Transformación gráfica y analítica de la caracola pitagórica o "espiral" de Teodoro, en una verdadera espiral matemática

1. ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE l0S NUMEROS
NATURALES
𝛒 𝟐
− 𝛒 𝐜𝐨𝐬 𝜹 𝒏 − 𝐧 = 𝟎
Donde n≥ 1 , entero positivo , y:
𝜹 𝒏 =
𝝅
𝟐
+ ∑ 𝐭𝐚𝐧−𝟏
(
𝟏
√𝒊
)
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
− 𝝋 𝒏
ENRIQUE R. ACOSTA R.
Abril 2020

2. Construyamos un gráfico de triángulos rectángulos todos con un origen común en “O”, adosados
uno a continuación del otro, comenzando con el isósceles de catetos unitarios. Si consideramos a
la hipotenusa de este primer triángulo, de longitud √2, como un cateto base del segundo
triángulo, y si trazamos en su extremo opuesto a O, un segmento perpendicular como un nuevo
cateto de longitud unitaria, queda así determinada una nueva hipotenusa de longitud √3. Este
procedimiento, puede extenderse indefinidamente, obteniendo entonces un gráfico donde cada
hipotenusa partiendo de un punto original común “O”, tendrá un valor igual a + √ 𝑛, con n
correspondiente a un entero positivo mayor o igual a la unidad. (ver gráfico 1)
GRAFICO (1) Triángulos rectángulos adosados todos con un cateto unitario 𝑨𝑩, 𝑩𝑪, 𝑪𝑫,
𝑫𝑬, 𝑬𝑭, 𝑭𝑮, … , e hipotenusas de valor √ 𝒏, con n entero positivo ≥ 𝟏 (Esta construcción, se
atribuye a Teodoro de Cirene 465-368 a.C . y es denominada “espiral” de Teodoro, o Caracola
Pitagórica)
Estando los extremos de todas estas hipotenusas unidas por cuerdas unitarias, el conjunto, nos
insinúa la existencia de una verdadera espiral, cuya expresión analítica nos proponemos
determinar en este trabajo.
NOTA; los números 1,2,3,4, …, (longitud de las hipotenusas en todos los gráficos de la espiral ),
corresponden en realidad a los valores √𝟏. √𝟐, √𝟑. √𝟒. …

3. GRAFICO (2)
Gráfico de los primeros 3 triángulos rectángulos (OAB. OBC, y OCD) adosados por sus hipotenusas
que parten del punto común “O”, origen de coordenadas y polo de los radios de curvatura. Así
mismo se trazan los primeros 3 arcos circulares 𝐴𝐵̂ ,𝐵𝐶̂ , y 𝐶𝐷̂ , correspondientes a las hipotenusas
de magnitud √2, √3. 𝑦 √4 de cada triángulo. El gráfico también refleja la magnitud y posición de
los radios de curvatura de cada arco circular ( 𝑅1, 𝑅2, 𝑦 𝑅3 ), los cuales tienen cada uno su centro
de curvatura, y de giro, en los puntos 𝑂1, 𝑂2, 𝑦 𝑂3, respectivamente, todos ellos en la
circunferencia de radio ½, y centro en O.
Resumiendo:
∆𝐴𝑂𝐵 rectángulo en A, de hipotensa 𝑂𝐵=√2
∆𝐵𝑂𝐶 rectángulo en B, de hipotensa 𝑂𝐶=√3
∆𝐶𝑂𝐷 rectángulo en C, de hipotensa 𝑂𝐷=√4
Cuerdas 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, y 𝐶𝐷, todas de longitud unitaria siendo sus puntos medios 𝑀1, 𝑀2, 𝑦 𝑀3,
respectivamente.

4. En la circunferencia de radio ½, y centro en O.
Radio 𝑂𝑂1=1/2 ǁ a cuerda 𝐴𝐵
Radio 𝑂𝑂2=1/2 ǁ a cuerda 𝐵𝐶
Radio 𝑂𝑂3=1/2 ǁ a cuerda 𝐶𝐷
Tangentes a la circunferencia de radio ½ y centro en O:
𝑀1 𝑂1, tangente en 𝑂1
𝑀2 𝑂2, tangente en 𝑂2
𝑀3 𝑂3, tangente en 𝑂3
Radios de curvatura o de giro, de cada arco circular:
𝑅1 = 𝐴𝑂1 = 𝐵𝑂1
𝑅2 = 𝐵𝑂2 = 𝐶𝑂2
𝑅3 = 𝐶𝑂3 = 𝐷𝑂3
GRAFICO(3): Gráfico correspondiente al primer arco 𝑨𝑩̂ de la espiral
Nótese que 𝑂𝐴, forma un ángulo de
𝜋
2
radianes con el radio 𝑂𝑂1

5. Radio 𝑂𝑂1=1/2 ǁ a cuerda 𝐴𝐵 ,de la circunferencia de radio ½ y centro en O :
𝑅1 = 𝐴𝑂1 = 𝐵𝑂1 = 𝑃𝑂1, radio de curvatura del arco circular 𝐴𝐵̂
𝑂𝐵 = √2, hipotenusa del ∆𝐴𝑂𝐵 rectángulo en A
𝑂𝑃=𝜌, Radio de curvatura de un punto P de la espiral, correspondiente al arco 𝐴𝐵̂
En el ∆𝐴𝑂𝑂1 rectángulo en O, se tiene:
𝐴𝑂1
2
= 𝑅1
2
= 12
+(
1
2
)
2
= 1 +
1
4
=
5
4
, de donde: 𝑅1 =
√5
2
De la figura:
𝜑1es el ángulo entre el tramo izquierdo del eje X, y el radio vector 𝑂𝑃=𝜌
En el ∆𝑂𝑃𝑂1, 𝑒𝑠 𝛿 =
𝜋
2
− 𝜑1, entonces aplicando el teorema del coseno para determinar la
magnitud del lado 𝑂1 𝑃 en el triangulo 𝑂𝑃𝑂1, tendremos:
𝑂1 𝑃
2
= 𝑅1
2
=
5
4
= 𝜌2
+ (
1
2
)
2
− 2𝜌 (
1
2
) cos 𝛿 , es decir, ordenando, sustituyendo, y simplificando:
Obtenemos la ecuación buscada para determinar el valor del radio de curvatura 𝝆 de la espiral
para este primer caso : 0 ≤ 𝜑1 ≤ tan−1 1
√1
=
𝜋
4
𝝆 𝟐
− 𝝆 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟐
− 𝝋 𝟏) − 𝟏 = 𝟎
Como cos(
𝜋
2
− 𝜑1) = sin 𝜑1, podemos reescribir la ecuación como:
𝜌2
− 𝜌 sin 𝜑1 − 1 = 0
En la solución de esta ecuación cuadrática, solo deberemos considerar el signo positivo de las
raíces.
Entonces será: 𝜌 =
sin 𝜑1+√(sin 𝜑1)2+4
2
≥ 1 , como comprobación:
Para 𝜑1 = 0 , tendremos: 𝜌 =
√4
2
= 1 = 𝑂𝐴
Y para 𝜑1 =
𝜋
4
, tendremos : 𝜌 =
1
√2
+√
1
2
+4
2
=
4
√2
2
=
2
√2
= √2=𝑂𝐵

6. GRAFICO(4) correspondiente al segundo arco 𝑩𝑪̂ de la espiral
Nótese que en este caso: Radio 𝑂𝑂2=1/2 ǁ a cuerda 𝐵𝐶 , y que 𝑂𝐴 forma un ángulo de
3𝜋
4
con
𝑂𝑂2
En el ∆𝐵𝑂𝑂2, rectángulo en O tendremos: 𝐵𝑂2
2
= 𝑅2
2
= (√2)
2
+ (
1
2
)
2
= 2 +
1
4
=
9
4
, entonces
será: 𝑅2 =
√9
2
=
3
2
En el ∆𝑂𝑃𝑂2, 𝑃𝑂2 = 𝑅2, y 𝛿 = 𝜋 − 𝜑2 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
− 𝜑2, entonces aplicando el teorema del coseno
tenemos:
𝑅2
2
=
9
4
= 𝜌2
+ (
1
2
)
2
− 2 (
1
2
) 𝜌 cos 𝛿
Desarrollando, sustituyendo, y ordenando, resulta:
𝝆 𝟐
− 𝝆 𝐜𝐨𝐬 (
𝟑𝝅
𝟒
− 𝝋 𝟐) − 𝟐 = 𝟎
Que será la expresión para 𝜌 en este segundo caso: tan−1 1
√1
=
𝜋
4
≤ 𝜑2 ≤
𝜋
4
+ tan−1 1
√2

7. Comprobación:
SI 𝜑2 =
𝜋
4
, resulta: 𝜌2
− 𝜌 cos(
𝜋
2
) − 2 = 0 ,que con cos (
𝜋
2
) = 0, nos da: 𝜌2
= 2, y 𝜌 = √2
Si 𝜑2 =
𝜋
4
+ tan−1 1
√2
, será 𝛿 =
𝜋
2
− tan−1 1
√2
, y por ende, cos 𝛿 = sin(tan−1 1
√2
) =
1
√3
, por lo que
resulta: : 𝜌2
− 𝜌 (
1
√3
) − 2 = 0, de donde: 𝜌 =
1
√3
+√
1
3
+8
2
=
1
2
(
1
√3
+
5
√3
) = √3
Nótese que el ángulo entre 𝑂𝑂1 y 𝑂𝑂2, es
𝜋
4
,ya que sus lados son mutuamente perpendiculares
con los del ángulo AOB .
GRAFICO (5) correspondiente al arco 𝑪𝑫̂ , incluyendo el ∆𝑶𝑷𝑶 𝟑
Nótese que en este caso el Radio 𝑂𝑂3=1/2 ǁ a cuerda 𝐶𝐷, y En el ∆𝐶𝑂𝑂3, rectángulo tenemos: :
𝐶𝑂3
2
= 𝑅3
2
= (√3)
2
+ (
1
2
)
2
= 3 +
1
4
=
13
4
, de donde:
𝑅3 =
√13
2

8. En el ∆𝐶𝑂3 𝐷: 𝐶𝑂3 = 𝑃𝑂3 = 𝐷𝑂3 = 𝑅3
Aplicando el teorema del coseno para determinar a 𝑃𝑂3 en el ∆𝑂𝑃𝑂3, tendremos:
𝑅3
2
=
13
4
= 𝜌2
− 2 (
1
2
) 𝜌 cos 𝛿 + (
1
2
)
2
, de donde: 𝜌2
− 𝜌 cos 𝛿 − 3 = 0, nueva ecuación general
para 𝜌, en este caso.
De la figura, obtenemos: 𝛾 =
𝜋
2
−
𝜋
4
− tan−1
(
1
√2
), y también: 𝛿 = 𝜋 − 𝜑3 − 𝛾
Entonces, será: 𝛿 = 𝜋 − 𝜑3 −
𝜋
2
+
𝜋
4
+ tan−1
(
1
√2
) =
3𝜋
4
− 𝜑3 + tan−1
(
1
√2
)
Sustituyendo este valor en la ecuación general de este caso, resulta:
𝛒 𝟐
− 𝛒 𝐜𝐨𝐬 [
𝟑𝛑
𝟒
− 𝛗 𝟑 + 𝐭𝐚𝐧−𝟏
(
𝟏
√𝟐
)] − 𝟑 = 𝟎
Que será la expresión para 𝜌 en este tercer caso:
Como comprobación:
Si 𝜑3 =
𝜋
4
+tan−1
(
1
√2
), será: 𝛿 =
3𝜋
4
−
𝜋
4
− tan−1
(
1
√2
) + tan−1
(
1
√2
)=
𝜋
2
, entonces como
cos (
𝜋
2
) = 0 , resulta: 𝜌2
= 3, 𝑦 𝜌 = √3
Si 𝜑3 =
𝜋
4
+tan−1
(
1
√2
) + tan−1
(
1
√3
) =
𝜋
4
+tan−1
(
1
√2
) +
𝜋
6
, entonces:
𝛿 =
3𝜋
4
−
𝜋
4
− tan−1
(
1
√2
) −
𝜋
6
+ tan−1
(
1
√2
) =
𝜋
3
, y como cos (
𝜋
3
) =
1
2
, será:
𝜌2
− 𝜌 (
1
2
) − 3 = 0
Y resolviendo, resulta: 𝜌 =
1
2
+√
1
4
+12
2
=
1
2
+
7
2
2
=
8
2
2
= 2 = √4
Nótese que el ángulo entre 𝑂𝑂2, y 𝑂𝑂3, es igual a tan−1
(
1
√2
), por ser ángulos con lados
mutuamente perpendiculares.
Observamos de manera general, que el ángulo resultante 𝛿, en la expresión para 𝜌, se
corresponde con la diferencia entre el ángulo que forma 𝑂𝐴 con 𝑂𝑂𝑛, y el ángulo 𝜑 𝑛
Así mismo, el ángulo entre 𝑂𝐴 y 𝑂𝑂𝑛, aumenta cuando pasamos de n a n+1,
en una cantidad correspondiente al valor del ángulo entre √ 𝑛, 𝑦 √ 𝑛 + 1, dado por tan−1
(
1
√ 𝑛
).

9. También notamos que el termino independiente que aparece en la ecuación cuadrática que nos
permite determinar el valor de 𝜌, corresponde al valor de n en el caso considerado.
Entonces podemos escribir en forma general que el ángulo entre 𝑂𝑃 y 𝑂𝑂𝑛, viene dado por la
expresión:
𝛅 𝐧 =
𝛑
𝟐
+ ∑ 𝐭𝐚𝐧−𝟏
(
𝟏
√𝐢
)𝐢=𝐧−𝟏
𝐢=𝟏 − 𝛗 𝐧
Luego para: n=1, será:
δ1 =
π
2
+ ∑ tan−1
(
1
√i
)i=0
i=1 − φ1
Aquí ∑ tan−1
(
1
√i
)i=0
i=1 =0 (para n=1), luego δ1 =
π
2
− φ1
Para n=2, será:
Aquí ∑ tan−1
(
1
√i
)i=1
i=1 = tan−1
(
1
√1
) =
𝜋
4
, luego δ2 =
π
2
+
𝜋
4
−φ2 =
3𝜋
4
− φ2
Y para n=3, será:
Aquí ∑ tan−1
(
1
√i
)i=2
i=1 = tan−1
(
1
√1
) + tan−1
(
1
√2
) =
𝜋
4
+ tan−1
(
1
√2
), luego:
𝛿3 =
𝜋
2
+
𝜋
4
+tan−1
(
1
√2
) − 𝜑3 =
3𝜋
4
+ tan−1
(
1
√2
) − 𝜑3
Resultados idénticos a los deducidos anteriormente para cada caso de estudio, lo cual nos permite
obtener una fórmula para 𝝆 , en el caso general correspondiente a n entero positivo mayor o
igual a la unidad.
𝛒 𝟐
− 𝛒 𝐜𝐨𝐬 𝜹 𝒏 − 𝐧 = 𝟎
Donde n≥ 1 , entero positivo , y:
𝜹 𝒏 =
𝝅
𝟐
+ ∑ 𝐭𝐚𝐧−𝟏
(
𝟏
√𝒊
)
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
− 𝝋 𝒏

10. GRAFICO (6) Elementos de un sector espiral genérico (n-ésimo)
El sector circular JK𝑂𝑛, representa el caso general de un arco 𝐽𝐾̂ genérico (n-ésimo), de longitud
𝑆 𝑛, cuerda unitaria 𝐽𝐾, y radio 𝑅 𝑛 de centro en 𝑂𝑛, en el cual está inscrito el ∆ JK𝑂𝑛 isósceles de
lados 𝑅 𝑛, ángulo central 2𝛽 𝑛, y base unitaria (la cuerda 𝐽𝐾). Siendo 𝑀𝑂𝑛 = √ 𝑛 , la bisectriz de
dicho ángulo central, y 𝑀𝑀`= ℎ 𝑛 la flecha del arco 𝐽𝐾̂.
Análogamente, el sector JKO, corresponde al caso general de un arco espiral genérico (n-ésimo),
de igual longitud 𝑆 𝑛, y cuerda unitaria 𝐽𝐾, en el cual está contenido el ∆𝐽𝐾𝑂, de base unitaria (la
cuerda 𝐽𝐾), y de lados correspondientes a las raíces cuadradas de valores consecutivos de n: √ 𝑛, y
√ 𝑛 + 1
Nótese que ambos sectores tienen la misma área total, ya que el área del segmento de circulo
entre la cuerda y el arco es común, y ambos triángulos tienen áreas iguales: (
1
2
(1)√ 𝑛 =
1
2
√ 𝑛(1)
Resumiendo:
𝐽𝑂 = √ 𝑛, y 𝐾𝑂 = √ 𝑛 + 1
𝐽𝑂𝑛 = 𝐾𝑂𝑛 = 𝑅 𝑛
𝐽𝐾 = 1 (𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎)
𝑆 𝑛: longitud del arco 𝐽𝐾̂
2𝛽 𝑛
°
: ángulo central inscrito J𝑂𝑛 𝐾
𝑂𝑂𝑛 =
1
2
: radio de la circunferencia de centro en O
𝐽𝐾: cuerda unitaria paralela al radio 𝑂𝑂𝑛
𝑀𝑂𝑛: bisectriz del ángulo central J𝑂𝑛 𝐾 =2𝛽 𝑛
°
𝑀𝑀`= ℎ 𝑛 la flecha del arco 𝐽𝐾̂ respecto a su cuerda unitaria 𝐽𝐾

11. TOPICOS GENERALES:
1) Calculo de 𝑹 𝒏, en función de n:
𝑅 𝑛
2
= (
1
2
)
2
+ (√ 𝑛)
2
=
1
4
+ 𝑛, y 𝑅 𝑛 = √
1
4
+ 𝑛 =
√1+4𝑛
2
𝟏
𝟐
𝑅 𝑛
√ 𝑛
tan 𝛽 𝑛 =
1
2
√ 𝑛
=
1
2√ 𝑛
, y 𝛽 𝑛 = tan−1
(
1
2√ 𝑛
)
Si n=1 tendremos 𝑅1 =
√5
2
Si n=2 tendremos 𝑅2 =
√9
2
Si n=3 tendremos 𝑅3 =
√13
2
, notamos que la cantidad subradical aumenta de 4 en 4 al pasar de n a
n+1
2) Curvatura del arco JK
La curvatura puede obtenerse de la relacion entre ángulo inscrito y la longitud del arco
correspondiente : 𝑆 𝑛 = 2𝛽 𝑛 𝑅 𝑛 , de donde :
2𝛽 𝑛
𝑆 𝑛
=
1
𝑅 𝑛
=
2
√1+4𝑛
(𝛽 𝑛, 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)
3) Longitud del arco JK
La longitud de un arco de cuerda unitaria correspondiente a un sector n-ésimo de la espiral,
vendrá dado por la relacion: : 𝑆 𝑛 = 2𝛽 𝑛 𝑅 𝑛
Donde 𝛽 𝑛, debe ser adimensional, es decir, debe estar en radianes, luego si 𝛽 𝑛 = tan−1
(
1
2√ 𝑛
)
Esta dado en grados sexagesimales, deberemos multiplicar su valor por
𝜋
180° para obtenerlo en
radianes, así garantizamos que la magnitud del arco resulte en las mismas unidades de longitud
que las del radio.
Resultaría:
𝑆 𝑛 = (2𝛽 𝑛
°
𝑅 𝑛 )
𝜋
180° = (𝛽 𝑛
°
𝑅 𝑛 )
𝜋
90° = tan−1
(
1
2√ 𝑛
) (
√1+4𝑛
2
)
𝜋
90° = tan−1
(
1
2√ 𝑛
) (√1 + 4𝑛)
𝜋
180°
𝛽 𝑛

12. 4) Flecha (𝒉 𝒏) del arco Jk con respecto a su cuerda unitaria
Del gráfico (6), se obtiene de manera inmediata que: 𝒉 𝒏 = 𝑅 𝑛 − √ 𝑛 =
√1+4𝑛
2
− √ 𝑛. Se puede
comprobar fácilmente que lim
𝑛→∞
(
√1+4𝑛
2
− √ 𝑛) = 0
5) Área de un sector (𝑨 𝒔):
Como ya hemos señalado anteriormente, el área total de un sector genérico de espiral JKO, tiene
idéntico valor que el área del sector circular JK𝑂𝑛 correspondiente, ya que el área del segmento
de circulo entre la cuerda y el arco es común, y ambos triángulos ∆ JK𝑂𝑛 y ∆𝐽𝐾𝑂, tienen áreas
iguales: (
1
2
(1)√ 𝑛 =
1
2
√ 𝑛(1).
Entonces dicha área total, puede calcularse directamente como el porcentaje de área
correspondiente a un ángulo central 2𝛽 𝑛 en un círculo de radio 𝑅 𝑛. Por razones dimensionales
análogas al del caso de la longitud del arco, dicho ángulo central, debe estar expresado en
radianes. Así, tendríamos:
𝐴 𝑠 = 𝜋𝑅 𝑛
2
(
2𝛽 𝑛
°
360°) = 𝜋 (
1 + 4𝑛
4
) (
𝛽 𝑛
°
180°)
Notas para describir el “lugar geométrico”:
Un segmento de recta de longitud 𝑅1 =
√5
2
, gira un ángulo dado por tan−1
(
1
2√1
) alrededor de un
punto 𝑂1 , situado en la intersección del eje Y con una circunferencia de centro O, y radio ½. En
esta posición dicho radio 𝑅1, se hace tangente en 𝑂1 a dicha circunferencia y luego gira de nuevo
en el mismo sentido (dextrógiro),otra vez un ángulo igual al inicial. En esta nueva posición 𝑅1,
incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O, y radio ½ , interceptando a la
circunferencia de este círculo en el punto 𝑂2 , siendo el ángulo entre 𝑂𝑂1 y 𝑂𝑂2, el
correspondiente a tan−1
(
1
√1
), determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por
𝑅2 =
√9
2
, con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de 𝑂2 , correspondiente
a un ángulo dado por tan−1
(
1
2√2
), en esta posición se hace tangente en 𝑂2 a la circunferencia de
centro en O, y radio ½ , luego el segmento gira alrededor de 𝑂2 , un nuevo un ángulo igual al
anterior. En esta nueva posición 𝑅2, incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O, y
radio ½ , interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto 𝑂3 , siendo el ángulo entre
𝑂𝑂2 y 𝑂𝑂3, el correspondiente a tan−1
(
1
√2
), determinando un nuevo valor para el radio de
curvatura dado por 𝑅3 =
√13
2
, con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de

13. 𝑂3 , correspondiente a un ángulo dado por tan−1
(
1
2√3
), en esta posición se hace tangente en 𝑂3 a
la circunferencia de centro en O, y radio ½ , luego el segmento gira de nuevo un ángulo igual al
anterior, y en esta nueva posición, 𝑅3 incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O,
y radio ½ , interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto 𝑂4 , siendo el ángulo entre
𝑂𝑂3 y 𝑂𝑂4, el correspondiente a tan−1
(
1
√3
), determinando un nuevo valor para el radio de
curvatura dado por 𝑅4 =
√17
2
, con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de
𝑂4 , Este proceso se repite indefinidamente, y como puede observarse, los radios de curvatura
van aumentando la cantidad subradical en 4 unidades cada vez (5,9.13,17,…), así mismo los
ángulos de giro (mitad), están dados por tan−1
(
1
2√ 𝑛
), mientras que los ángulos entre dos radios
consecutivos de la circunferencia de centro en O, y radio ½, corresponden al valor tan−1
(
1
√ 𝑛
).
El extremo libre del radio de curvatura al girar alrededor de los puntos 𝑂𝑛 , va generando los arcos
circulares contínuos, de cuerda unitaria, que en conjunto constituyen la espiral de raíces
cuadradas de los números naturales.
ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE LOS NUMEROS NATURALES
Esta nueva espiral se incorpora al pequeño grupo de espirales planas ya conocidas en la reina de
las ciencias, como son la espiral de Arquímedes, la espiral Parabólica o de Fermat, la espiral
Hiperbólica, la Clotóide, la espiral Logarítmica, y sus tres aproximaciones análogas como son la
espiral Aurea o de Durero, la espiral de Fibonacci, y la espiral de triángulos isósceles áureos.

14. Bibliografía de mis trabajos anteriores:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial
y otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017
Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017
Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018
Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018
El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características clásicas
(Actualizando las Fuentes) 2018
El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético, sus 19 propiedades clásicas y sus análogas en
el Prisma Combinatorio 2018
Fibonacci y el número áureo en el Prisma Combinatorio, 2019
Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de Linkedin