En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de series. Concretamente estudiaremos la convergencia de una determinada serie, para lo que utilizaremos el criterio del cociente.

1. CONVERGENCIA DE SERIES
FdeT
Enunciado: Estudia la convergencia de la serie 𝑛≥1
𝑛3 𝑛+1
2 𝑛

2. CONVERGENCIA DE SERIES
FdeT
Enunciado: Estudia la convergencia de la serie 𝑛≥1
𝑛3 𝑛+1
2 𝑛
Recordamos el criterio del cociente o de D´Alembert:
Dada la serie 𝑛≥1 𝑎 𝑛, con 𝑎 𝑛 > 0.
• Si lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= 𝐿 < 1, entonces la serie es convergente.
• Si lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= 𝐿 > 1, entonces la serie no es convergente.

3. CONVERGENCIA DE SERIES
FdeT
Aplicamos este criterio a la serie del enunciado:
𝑛≥1
𝑛3 𝑛+1
2 𝑛
En este caso 𝑎 𝑛 =
𝑛3 𝑛+1
2 𝑛 > 0.
Calculo el límite
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)3 𝑛+2
2 𝑛+1
𝑛3 𝑛+1
2 𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)3 𝑛+22 𝑛
𝑛2 𝑛+13 𝑛+1
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)3 𝑛+13 ∙ 2 𝑛
𝑛2 𝑛2 ∙ 3 𝑛+1
= lim
𝑛→∞
3 𝑛 + 1
2𝑛
=
3
2
Como
3
2
> 1, entonces por el criterio del cociente, la serie no converge.