MATRICIAL PORTICOS

1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL
II
Análsis Matricial de Pórticos
Dr. Ing. Roy Reyna Salazar
rreynas@uni.edu.pe
https://sites.google.com/view/royreyna

2. CONTENIDO
1. Introducción
2. Matriz de Rigidez Viga-Columna 2D
3. Matriz de Rigidez Viga
4. Matriz de Rigidez Viga Continua
5. Ejercicio de Aplicación – Vigas
6. Matriz de Rigidez Viga-Columna 2D
7. Rotación del Sistema de Referencia
8. Matriz de Rigidez Viga-Columna Simplificada
9. Ejercicio de Aplicación – Pórticos
10. Diseño Asistido por Computadora
© Dr. Ing. Roy Reyna

3. 1. INTRODUCCIÓN
© Dr. Ing. Roy Reyna
X
Z
Y
GLOBAL
LOCAL
SISTEMA DE COORDENADAS GRADOS DE LIBERTAD
 12 GDL en 3D
 6 GDL en 2D

4. © Dr. Ing. Roy Reyna
2. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
Fuente: Dr. H. Scaletti

5. 2. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
© Dr. Ing. Roy Reyna
Considerando un elemento Viga-Columna 2D, de eje recto,
sección constante e ignorando deformaciones axiales y de corte.
1
2
3
4
L
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2 −
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
12𝐸𝐼
𝐿3 −
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3 −
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
1 2 3 4
1
2
3
4
1
3
2
4
h
𝐾 =
12𝐸𝐼
ℎ3 −
6𝐸𝐼
ℎ2 −
12𝐸𝐼
ℎ3 −
6𝐸𝐼
ℎ2
−
6𝐸𝐼
ℎ2
4𝐸𝐼
ℎ
6𝐸𝐼
ℎ2
2𝐸𝐼
ℎ
−
12𝐸𝐼
ℎ3
6𝐸𝐼
ℎ2
12𝐸𝐼
ℎ3
6𝐸𝐼
ℎ2
−
6𝐸𝐼
ℎ2
2𝐸𝐼
ℎ
6𝐸𝐼
ℎ2
4𝐸𝐼
ℎ
1 2 3 4
1
2
3
4
Fuente: Dr. H. Scaletti

6. © Dr. Ing. Roy Reyna
3. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA
Fuente: Dr. H. Scaletti
Eliminación de GDL (Desplazamientos Nulos)
𝐾 =
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿

7. © Dr. Ing. Roy Reyna
3. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA
Fuente: Dr. H. Scaletti
Cambio en Convención de signos
1
2
3
4
L
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
−
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿

8. © Dr. Ing. Roy Reyna
4. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA CONTINUA
Fuente: Dr. H. Scaletti
Considerando Viga Continua, de eje recto, sección
constante e ignorando deformaciones axiales y de corte.
𝐾 =
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿

9. 4. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA CONTINUA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti

10. 3. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
© Dr. Ing. Roy Reyna
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
PASO 1: Definición de la estructura
Geometria y Material
PASO 2: Determinar los GDL Global
𝐺𝐷𝐿 = 3𝑛 − 𝑟
PASO 3: Calcular las matrices de rigidez local de cada elemento
𝐾𝑒
=
4𝑥4 → 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎𝑠
2𝑥2 → 𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠
4𝑥4 → 𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑦 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
6𝑥6 → 𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑦 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
PASO 4: Determinar los códigos de ensamble
𝐺𝐷𝐿𝐿𝑜𝑐𝑎𝑙 → 𝐺𝐷𝐿𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
PASO 5: Ensamblar la matriz de rigidez global
𝐾
PASO 6: Calcular la matriz inversa
𝐾−1
PASO 7: Determinar el vector de fuerzas aplicadas en los nudos
𝐹
PASO 8: Calcular los desplazamientos en los nudos
𝑢 = 𝐾−1
𝐹
PASO 9: Calcular los desplazamientos locales
𝑣
PASO 10: Calcular las fuerzas en cada elemento
𝐹𝑒
= 𝐾𝑒
𝑣𝑒
+𝐹0
FIN

11. 5. EJERCICIO DE APLICACIÓN - VIGAS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Considerando Viga Continua con Momento Concentrado, de eje
recto, sección constante e ignorando deformaciones axiales y de corte.
Fuente: Dr. H. Scaletti

12. 5. EJERCICIO DE APLICACIÓN - VIGAS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Considerando Viga Continua con Carga Distribuida, de eje recto,
sección constante e ignorando deformaciones axiales y de corte.
Fuente: Dr. H. Scaletti

13. 6. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
© Dr. Ing. Roy Reyna
Elemento Viga-Columna 2D, de eje recto, sección constante y
Considerando deformaciones axiales y de corte.
Ecuaciones diferenciales:
Donde:
𝜙 =
12𝐸𝐼
𝐺𝐴𝑠𝐿2
𝜈′ = 𝜈′
𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 + 𝜈′
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝜃 −
𝐹2
𝐺𝐴𝑠
Fuente: Dr. H. Scaletti

14. 6. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti

15. 6. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti

16. 6. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA 2D
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
𝐾(𝑒)
=
𝐸𝐴
𝐿
0 0 −
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0
12𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿3
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
0 −
12𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿3
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
0
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
4 + 𝜙
1 + 𝜙
𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
2 − 𝜙
1 + 𝜙
𝐸𝐼
𝐿
−
𝐸𝐴
𝐿
0 0
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0 −
12𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿3 −
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2 0
12𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿3 −
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
0
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
2 − 𝜙
1 + 𝜙
𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
(1 + 𝜙)𝐿2
4 + 𝜙
1 + 𝜙
𝐸𝐼
𝐿
𝜙 =
12𝐸𝐼
𝐺𝐴𝑠𝐿2
1
3
5
4
L
2
6

17. 7. ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
1
3
5
4
2
6
COORDENADAS
LOCALES
COORDENADAS
GLOBALES
𝐾′ 𝑒 𝑢′ 𝑒 = 𝑓′ 𝑒
𝐾 𝑒 𝑢 𝑒 = 𝑓 𝑒
𝜃
𝜃

18. 7. ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
𝑢′ 𝑒
= 𝑇𝑢 𝑒
𝐾 𝑒 = 𝑇𝑇𝐾′ 𝑒 𝑇
𝑓 𝑒
= 𝑇𝑇
𝑓′ 𝑒
𝑢′1 = 𝐶𝑢1 + 𝑆𝑢2
𝑢′2 = −𝑆𝑢1 + 𝐶𝑢2
𝑢′3 = 𝑢3
𝑢′4 = 𝐶𝑢4 + 𝑆𝑢5
𝑢′5 = −𝑆𝑢4 + 𝐶𝑢5
𝑢′6 = 𝑢6
𝐹1 = 𝐶𝐹′1 − 𝑆𝐹′2
𝐹2 = 𝑆𝐹′1 + 𝐶𝐹2
𝐹3 = 𝐹′3
𝐹4 = 𝐶𝐹′4 − 𝑆𝐹′5
𝐹5 = 𝑆𝐹′4 + 𝐶𝐹′5
𝐹6 = 𝐹′6
𝑢′1
𝑢′2
𝑢′3
𝑢′4
𝑢′5
𝑢′6
=
𝐶 𝑆 0 0 0 0
−𝑆 𝐶 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 𝐶 𝑆 0
0 0 0 −𝑆 𝐶 0
0 0 0 0 0 1
𝑢1
𝑢2
𝑢3
𝑢4
𝑢5
𝑢6
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝐶 −𝑆 0 0 0 0
𝑆 𝐶 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 𝐶 −𝑆 0
0 0 0 𝑆 𝐶 0
0 0 0 0 0 1
𝐹′1
𝐹′2
𝐹′3
𝐹′4
𝐹′5
𝐹′6
𝐾′ 𝑒 𝑢′ 𝑒 = 𝑓′ 𝑒
𝐾′ 𝑒
𝑇𝑢 𝑒
= 𝑓′ 𝑒
𝑇𝑇
𝐾′ 𝑒
𝑇𝑢 𝑒
= 𝑇𝑇
𝑓′ 𝑒

19. 7. ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
𝜙 =
12𝐸𝐼
𝐺𝐴𝑠𝐿2

20. 8. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA SIMPLIFICADA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti

21. 8. MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA SIMPLIFICADA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti

22. 9. EJERCICIO DE APLICACIÓN - PÓRTICOS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
Resolver el pórtico mostrado, ignorando
deformaciones axiales y de corte.
L
h1
h2

23. 9. EJERCICIO DE APLICACIÓN - PÓRTICOS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
Resolver el pórtico mostrado, ignorando
deformaciones axiales y de corte.

24. 9. EJERCICIO DE APLICACIÓN - PÓRTICOS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
Resolver el pórtico a dos aguas mostrado,
ignorando deformaciones axiales y de corte.

25. 9. EJERCICIO DE APLICACIÓN - PÓRTICOS
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
Resolver el pórtico a dos aguas mostrado,
ignorando deformaciones axiales y de corte.
L
L’
w
𝐹𝐸𝑀 =
0
Τ
𝑤𝐿′ 2
Τ
𝑤𝐿′2
12
0
Τ
𝑤𝐿′ 2
− Τ
𝑤𝐿′2
12

26. 10. ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Dr. H. Scaletti
Resolver la viga con tirantes mostrado,
ignorando deformaciones axiales y de
corte en la viga.

27. 10. ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Fuente: Ing. W. Inga
Para la viga mostrada, calcular la deflexión vertical
del nudo C debido al sistema de cargas aplicadas.
Ignorar las deformaciones axiales y de corte.
4 tonf
3 m 2 m
3 tonf/m
A B C
30 cm
40 cm
2.5 cm
𝐸 = 2.1 ∗ 106
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
𝑤 = 3
𝑡𝑜𝑛𝑓
𝑚
𝑃 = 4𝑡𝑜𝑛𝑓 𝐼 =
𝑏ℎ3
12
𝐼 =
30 40 3
12
−
25 35 3
12
𝐼 = 7.068 ∗ 104𝑐𝑚4
𝐼 = 7.068 ∗ 10−4
𝑚4
𝐸 = 2.1 ∗ 107
𝑡𝑜𝑛𝑓
𝑚2

28. 10. ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Δ1 =
𝑤𝐿4
8𝐸𝐼
=
3
𝑡𝑜𝑛𝑓
𝑚
5𝑚 4
8𝐸𝐼
=
234.375
𝐸𝐼
𝑎 = 3 𝑚
𝑏 = 2 𝑚
𝐿 = 5 𝑚
Δ2 =
𝑃𝑎2
6𝐸𝐼
3𝐿 − 𝑎 =
4𝑡𝑜𝑛𝑓 3𝑚 2
6𝐸𝐼
3 5𝑚 − 3𝑚 =
72
𝐸𝐼
Δ = Δ1 + Δ2 =
306.375
𝐸𝐼
Δ =
306.375
(2.1 ∗ 107)(7.068 ∗ 10−4)
Δ = 2.0642 ∗ 10−2
𝑚 = 2.0642𝑐𝑚
Fuente: Mecánica de Materiales, Prof. J. Gere

29. 10. ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
© Dr. Ing. Roy Reyna
1
2
3
4
L
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2 −
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
12𝐸𝐼
𝐿3 −
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3 −
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
Carga Puntual:
Carga Distribuida: 𝑀𝑖
𝑜
= −𝑀𝑗
𝑜
=
𝑤𝐿2
12
= 6.25
𝑀𝑖
𝑜
=
𝑃𝑎𝑏2
𝐿2
= 1.92
𝐹 =
−2.592 − 7.5
2.88 + 6.25
𝐹 =
−10.092
9.13
𝐾 = 𝐸𝐼
0.096 −0.24
−0.24 0.8
𝐾−1
=
41.667 12.5
12.5 5
1
𝐸𝐼
𝑢 = 𝐾−1
𝐹 =
−306.375
−80.5
1
𝐸𝐼
𝑉
𝑗
𝑜
=
𝑃𝑎2
𝐿3
𝐿 + 2𝑏 = 2.592
𝑉𝑖
𝑜
= 𝑉
𝑗
𝑜
=
𝑤𝐿
2
= 7.5
𝑀𝑗
𝑜
= −
𝑃𝑏𝑎2
𝐿2 = −2.88

30. 10. ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
© Dr. Ing. Roy Reyna
Usando SAP2000, considerando una
sección cualquiera, con EI=1, e ignorando
deformaciones axiales y de corte:
Usando SAP2000, considerando la
sección de acero asignada, e ignorando
deformaciones axiales y de corte:

31. MUCHAS GRACIAS
© Dr. Ing. Roy Reyna
ありがとうございます
THANKS FOR YOUR KIND ATTENTION