Formulacion de problemas de PL.pptx

Universidad Nacional de Ingeniería
Investigación de Operaciones I
Programación
Lineal y Solución
Gráfica
Ing. Luis Medina Aquino
X2
X1
R1
R2
R3

Introducción a la Programación Lineal
Existen problemas de decisión administrativos
que pueden ser resueltos a través de un modelo
matemático llamado programación lineal. Por
ejemplo:
1) PRODUCCION
2) MARKETING
3) FINANZAS

Juan se dedica a la compra y venta de
naranja y papaya. Todos los días
temprano en la mañana visita a su
proveedor de frutas en el mercado
mayorista y hace las compras del día. El
día anterior recibe los pedidos de sus
clientes y esta suma 600 kilos de
papaya y 1200 kilos de naranja.
Problema

Problema
Juan lleva su camioneta
para el transporte cuya
capacidad de carga es de
1600 kilos. ¿Cuántos kilos
de cada fruta debe
comprar Juan para
maximizar los beneficios?

Se tienen los siguientes precios y
costos por kilo de fruta :
Precio de
compra al por
mayor x Kg
Precio de
venta al
minorista x Kg
Utilidad
por Kg
Papaya S/. 1.30 S/. 1.60 S/. 0.30
Naranja S/. 1.00 S/. 1.20 S/. 0.20

¿Cuántos kilos de papaya y naranja debe comprar
Juan para obtener la Máxima Utilidad?
X1 = ?? X2 = ??
X1 < 600 kg X2 < 1200 kg X1 + X2 < 1600 kg
Primero se debe cargar a la camioneta con aquel
que tiene mas utilidad por kilo.
Capacidad

Utilidad por kilo:
S/. 0.30
X1 < 600 kg
X2 < 1200 kg
X1 + X2 < 1600 kg
Se debe comprar 600 kg. de papaya y 1000 kg. de
naranja, su utilidad será S/. 380.
Utilidad por kilo:
S/. 0.20

Modelo de Programación Lineal
Un modelo de programación lineal busca el
objetivo de maximizar o minimizar una
función lineal, sujeta a un conjunto de
restricciones lineales.

Modelo de Programación Lineal
Un modelo de programación lineal esta
compuesto de lo siguiente:
* Un conjunto de variables de decisión
* Una función objetivo
* Un conjunto de restricciones

1) Formulación del Problema
Definición de las Variables de Decisión
x1 = Cantidad, en kilos, de papaya
que se debe comprar.
x2 = Cantidad, en kilos, de naranja
que se debe comprar.

Función Objetivo
Maximizar la utilidad total de los dos
productos:
Maximizar Z = 0.30 x1 + 0.20 x2

Restricciones
Cantidad máxima de Papaya < 600 kilos.
x1 < 600
Cantidad máxima de Naranja < 1200 kilos.
x2 < 1200
Carga máxima de la camioneta < 1600 kilos.
x1 + x2 < 1600

Maximizar Z = 0.30 x1 + 0.20 x2
x1 < 600
x2 < 1200
x1 + x2 < 1600
x1, x2 > 0

Procedimiento de Solución Gráfica en
Problemas de PL con dos variables
1)Establecer la formulación del problema

2)Graficar en el plano cartesiano (X,Y)
las restricciones del tipo >, < ó =,
como si fueran rectas.

2) Graficar Restricciones
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
s.a. X1 < 600 (Papaya)
X2 < 1200 (Naranja)
X1 + X2 < 1600 (Camioneta)
X1, X2 > 0 (no negatividad)
X1
X2
(0,0)
Cada punto en este cuadrante no negativo esta
asociado con una especifica alternativa de solución.

Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
X1
X2
(0,0)

Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
P1, P2 > 0 (no negatividad)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
R1

Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200)
R1
R2

Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200) R2
R1

Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200)
R3
R2
R1
(1600,0)
(0,1600)

Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200)
R3
R2
R1
(1600,0)
(0,1600)
(400,1200)
(600,1000)

2)Graficar en el plano cartesiano (X,Y) las
restricciones del tipo >, < ó =, como si fueran
rectas.
3)Ubicar el espacio de la solución
factible (región factible), el cual está
dado por el área común a todas las
restricciones.

3) Ubicar Región Factible
Max 3 P1 + 5 P2
s.a. P1 + < 4 (Planta 1)
2 P2 < 12 (Planta 2)
3 P1 + 2 P2 < 18 (Planta 3)
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200)
R3
R2
R1
(400,1200)
(600,1000)
Región factible es el conjunto de puntos
que satisface todas las restricciones
simultáneamente. Existen infinitos
puntos factibles (soluciones).

3) Ubicar Región Factible
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
X2 < 1200 (Naranja)
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Se llaman puntos extremos a los
vértices de la región de factibilidad.
Los valores que optimizan la función
objetivo siempre se encuentran en
uno de los puntos extremos.

2)Graficar en el plano cartesiano (X,Y) las
restricciones del tipo >, < ó =, como si fueran
rectas.
3)Ubicar el espacio de la solución factible
(región factible), el cual está dado por el
área común a todas las restricciones.
4)Obtener la solución óptima.

4) Obtener Solución Optima
X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
En la región factible
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
0.30
0.20
Pendiente de la
función objetivo
Se debe dibujar el contorno de la
función objetivo (línea iso-beneficio)
mediante rectas paralelas, en cada
vértice, según la relación:
X2 = – 1.5 X1 + K

X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Pendiente de la
función objetivo
Z1
0.30
0.20

X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180
Pendiente de la
función objetivo
Z1
0.30
0.20
Z2

X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180
Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240
Pendiente de la
función objetivo
Z1
0.30
0.20
Z2
Z3

X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180
Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240
Z4 = 0.30 (400) + 0.20 (1200) = 360
Pendiente de la
función objetivo
Z1
0.30
0.20
Z2
Z3
Z4

X1
X2
(0,0) (600,0)
Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(0,1200) (400,1200)
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180
Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240
Z4 = 0.30 (400) + 0.20 (1200) = 360
Z5 = 0.30 (600) + 0.20 (1000) = 380
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5

X1
X2 Max Z = 0.30 X1 + 0.20 X2
(600,1000)
A B
C
D
E
Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0
Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180
Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240
Z4 = 0.30 (400) + 0.20 (1200) = 360
Z5 = 0.30 (600) + 0.20 (1000) = 380
Solución óptima: Se encuentra en
el punto C de las restricciones
activas (R1 y R3)
R1
R3
R2

Programa Lineal sin Solución Optima
La función objetivo es no acotado:
Ocurre cuando el objetivo puede
crecer infinitamente
(maximización)
No factible:
Ocurre cuando en el modelo no
hay ningún punto de factible

Modelo General de Programación
Lineal
Maximizar (o Minimizar) Z = C1 X1 + C2 X2 +....+ Cn Xn
Sujeto a:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 +....+ a1n Xn < b1
:
ak1 X1 + ak2 X2 + ak3 X3 +....+ akn Xn > bk
:
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +....+ amn Xn = bm
X1, X2, X3,...., Xn > 0
Se define las variables de decisión: X1, X2, X3,...., Xn

PROBLEMA
Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de
aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de
montaña, cuya utilidad son, respectivamente a
S/.60 y S/.40 cada una. Para la de paseo
empleará 1 kg. de acero y 3 kg. de aluminio, y
para la de montaña 2 kg. de ambos metales.
Como máximo se puede vender 30 bicicletas de
paseo. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de
montaña venderá?

PROBLEMA
Definición de las Variables de Decisión
x1 = Cantidad, en unidades, de bicicletas
de paseo que debe producir.
x2 = Cantidad, en unidades, de bicicletas
de montaña que debe producir.

PROBLEMA
Función Objetivo
Maximizar la utilidad total de los dos
productos:
Maximizar Z = 60 x1 + 40 x2

Restricciones
Cantidad máxima de acero < 80 kilos.
1 x1 + 2 x2 < 80
Cantidad máxima de aluminio < 120 kilos.
3 x1 + 2 x2 < 120
Demanda máxima bicicletas de paseo < 30 bici-
x1 < 30
PROBLEMA

Decisión Producir vs. Subcontratar:
Caso NOKIA Corporation
 NOKIA es un productor lider de celulares.
 La empresa ha recibido un pedido de
$750,000.
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Cantidad ordenada 3,000 2,000 900
Horas de equipamiento/unid 2 1.5 3
Horas de ensamblado/unid 1 2 1
Costo unitario de producir $50 $83 $130
Costo unitario subcontrata $61 $97 $145
 La compañía tiene 10,000 horas de capacidad
en equipamiento y 5,000 horas de capacidad en
ensamblado disponibles.

Definiendo las Variables de Decision
P1 = Cantidad del celular modelo 1 que se
produce en la empresa
S1 = Cantidad del celular modelo 1 que se
subcontrata
subcontrata
subcontrata

Definiendo la Función Objetivo
Minimizar el costo total de cumplir la orden.
Minimizar: 50 P1 + 83 P2 + 130 P3 + 61 S1 + 97 S2
+ 145 S3

Definiendo las Restricciones
 Restricciones de Demanda
P1 + S1 = 3,000 } modelo 1
P2 + S2 = 2,000 } modelo 2
P3 + S3 = 900 } modelo 3
 Restricciones de Recursos
2P1 + 1.5P2 + 3P3 < 10,000 } Equipamiento
1P1 + 2.0P2 + 1P3 < 5,000 } Ensamblado
 Condición de no negatividad
P1, P2, P3, S1, S2, S3 > 0

Un Problema de Inversión:
Retirement Planning Services, Inc.
 Un cliente desea invertir $750,000 en los
siguientes bonos
Años de
Compañía Retorno Vencto. Rating
Acme Chemical 8.65% 11 1-Excelente
DynaStar 9.50% 10 3-Bueno
Eagle Vision 10.00% 6 4-Regular
Micro Modeling 8.75% 10 1-Excelente
OptiPro 9.25% 7 3-Bueno
Sabre Systems 9.00% 13 2-Muy Bueno

Restricciones de Inversión
 No más del 25% puede ser invertido
en cualquier compañía.
 Al menos 50% debería ser invertido
en bonos a largo plazo (vencimiento
mayor o igual de 10 años).
 No más del 35% puede ser invertido
en DynaStar, Eagle Vision, y OptiPro.

Definiendo las Variables de Decisión
X1 = Monto de dinero a invertir en Acme Chemical
X2 = Monto de dinero a invertir en DynaStar
X3 = Monto de dinero a invertir en Eagle Vision
X4 = Monto de dinero a invertir en MicroModeling
X5 = Monto de dinero a invertir en OptiPro
X6 = Monto de dinero a invertir en Sabre Systems

Maximizar el retorno anual total invertido
MAXIMIZAR: 0.0865 X1 + 0.095 X2 + 0.10 X3 + 0.0875 X4 +
0.0925 X5 + 0.09 X6

 Monto total a invertir
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 750,000
 No más del 25% en alguna compañía
Xi < 187,500, para todo i
 Restricción 50% en inversión a largo plazo
X1 + X2 + X4 + X6 > 375,000
 Restricción del 35% en DynaStar, Eagle Vision,
and OptiPro.
X2 + X3 + X5 < 262,500
 Condición de no negatividad
Xi > 0 para todo i

Problema de Transporte:
Caso Cosmic Computer
 En la tabla se muestra el costo del embarque de
una microcomputadora desde la planta de
ensamblaje hasta cada una de las distintas
tiendas minoristas.
S.DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS
San Francisco 5 3 2 6
Los Angeles 4 7 8 10
Phoenix 6 5 3 8
PLANTAS
TIENDAS

Diagrama de redes
 Se puede esquematizar el problema a fin de
identificar las variables y plantear el modelo.
San Francisco
1700
D1
S2
S3
D2
D3
D4
S1
Los Angeles
2000
Phoenix
1700
San Diego
1700
Barstow
1000
Tucson
1500
Dallas
1200
5
4
6
3
7
8
3
8
10
6
2
3

Definiendo las Variables de Decisión
Xij = # de microcomputadoras por embarcar
desde la planta i (i=1,2,3) hasta el destino j
(j=1,2,3,4).
Por ejemplo:
X13 = # de microcomputadoras por embarcar
de la planta de ensamblaje 1 (San Francisco)
a la tienda 3 (Tucson)

 Minimizar los costos de embarque desde todas
las plantas a todas las tiendas.
Min ( 5 X11 + 3 X12 + 2 X13 + 6 X14) +
( 4 X21 + 7 X22 + 8 X23 + 10 X24) +
( 6 X31 + 5 X32 + 3 X33 + 8 X34)

 El embarque total de cada planta no debe exceder
su capacidad.
X11 + X12 + X13 + X14 < 1700 (SF)
X21 + X22 + X23 + X24 < 2000 (LA)
X31 + X32 + X33 + X34 < 1700 (PH)
 El embarque total recibida por cada tienda
debe satisfacer su demanda.
X11 + X21 + X31 = 1700
X12 + X22 + X32 = 2000
X13 + X23 + X33 = 1500
X14 + X24 + X34 = 1200
El embarque debe ser un número entero no
negativo.

Solución Usando Hoja de Cálculo
Excel®
Los libros americanos en programación lineal
utilizan el software Solver®, que es una
herramienta de la hoja de cálculo Excel® de
Microsoft®, para hallar la solución de un
programa lineal.

Solución Usando Hoja de Cálculo
Excel®
En el menú Herramientas, aparece el
comando Solver. Si no aparece, se deberá
instalar el complemento o macro automática
Solver.

Maximizar Z = 0.30 x1 + 0.20 x2 (Beneficio Total)
s.a.
1 x1 + 0 x2 < 600 (Cantidad máxima de Papaya)
0 x1 + 1 x2 < 1200 (Cantidad máxima de Naranja)
1 x1 + 1 x2 < 1600 (Carga máxima de la camioneta)
x1, x2 > 0 (Condición de no negatividad)
Solución del modelo con Hoja de
Cálculo Excel®

Aquí se colocan los coeficientes de la función objetivo
Aquí se colocan los coeficientes de las restricciones
Se coloca el
tipo de
restricción
como
referencia
Aquí se
colocan los
coeficientes del
lado derecho
de las
restricciones

Los
valores
iniciales
de X1 y
X2 son
cero y se
colocan
en las
celdas B4
y C4
En la celda E4 se coloca la fórmula de la función objetivo
Z = 0.3 X1 + 0.2 X2  B3*B4+C3*C4

Se ingresa en la celda D7 la fórmula:
=SUMAPRODUCTO(B$4:C$4,B7:C7)
y es equivalente a =B4*B7+C4*C7
Se copia la fórmula
de la celda D7

Seleccione del menú Herramientas / Solver... Aparecerá el
cuadro de diálogo Parámetros de Solver, en la que
ingresaremos los datos.

MUCHAS GRACIAS
Ing. Luis Medina Aquino
X2
X1
R1
R2
R3

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