las matrices, elementos y tipos

1. Matriz
Elementode una matriz
Cada unode losnúmerosde que constala matrizse denominaelemento.Unelementose distingue de otroporla
posiciónque ocupa,esdecir,lafilay lacolumnaa la que pertenece.
Tipos de matrices
Matriz fila: Una matrizfilaestáconstituidaporuna solafila.
Matriz columna: La matrizcolumnatiene unasolacolumna
Matriz nula: En una matriznulatodos loselementossonceros.
Matriz cuadrada: La matrizcuadrada tiene el mismonúmerode filasque de columnas.Los elementosde laforma
ai i constituyenladiagonal principal.Ladiagonal secundarialaformanloselementoscon i+j= n+1, siendonel

2. ordende la matriz. Las matricescuadradasson lasmás utilizadasenálgebra. Todamatrizcuadradase puede
descomponerenlasumade una matrizsimétricayuna matrizantisimétrica.Si Ay B son matricesdel mismo
orden,entoncesse puedensumarentre sí.Losproductosde matricessonválidosenambossentidos, ABy BA.
Además,surgenlosconceptosde determinanteytrazasoloaplicablesamatricescuadradas.Una matriz cuadrada
A de orden nes singularsi sudeterminante esnulo.Ental casose dice que dichamatrizno tiene inversa.
Tipos de matrices cuadradas:
Matriz triangular: En álgebralineal,unamatriztriangularesuntipoespecial de matrizcuadradacuyoselementos
por encimao pordebajode su diagonal principal soncero.Debidoaque lossistemasde ecuacioneslinealescon
matricestriangularessonmuchomásfácilesde resolver,lasmatricestriangularessonutilizadasenanálisis
numéricopararesolversistemasde ecuacioneslineales,calcularinversasydeterminantesde matrices.El método
de descomposición LUpermitedescomponercualquiermatrizinvertible comoproductode unamatriztriangular
inferiorLy una superiorU.
Propiedadesde las matrices triangulares
 Una matriz triangularsuperiore inferiorsiempre diagonalizaenunabase de vectorespropios (matriz
diagonal).
 El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
 La transpuestade unamatriztriangularsuperioresunamatriztriangularinferioryviceversa.
 El determinantede unamatriztriangularesel productode loselementosde ladiagonal.
 Una matriz triangularesinvertible si ysolosi todosloselementosde ladiagonal sonnonulos.Eneste
caso, lainversade una matriztriangularsuperior(inferior) esotramatrizsuperior(inferior).
 Los valorespropiosde unamatriztriangularsonloselementosde ladiagonal principal.
Matriz triangular superior: En una matriztriangularsuperiorloselementossituadospordebajode ladiagonal
principal sonceros.
Matriz triangular inferior:En una matriztriangularinferiorloselementossituadospor encimade ladiagonal
principal sonceros.
Matriz diagonal: En una matrizdiagonal todosloselementosque noestánsituadosenladiagonal principal son
nulos. Todamatrizdiagonal estambiénunamatrizsimétrica,triangular(superiore inferior) y(si lasentradas

3. provienendel cuerpo RoC) normal.Otroejemplode matrizdiagonal eslamatrizidentidad. Lasoperacionesde
suma yproducto de matricessonespecialmentesencillasparamatricesdiagonales. Lasmatricesdiagonales
tienenlugarenmuchasáreasdel álgebralineal.Debidoalasencillezde lasoperacionesconmatricesdiagonalesy
el cálculode su determinanteyde susvaloresyvectorespropios,siempreesdeseablerepresentarunamatriz
dada o transformaciónlinealcomounamatrizdiagonal.
De hecho,unamatrizdada de n×n essimilarauna matrizdiagonal si y sólosi tiene nautovectoreslinealmente
independientes.Talesmatricesse dicendiagonalizables. Enel cuerpode losnúmerosrealesocomplejosexisten
más propiedades:todamatriznormal essimilarauna matrizdiagonal (véase teoremaespectral) ytodamatrizes
equivalente aunamatrizdiagonal conentradasno negativas.
Matriz escalar: Una matrizescalaresuna matrizdiagonal enla que loselementosde ladiagonal principalson
iguales.
Matriz simétrica: Una matrizsimétricaesunamatriz cuadrada que verifica:A= At. Esta tiene lacaracterística de
serigual a su traspuesta. Uno de losteoremasbásicosque concierne este tipode matricesesel teoremaespectral
de dimensiónfinita,que dice que todamatrizsimétricacuyoselementosseanrealesesdiagonalizable.En
particular,essemejante aunamatrizortogonal. Comolasmatricessimétricassonuncaso particularde las
matriceshermíticas,todossusautovaloressonreales.

4. Con base enlaspropiedadesde los autovalores de unamatrizsimétrica,se puedenclasificarenlossiguientestipos:
 definidapositiva: si ysolosi todos sus autovalores sonestrictamente positivos.
 definidanegativa: si ysolosi todossus autovalores sonestrictamentenegativos.
 semidefinidapositiva: si ysolosi todossus autovalores sonmayoresoigualesacero.
 semidefinidanegativa: si ysolosi todossus autovalores sonmenoresoigualesacero.
 indefinida:si ysolosi tiene dos autovalores condistintosigno.
Matriz traspuesta: Dada una matrizA, se llamamatriztraspuestade A a la matrizque se obtiene cambiando
ordenadamente lasfilasporlascolumnas. La transpuesta AT
de una matriz A puede ser obtenida reflejando los
elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz transpuesta devuelve los elementos a su posición
original. Así, la transpuesta de una transpuesta es la matriz original, (AT
)T
= A.
(At
)t
= A
(A + B)t
= At
+ Bt
(α ·A)t
= α· At
(A · B)t
= Bt
· At
Propiedades de la suma de matrices
Interna: La suma de dos matricesde ordenm x n es otra matrizdimensiónmx n.
Asociativa: A + (B + C) = (A+ B) + C
Elementoneutro:A + 0 = A
Donde O esla matriznulade lamismadimensiónque lamatriz A.
Elementoopuesto:A + (−A) = O
La matrizopuestaesaquellaenque todosloselementosestáncambiadosde signo.
Conmutativa: A + B = B + A
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica

5. http://www.ditutor.com/matrices/matriz.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta
http://www.ditutor.com/matrices/matriz_traspuesta.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangular