cuerpos compuestos y teorema de pappus

1. Integrantes :
Benito Mamani Mamani
Rafael z. Caxi Lupaca
Edwin a. MamaniCaceres

2. DEFINICION:
 Consiste en una serie de cuerpos ( mas
simples) conectados entre si , los cuales pueden
ser rectangulares ,triangulares , semicírculos etc.
 Un cuerpo de este tipo a menudo puede ser
seccionado o dividido en sus partes componentes
y si se conocen el peso y la ubicación de cada una
de esas partes es posible eliminar la necesidad de
la integración para determinar el centro de
gravedad de todo el cuerpo .

3. PARA UN NUMERO FINITO
DE PESOS TENEMOS

4. PROCEDIMIENTO PARA EL
ANÁLISIS:
 Ubicación del centro de gravedad de un cuerpo:
Partes compuestas.
 Mediante un croquis divida el cuerpo en un numero finito de
partes componentes que tengan formas mas simples.
 Si una parte componente tiene un agujero o una región
geométrica que no tenga material , entonces considérala sin el
agujero y a este como parte componente adicional con peso o
tamaño negativos.
Brazos de momento.
 Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine
las coordenadas x , y ,z del centro de gravedad o centroide de
cada parte.

5. Sumatorias.
Determine x , y , z por la aplicaciones de las
ecuaciones de centro de gravedad si un
objeto es simétrico con respecto a un eje ,
su centroide se encuentra sobre este eje .

9. EJERCICIO APLICATIVO

10.  Se usan para encontrar el área
superficial y volumen de cualquier
cuerpo en revolución. Fueron
desarrollados por pappus de
Alejandría durante el siglo IV a.C.
 Reformulados por el suizo Paul Guldin
o guldinus (1577-1643).

11. PRIMER TEOREMA DE PAPPUS.
 AREA SUPERFICIAL
Por lo tanto se establece que el área de una superficie de revolución es
igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia
viajada por el centroide de la curva al generar el área Superficial.
A
B
L
𝑨 = 𝟐𝝅 𝒓𝐋
360°
L L
𝑟
Si la curva gira solo un Angulo de 𝜃
(radianes) , entonces
Donde
A= área superficial de revolución
𝜃= Angulo de revolución , 𝜃 ≤ 2Π
𝑟= Distancia perpendicular desde el eje de
revolución hasta el centroide de
la curva generatriz
L= Longitud de la curva generatriz
𝐴 = 𝜃 𝑟𝐿

12. SEGUNDA TEOREMA DE PAPPUS.
 VOLUMEN
 Por lo tanto, se establece que el volumen de un cuerpo de
revolución es igual al producto del área generatriz la distancia
viajada por el centroide del área al generar el volumen
A
.G
𝑟
360°
V= 𝟐𝝅 𝒓𝑨
Si el área solo se gira a través de un Angulo
de 𝜃 (radianes) , entonces
Donde
V= volumen de revolución o giro
𝜃= Angulo de revolución , 𝜃 ≤ 2Π
𝑟= Distancia perpendicular desde el eje de
revolución hasta el centroide de
la curva generatriz
A= área generatriz
V= 𝜃 𝑟𝐴

13. EJEMPLO:
 Demuetre que el área superficial de una esfera es 𝐴 = 4𝜋𝑅2
y su volumen
es 𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
.
Area Superficial
Como el centroide se mueve atreves de un Angulo de 𝜃=2𝜋 rad para generar
al esfera.
𝐴 = 𝜃 𝑟𝐿 ; 𝐴 = 2𝜋
2𝑅
𝜋
π𝑅 = 4𝜋𝑅2
Volumen superficial
centroide del área , 𝑟 =
4𝑅
3𝜋
; 𝑉 = 𝜃 𝑟𝐴 : 𝑉 = 2𝜋
4𝑅
3𝜋
1
2
𝜋𝑅2
=
4
3
𝜋𝑅3
R
Y Y
XX
R
C C𝟐𝑹
𝝅
. . 𝟒𝑹
𝟑𝝅
Centroide de curvas planas