El documento describe los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss consiste en transformar el sistema en uno equivalente escalonado mediante operaciones de eliminación. El método de Gauss-Jordan lleva esto un paso más allá para obtener la forma de matriz identidad. Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel son iterativos y comienzan con una aproximación inicial que se va mejorando hasta alcanzar la solución.

1. ERICK ANDRES GUEVARA
METODO DE ELIMINACION DE
GAUSS JORDAN
INTEGRANTES:
ERICK GUEVARA DAVALOS
SARA GARCIA ALAVA
ALEXISGALEAS
HELEN GUEVARA
JIMBO ELIAS

2. GAUSS
El mé t odo de Gaus s cons iste e n t rans formar un
s i s tema de e cuaci one s e n ot ro e qui valente de forma
que é s t e s e a e s calonado.
O bt e nemos s i stemas e quivalentes por e l i minación
de e cuaci ones de pe ndientes. Si :
Todos l os coe ficientes s on ce ros .
Dos fi l as s on i guales.
Una fi l a e s proporci onal a ot ra.
Una fi l a e s combi nación l i neal de ot ras .
Cri t e ri os de e qui valencia de s i s temas de e cuaci ones
1º Si a ambos mi e mbros de una e cuaci ón de un
s i s tema s e l e s s uma o s e l e s re s t a una mi s ma
e xpre s ión, e l s i stema re s ultante e s e qui valente.
2º Si mul t i plicamos o di vi dimos ambos mi e mbros
de l as e cuaciones de un s i s tema por un núme ro
di s tinto de ce ro , e l s i s tema re s ultante e s e qui valente.

3. 3º Si s umamos o re s t amos a una e cuaci ón de un
s i s tema ot ra e cuaci ón de l mi s mo s i ste ma, e l s i s tema
re s ul tante e s e qui vale nte al dado.
4º Si n e n un s i ste ma s e s us tituye una e cuaci ón
por ot ra que re s ul te de s umar l as dos e cuaci ones de l
s i s tema pre vi amente mul t iplicadas o di vi didas por
núme ros no nul os , re s ulta ot ro s i stema e qui vale nte al
pri me ro.
5º Si e n un s i s tema s e cambi a e l orde n de l as
e cuaci ones o e l orde n de l as i ncógnitas , re s ulta ot ro
s i s tema e qui valente.
1
El mé t odo de Gaus s cons iste e n ut i lizar e l mé t odo
de re ducci ón de mane ra que e n cada e cuaci ón
t e ngamos una i ncógnita me nos que e n l a e cuaci ón
pre ce de nte.
1º Pone mos como pri me ra e cuaci ón l a que t e nga
e l como coe fi ciente de x: 1 ó -1, e n cas o de que no

4. fue ra pos i ble l o hare mos con y o z , cambi ando e l
orde n de l as i ncógnitas.
2º Hace mos re ducci ón con l a 1ª y 2ª e cuaci ón ,
para e l i minar e l t é rmi no e n x de l a 2ª e cuaci ón .
De s pués pone mos como s e gunda e cuación e l re s ultado
de l a ope raci ón:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hace mos l o mi s mo con l a e cuaci ón 1ª y 3ª
e cuaci ón, para e l i mi nar e l t é rmi no e n x.
E'3 = E3 − 5E1

5. 4º Tomamos l as e cuaciones 2ª y 3ª ,
t ras formadas, para hace r re ducci ón y e l i minar e l
t é rmi no e n y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º O bt e nemos e l s i s tema e qui valente e s calonado .
6º Encont rar l as s ol uciones.
z = 1
− y + 4 · 1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
2. Mé t odo de Gaus s ut i lizando mat ri ces
Para faci l itar e l cál cul o vamos a t rans formar e l
s i s tema e n una mat ri z, e n l a que pondre mos l os

6. coe fi cientes de l as vari able s y l os t é rmi nos
i nde pendie ntes (s e parados por una re ct a).
Ej e mpl os

7. GAUSS JO RDAN
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan,
es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n
números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en
primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones
lineales en su notación matricial:

8. Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una
matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la
forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples
operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una
operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos
independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la
forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema
y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la
siguiente forma:
 d1 = x
 d2 = y
 d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
 Sea el sistema de ecuaciones:
 Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma
matricial:

9.  Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas
de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta
la forma de la misma:
 Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original
en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar
toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
 Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz
identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron
por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y
el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por
cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su
respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto
de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el
numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila
se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se
sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera
fila.

10.  Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y
procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el
inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo
inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos
poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos
los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso
necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores
JACO VI
Muchos problemas relacionados con el campo de la ingeniería se pueden
expresar en términos de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Cuando se resuelven numéricamente ecuaciones diferenciales pueden surgir
sistemas lineales con 20,000 variables. Los equipos de cómputo disponibles en la
actualidad podrían requerir incluso días para resolver estos sistemas por métodos
directos (como eliminación o factorización).
El método de Jácobi es un método iterativo con el cual se resuelve el sistema
lineal
Ax = b
Comienza con una aproximación inicial x(0) a la solución x y genera una sucesión
de vectores x(k) que convergen a la solución x.
Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto de ecuaciones de la
forma:
:: :: ::

11. O bien en su forma matricial:
Que a su vez se puede expresar como:
Ax = b
Donde “A” es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de
términos independientes.
La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de n valores
que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.
En la solución de estos problemas pueden presentarse 3 casos:
1.- Solución única Sistema compatible
determinado.
2.- Mas de una solución Sistema compatible e
indeterminado.
(numero infinito de soluciones)
3.- Sin solución Sistema incompatible.
Ilustrando el método de Jácobi con un sistema de ecuaciones de 3x3, si el vector:
Es el vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se
tiene que para la siguiente aproximación:

12. Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se tiene la siguiente fórmula
(usando una notación mas compacta):
Para 1£ i £ n
Tanto en el método de Gauss-Seidel como en el de Jácobi, el valor que se
le de al vector inicial carece de importancia, ya que el método convergirá a la
solución rápidamente no obstante que el vector inicial tenga valores muy lejanos
a la solución. Es por esto que se acostumbra a dar el vector 0 como vector inicial.
GAUSS SEIDEL
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite
el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.
Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
El método de iteración Gauss-Seidel es:
Donde:
A=N-P definimos
M=N-1P
Y
c=N-1b
donde los coeficientes de la matriz N se definen como nij = aij si , nij = 0 sino.
Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir
la fórmula de iteración del método

13. La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las
aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
El método de Gauss-Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi ya que usa valores
recién calculados en la solución de las incógnitas a calcular.
Algoritmo:
 Se debe despejar de cada ecuación la variable sobre la diagonal principal.
 Dar un valor inicial a las incógnitas (generalmente se establecen ceros).
 Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera
incógnita.
 Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente incógnita. Este procedimiento se
repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.
 Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante
cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método.
La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo
los elementos de la diagonal
 Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q