1) El documento describe los conceptos básicos del movimiento de rotación, incluyendo cantidades como velocidad angular, aceleración angular y desplazamiento angular. 2) Explica que la velocidad angular y aceleración angular son propiedades del objeto en rotación como un todo, mientras que la velocidad y aceleración de cada punto pueden calcularse a partir de estas cantidades angulares y la distancia del punto al eje de rotación. 3) Introduce el uso de radianes para medir ángulos, debido a que las matemáticas del

1. 194
CAPÍTULO8
Movimiento de rotación
Cualquier persona puede ex-
perimentar la sensación de so-
meterse a una rápida rotación,
si su estómago resiste la gran
velocidad angular y la acele-
ración centrípeta de algunos
de los juegos más rápidos de
los parques de diversiones. Si
no, podría intentar con jue-
gos más lentos, como el tiovi-
vo o la rueda de la fortuna.
Los juegos giratorios de las
ferias tienen EC de rotación y
también la cantidad de movi-
miento angular.
H
asta ahora nos hemos ocupado principalmente del movimiento de trasla-
ción. Analizamos la cinemática y la dinámica del movimiento de traslación
(el papel de la fuerza), y la energía y la cantidad de movimiento asociados
con él. En este capítulo se estudiará el movimiento de rotación. Se explicará la cine-
mática del movimiento de rotación y luego su dinámica (que incluye la torca), así
como la energía cinética de rotación y la cantidad de movimiento angular (el análogo
de rotación de la cantidad de movimiento lineal). Se encontrarán muchas analogías
con el movimiento de traslación, lo que hará más sencillo el estudio. La compren-
sión del mundo a nuestro alrededor crecerá significativamente, pues se explicará
desde cómo giran las ruedas de la bicicleta, los discos compactos y los juegos de los
parques de diversiones, hasta cómo es que un patinador da vueltas y cómo gira la
Tierra o una centrifugadora. También es probable que haya algunas sorpresas.
Principalmente, se considerará la rotación de los objetos rígidos. Un objeto rígi-
do es un objeto con una forma definida que no cambia, de modo que las partículas
que lo componen permanecen en posiciones fijas unas en relación con las otras. Cual-
quier objeto real es capaz de vibrar o deformarse cuando sobre él se ejerce una
fuerza. Pero estos efectos con frecuencia son muy pequeños, así que el concepto de
un objeto rígido ideal es muy útil como una buena aproximación.

2. r
O
r
O
P
x
b)
θ
a)
l
x
P
FIGURA 8–1 Vista de una rueda
que gira en sentido contrario a las
manecillas del reloj en torno a un eje
a través del centro O de la rueda
(eje perpendicular a la página). Cada
punto, como el punto P, se mueve en
una trayectoria circular; l es la
distancia que recorre P conforme la
rueda gira a través del ángulo u.
SECCIÓN 8–1 Cantidades angulares 195
1 rad: longitud de arco radio
u en radianes
Conversión de grados a radianes
1 rad L 57.3°
Cantidades angulares
En el capítulo 7 (sección 7-8) se vio que el movimiento de un objeto rígido se pue-
de analizar como el movimiento de traslación del centro de masa del objeto, más el
movimiento de rotación en torno a su centro de masa. Ya se estudió en detalle el mo-
vimiento de traslación, así que ahora el enfoque será sobre el movimiento meramen-
te de rotación. Con el término movimiento meramente de rotación se da a entender
que todos los puntos del objeto se mueven en círculos, como el punto P en la rueda
giratoria de la figura 8-1, y que todos los centros de dichos círculos se encuentran
sobre una línea llamada eje de rotación. En la figura 8-1, el eje de rotación es per-
pendicular a la página y pasa a través del punto O.
Todo punto en un objeto que gira en torno a un eje fijo se mueve en un círculo
(que, para el punto P de la figura 8-1, se muestra punteado) cuyo centro está sobre
el eje y cuyo radio es r, la distancia de dicho punto desde el eje de rotación. Una lí-
nea recta dibujada desde el eje hasta cualquier punto barre el mismo ángulo u en el
mismo tiempo.
Para indicar la posición angular de un objeto en rotación, o cuánto ha girado, se
especifica el ángulo u de cierta línea particular en el objeto (que se indica en azul,
en la figura 8-1) con respecto a una línea de referencia, como el eje x en la figura 8-1.
Un punto en el objeto, como el P en la figura 8-1, se mueve a través de un ángulo u
cuando recorre la distancia l medida a lo largo de la circunferencia de su trayectoria
circular. Por lo general, los ángulos se miden en grados, pero las matemáticas del
movimiento circular son mucho más simples si se usa el radián para la medición an-
gular. Un radián (abreviado rad) se define como el ángulo subtendido por un arco
cuya longitud es igual al radio. Por ejemplo, en la figura 8-1b, el punto P está a una
distancia r del eje de rotación, y se ha movido una distancia l a lo largo del arco de
un círculo. Se dice que la longitud del arco l “subtiende” el ángulo u. Si l r, enton-
ces u es exactamente igual a 1 rad. En radianes, cualquier ángulo u está dado por
(8–1a)
donde r es el radio del círculo y l es la longitud del arco subtendido por el ángulo es-
pecificado en radianes. Si l r, entonces u 1 rad.
El radián es adimensional puesto que es la razón de dos longitudes. No obstante,
cuando se proporciona un ángulo en radianes, siempre se menciona rad para recor-
dar que no se trata de grados. Con frecuencia es útil rescribir la ecuación 8-1a en
términos de la longitud de arco l:
(8–1b)
Los radianes se relacionan con los grados de la forma siguiente. En un círculo com-
pleto existen 360°, que deben corresponder a una longitud de arco igual a la circun-
ferencia del círculo, l 2pr. En consecuencia, en un
círculo completo, de modo que
Por tanto, un radián es Un objeto que da una revo-
lución (rev) completa ha girado a través de 360°, o 2p radianes:
EJEMPLO 8–1 Rueda de una bicicleta. Una rueda de bicicleta da 4.50 revo-
luciones. ¿Cuántos radianes ha girado?
PLANTEAMIENTO Todo lo que se necesita es una conversión directa de unidades
utilizando
SOLUCIÓN
4.50 revoluciones = (4.50 rev) a 2p
rad
rev
b = 9.00p rad = 28.3 rad.
1 revolución = 360° = 2p rad = 6.28 rad.
1 rev = 360° = 2p rad.
360°2p L 360°6.28 L 57.3°.
360° = 2p rad.
u = lr = 2prr = 2p rad
l = ru.
u =
l
r
,
8–1

3. FIGURA 8–3 Una rueda gira desde
a) la posición inicial u1 hasta b) la po-
sición final u2. El desplazamiento an-
gular es ¢u = u2 - u1 .
l
θ
Cuerda
Longitud del arco
a) b)
r
FIGURA 8–2 a) Ejemplo 8-2.
b) Para ángulos pequeños, la longitud
del arco y la longitud de la cuerda
(línea recta) son casi iguales.
196 CAPÍTULO 8 Movimiento de rotación
Desplazamiento angular
(rad)
†
Incluso para un ángulo tan grande como 15°, el error al hacer esta estimación sólo es del 1%, pero
para ángulos más grandes, el error aumenta rápidamente.
‡
En la sección 8-9 (opcional) se discute la naturaleza vectorial de la velocidad angular y de otras
cantidades angulares.
EJEMPLO 8–2 Aves depredadoras, en radianes. El ojo de una ave particu-
lar apenas puede distinguir los objetos que subtienden un ángulo no menor de 3
104
rad. a) ¿Cuántos grados es esto? b) ¿Cuán pequeño será el objeto que el
ave apenas pueda distinguir cuando vuele a una altura de 100 m (figura 8-2a)?
PLANTEAMIENTO Para a) se usa la relación 360° 2p rad. Para b) se usa la
ecuación 8-1b, l ru, para encontrar la longitud del arco.
SOLUCIÓN a) Se convierte 3 104
rad a grados:
b) Se emplea la ecuación 8-1b, l ru. Para ángulos pequeños, la longitud de arco l
y la longitud de la cuerda son aproximadamente†
iguales (figura 8-2b). Como r
100 m y u 3 10-4
rad, se encuentra
Una ave puede distinguir un pequeño ratón (de aproximadamente 3 cm de longi-
tud) desde una altura de 100 m. Ésta es una buena agudeza visual.
NOTA Si el ángulo se hubiese proporcionado en grados, primero se habría tenido
que hacer la conversión a radianes para realizar este cálculo. La ecuación 8-1 es
válida solamente si el ángulo está especificado en radianes. Los grados (o revolu-
ciones) no funcionarán.
Para describir el movimiento de rotación, se usan cantidades angulares, como la
velocidad angular y la aceleración angular. A estas cantidades se les define en analogía
con las cantidades correspondientes al movimiento lineal, y se eligen para describir al
objeto en rotación como un todo, así que son las mismas para cada punto del objeto.
Cada punto de un objeto en rotación también puede tener velocidad y aceleración de
traslación, pero éstas tienen valores distintos para diferentes puntos del objeto.
Cuando un objeto, como la rueda de bicicleta de la figura 8-3, gira desde cierta
posición inicial, especificada como u1, hasta alguna posición final, u2, su desplaza-
miento angular es
La velocidad angular (denotada por la letra griega minúscula omega, v) se defi-
ne en analogía con la velocidad lineal (de traslación) que se estudió en el capítulo 2.
En lugar del desplazamiento lineal, se utiliza el desplazamiento angular. Por tanto, la
velocidad angular promedio se define como
(8–2a)
donde ¢u es el ángulo a través del cual ha girado el objeto en el intervalo de tiem-
po ¢t. La velocidad angular instantánea se define como el muy pequeño ángulo ¢u
a través del cual el objeto gira en el muy corto intervalo de tiempo ¢t:
(8–2b)
Generalmente, la velocidad angular se especifica en radianes por segundo (rads).
Note que todos los puntos en un objeto rígido giran con la misma velocidad angular,
pues toda posición en el objeto se mueve a través del mismo ángulo en el mismo in-
tervalo de tiempo.
Un objeto como la rueda de la figura 8-3 puede girar en torno a un eje fijo ya
sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. La dirección se es-
pecifica con los signos o , tal como se hizo en el capítulo 2 para el movimiento
lineal a lo largo del eje x o x. La convención habitual consiste en elegir el des-
plazamiento angular ¢u y la velocidad angular v como positivos cuando la rueda gi-
ra en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si la rotación es en el sentido de
las manecillas del reloj, entonces u disminuye, por lo que ¢u y v serán negativos.‡
v = lím
¢tS 0
¢u
¢t
.
j =
¢u
¢t
,
¢u = u2 - u1 .
l = (100 m)A3 * 10–4
radB = 3 * 10–2
m = 3 cm.
A3 * 10–4
radB a
360°
2p rad
b = 0.017°.
θ1
θ2
θ1
x
x
a)
b)
θ
∆
Velocidad
angular

4. FIGURA 8–4 Un punto P sobre una rueda
en rotación tiene una velocidad lineal en
cualquier momento.
v
B
SECCIÓN 8–1 Cantidades angulares 197
Aceleración
angular
Relación de las velocidades
lineal y angular
La aceleración angular (denotada por la letra griega minúscula alfa, a), en ana-
logía con la aceleración lineal, se define como el cambio en la velocidad angular di-
vidida por el tiempo requerido para efectuar este cambio. La aceleración angular
promedio se define como
(8–3a)
donde v1 es la velocidad angular inicial y v2 es la velocidad angular después de un
intervalo de tiempo ¢t. La aceleración angular instantánea se define comúnmente
como el límite de esta razón conforme ¢t tiende a cero:
(8–3b)
Como v es la misma para todos los puntos de un objeto en rotación, la ecuación 8-3
indica que a también será la misma para todos los puntos. En consecuencia, v y a
son propiedades del objeto en rotación como un todo. Con v se mide en radianes
por segundo y t en segundos, a estará expresada como radianes por segundo al cua-
drado (rads2
).
Cada punto o partícula de un objeto rígido en rotación tiene, en cualquier mo-
mento, una velocidad lineal v y una aceleración lineal a. Es posible relacionar las
cantidades lineales en cada punto, v y a, con las cantidades angulares del objeto en
rotación, v y a. Considere un punto P ubicado a una distancia r desde el eje de ro-
tación, como en la figura 8-4. Si el objeto gira con velocidad angular v, cualquier
punto tendrá una velocidad lineal cuya dirección es tangente a su trayectoria circu-
lar. La magnitud de la velocidad lineal de dicho punto es A partir de la
ecuación 8-1b, un cambio en el ángulo de rotación ¢u (en radianes) está relacionado
con la distancia lineal recorrida por En consecuencia
o
(8–4)
De esta forma, aunque v es la misma para cada punto en el objeto en rotación en
cualquier instante, la velocidad lineal v es mayor para los puntos más alejados del
eje (figura 8-5). Note que la ecuación 8-4 es válida instantáneamente y también en
el promedio.
v = rv.
v =
¢l
¢t
= r
¢u
¢t
¢l = r ¢u.
v = ¢l¢t.
a = lím
¢tS0
¢v
¢t
.
k =
v2 - v1
¢t
=
¢v
¢t
,
θ
ω
B
A
A′
B′
rA
O
rB
v
B
v
B
v
B
v
B
FIGURA 8–5 Una rueda que gira de manera uniforme en
sentido contrario a las manecillas del reloj. Dos puntos sobre la
rueda, a distancias rA y rB desde el centro, tienen la misma
velocidad angular v porque recorren el mismo ángulo u en el
mismo intervalo de tiempo. Pero los dos puntos tienen distintas
velocidades lineales porque recorren diferentes distancias en el
mismo intervalo de tiempo. Como entonces
vB 7 vA (v = rv).
rB 7 rA ,
O
P
r
x
ω
l
θ
v
B

5. ω P
R
tan
a
B
a
B
FIGURA 8–6 En una rueda en
rotación cuya rapidez angular va en
aumento, un punto P tiene componentes
tangencial y radial (centrípetas) de
aceleración lineal. (Véase también el
capítulo 5.)
198 CAPÍTULO 8 Movimiento de rotación
Aceleración tangencial
Aceleración
centrípeta
(o radial)
†
“Radial” significa a lo largo del radio, es decir, hacia o desde el centro del eje.
EJEMPLO CONCEPTUAL 8–3 ¿El león es más rápido que el caballo? En
un carrusel o tiovivo en rotación, un niño se sienta sobre un caballo cerca de la orilla
y otro niño se sienta sobre un león a la mitad del camino desde el centro. a) ¿Cuál
de los dos niños tiene la mayor velocidad lineal? b) ¿Cuál de ellos tiene la mayor
velocidad angular?
RESPUESTA a) La velocidad lineal es la distancia recorrida dividida entre el in-
tervalo de tiempo. En una rotación, el niño situado en la orilla recorre una distan-
cia más larga que el niño cerca del centro, pero el intervalo de tiempo es el mismo
para ambos. Por tanto, el niño que está en la orilla, sentado sobre el caballo, tiene
la mayor velocidad lineal.
b) La velocidad angular es el ángulo de rotación dividido entre el intervalo de
tiempo. En una rotación ambos niños giran a través del mismo ángulo (360° 2p
radianes). Los dos niños tienen la misma velocidad angular.
Si cambia la velocidad angular de un objeto en rotación, el objeto como un to-
do (y cada punto en él) tiene una aceleración angular. Cada punto también tiene
una aceleración lineal cuya dirección es tangente a la trayectoria circular de dicho
punto. La ecuación 8-4 (v rv) sirve para demostrar que la aceleración angular a
está relacionada con la aceleración lineal tangencial atan de un punto en el objeto en
rotación por
o
(8–5)
En esta ecuación, r es el radio del círculo en el que se mueve la partícula, y el subín-
dice “tan” en atan significa “tangencial”.
La aceleración lineal total de un punto es la suma vectorial de dos componentes:
donde el componente radial,†
es la aceleración radial o “centrípeta” y su direc-
ción es hacia el centro de la trayectoria circular del punto; observe la figura 8-6. En
el capítulo 5 se vio (ecuación 5-1) que que se puede rescribir en térmi-
nos de v utilizando la ecuación 8-4:
(8–6)
De esta manera, la aceleración centrípeta es mayor cuanto más nos alejemos del eje
de rotación: el niño que está más cerca de la orilla del carrusel siente mayor acele-
ración. Las ecuaciones 8-4, 8-5 y 8-6 relacionan las cantidades angulares que descri-
ben la rotación de un objeto con las cantidades lineales para cada punto de éste. La
tabla 8-1 resume estas relaciones.
aR =
v2
r
=
(rv)2
r
= v2
r.
aR = v2
r,
a
B
R ,
a
B
= a
B
tan + a
B
R ,
atan = ra.
atan =
¢v
¢t
= r
¢v
¢t
TABLA 8–1 Cantidades lineales y de rotación
Lineal Tipo De rotación Relación
x desplazamiento
velocidad
aceleración atan = ra
a
atan
v = rv
v
v
x = ru
u