La circunferencia se define por su ecuación general x2 + y2 - 2αx - 2βy + α2 + β2 - R2 = 0, donde (α, β) son las coordenadas del centro y R es el radio. Se explican métodos para encontrar el centro y radio a partir de la ecuación de la circunferencia, así como para encontrar la ecuación a partir de un diámetro dado.

1. Circunferencia
Circunferencia de radio R y centro 𝐶(𝛼, 𝛽).
(𝑥 − 𝛼)2
− (𝑥 − 𝛽)2
= 𝑅2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝛼 − 2𝛽 + 𝛾 = 0
𝛾 = 𝛼2
+ 𝛽2
− 𝑅2
Ejemplo
Circunferencia de radio 3 y centro A (-1,2)
𝑥2
+ 𝑦2
− 2(−1)𝑥 − 2(2)𝑦 + (−1)2
+ 22
− 32
= 0
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0
Dada la ecuación de la circunferencia, encontrar centro y radio
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝐴 = −2𝛼 𝐵 = −2𝛽
𝛼 = −
𝐴
2
𝛽 = −
𝐵
2
𝑅 = √𝛼2 + 𝛽2 − 𝐶
𝑆𝑖 𝛼2
+ 𝛽2
− 𝐶 = 0 ∄𝑐𝑓𝑎, 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
𝑆𝑖 𝛼2
+ 𝛽2
− 𝐶 > 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑓𝑎.
𝑆𝑖 𝛼2
+ 𝛽2
− 𝐶 < 0 ∄𝑐𝑓𝑎.
Ejemplo
Encuentra centro y radio de la circunferencia:
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

2. 𝛼 = −
−4
2
= 2 𝛽 = −
−6
2
= 3 𝑅 = √22 + 32 − (−3) = 4
𝐶(2,3)
Circunferencia de diámetro 𝑃(𝑥1, 𝑦1) 𝑄(𝑥2, 𝑦2)
𝑥2
+ 𝑦2
− (𝑥0 + 𝑥1)𝑥 − (𝑦0 + 𝑦1)𝑦 + 𝑥0𝑥1 + 𝑦0𝑦1 = 0
Ejemplo
Encuentra la ecuación de una circunferencia de diámetro PQ
P (0,-4) y Q (6,0)
𝑥2
+ 𝑦2
− (0 + 6)𝑥 − (−4 + 0)𝑦 + 0.6 + (−4). 0 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 4𝑦 = 0