈(0,3)~ − 4 , 𝐴𝐴 = −4 𝑒𝑒𝑒𝑒
Para el punto r=0,275 tenemos aproximadamente:
𝑟𝑟(0,275), 𝑈𝑈(0,275)~ − 3 𝑒𝑒𝑒𝑒
−3 = −4 + 𝐵𝐵 ∗ (0,275 − 0,3) 2
; 𝐵𝐵 =
1
0,0252 = 1600 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑛𝑛𝑛𝑛2
Para la fuerza tenemos la expresión:
𝐹𝐹 = −
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= −2 ∗ 𝐵𝐵 ∗ (𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝑜𝑜) = −2 ∗ 1600 ∗ (0,4 − 0,3) = 320
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑛𝑛
c) 320
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑛𝑛
∗
1,6∗10−19𝐽𝐽
1 𝑒𝑒𝑒𝑒
∗
1 𝑛𝑛𝑛𝑛
10−9𝑚𝑚
= 5,12 ∗ 10−8
𝑁𝑁

39. 109. Un cubo de madera de arista a y masa m flota en agua con una de sus caras paralelas a
la superficie del agua. La densidad del agua es ρ. Determinar el período de oscilación en la
dirección vertical cuando se empuja ligeramente hacia abajo.
Con el bloque en equilibrio:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝜌𝜌 ∗ 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∗ 𝑔𝑔 = 𝜌𝜌 ∗ (𝑎𝑎2
∗ 𝑦𝑦𝑜𝑜) ∗ 𝑔𝑔
Con el bloque sumergido después del empujón inicial, se habrá sumergido una cantidad
mayor que la inicial:
𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝜌𝜌 ∗ 𝑎𝑎2
∗ (𝑦𝑦𝑜𝑜 + 𝑦𝑦) ∗ 𝑔𝑔 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔
Utilizando la expresión de mg obtenida para el equilibrio:
𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝜌𝜌 ∗ 𝑎𝑎2
∗ (𝑦𝑦𝑜𝑜 + 𝑦𝑦) ∗ 𝑔𝑔 − 𝜌𝜌 ∗ (𝑎𝑎2
∗ 𝑦𝑦𝑜𝑜) ∗ 𝑔𝑔 = 𝜌𝜌 ∗ 𝑎𝑎2
∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑦𝑦
La fuerza resultante es proporcional a y de signo contrario, podemos poner teniendo en
cuenta esto:
𝐹𝐹𝑟𝑟 = −𝜌𝜌 ∗ 𝑎𝑎2
∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑦𝑦
Es una fuerza de tipo armónico simple donde k= 𝜌𝜌 ∗ 𝑎𝑎2
∗ 𝑔𝑔
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �
𝑚𝑚
𝜌𝜌∗𝑎𝑎2∗𝑔𝑔
=
2∗𝜋𝜋
𝑎𝑎
∗ �
𝑚𝑚
𝜌𝜌∗𝑔𝑔
110. Una araña de masa 0,36 g se encuentra en reposo en el centro de su red horizontal, la
cual se pandea 3,00 mm bajo su peso. Estimar la frecuencia de la vibración vertical de este
sistema.
𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔; 𝑘𝑘 =
𝑚𝑚∗𝑔𝑔
𝑥𝑥
=
0,36∗10−3∗9,81
0,003
= 1,18 𝑁𝑁/𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ∗ 𝜔𝜔2
= 𝑚𝑚 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2
∗ 𝑓𝑓2
; 𝑓𝑓 =
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
𝑘𝑘
𝑚𝑚
=
1
2∗𝜋𝜋
∗ �
1,18
0,36∗10−3 = 9,12 𝐻𝐻𝐻𝐻
111. Un reloj de péndulo funciona correctamente en la superficie de la Tierra. ¿En qué caso
el error será mayor: el reloj se baja a una mina de profundidad h o se eleva a una altura h?
Suponer h≪RT.
Dentro de la Tierra:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔1 = 𝐺𝐺 ∗
𝑀𝑀′∗𝑚𝑚
(𝑅𝑅𝑇𝑇−ℎ)2 ; donde M’ es la masa “interior” a la esfera de radio (R-h)
Fuera de la Tierra:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔2 = 𝐺𝐺 ∗
𝑀𝑀∗𝑚𝑚
(𝑅𝑅𝑇𝑇+ℎ)2
En la superficie de la Tierra:
𝑚𝑚 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐺𝐺 ∗
𝑀𝑀∗𝑚𝑚
𝑅𝑅𝑇𝑇
2
La masa en el interior de la esfera es: