Algebra desde cero

1. Prof. Isaías Aguilar G.
Ing. En Administración de
empresas, mención Finanzas
profe.iag@gmail.com
+569 7959 1751

2. TEMAS A TRATAR
 Lenguaje algebraico: Variables y constantes
 Uso del lenguaje algebraico
 Operatoria Algebraica
 Polinomios, productos notables y factorización

3. RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
 Entender el lenguaje algebraico y algunas de sus propiedades para poder
resolver ecuaciones e inecuaciones, que permitan la demostración efectiva
de un conjunto solución en contextos reales.

4. LENGUAJE ALGEBRAICO

5. LENGUAJE ALGEBRAICO
 El lenguaje algebraico es el lenguaje de las matemáticas. Es decir, a un
sistema de expresión que emplea símbolos y números para expresar aquello
que usualmente comunicamos mediante palabras, y que nos permiten
formular teoremas, resolver problemas y expresar proporciones o relaciones
formales de distinta naturaleza.

6. LENGUAJE ALGEBRAICO
 El lenguaje algebraico nació junto con el algebra, la rama de las matemáticas
que estudia la relación y la combinación de elementos abstractos de acuerdo
a ciertas reglas.
 Dichos elementos pueden ser números o cantidades, pero también pueden
ser valores desconocidos o rangos numéricos determinados, para lo cual se
emplean letras (conocidas como incógnitas o variables).

7. ¿PARA QUE SIRVE EL LENGUAJE ALGEBRAICO?
 Sirve para construir expresiones algebraicas*, es decir, formulaciones en
las que números, símbolos y letras se combinan para expresar una
relación lógica y/o formal, en la que algunas cantidades se conocen y otras
son desconocidas. Algunas expresiones son
Incógnitas o variables
Signos aritméticos
Superíndices o potencias
Raíces o Radicales
Funciones
*Son cadenas ordenadas de
estos signos, en las cuales
hallaremos números, letras
y operadores aritméticos.

8. USANDO EL LENGUAJE ALGEBRAICO
 Una vez que ya entendemos el concepto principal y sus funciones, nos toca
ahora empezar a utilizarlo. Para ello entenderemos que cuando hablamos de
un número (desconocido o cualquiera) lo representaremos con una letra.
 Entonces, como primer termino de lenguaje algebraico, usaremos la
expresión “Un número cualquiera”.
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎: 𝑥

9. USANDO EL LENGUAJE ALGEBRAICO
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑐𝑒: 𝑥 + 12
𝑆𝑖𝑒𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 ∶ 7 + 𝑥
𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 ∶ 2𝑥
𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 ∶ 3𝑥
𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 ∶ 𝑥2
𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 ∶ 𝑥

10. USANDO EL LENGUAJE ALGEBRAICO
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠: 𝑥 + y
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠: 𝑥 × 𝑦
𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠: 𝑥 − 𝑦
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠: 𝑥
𝑦
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑥 + 𝑥

11. USANDO EL LENGUAJE ALGEBRAICO
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:
𝑥 − 4
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜:
𝑥 +(𝑥 + 1)
𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠:
𝑥 + 𝑦
( )2

12. USANDO EL LENGUAJE ALGEBRAICO
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑣𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒:
𝑥 + 15 = 20
𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜
𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 8:
2𝑥 + 3𝑦= 8
𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟:
2𝑥; 2𝑥 + 1

13. ACTIVIDAD
−𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 100
−45 𝑚𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
−𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
−𝑆𝑖𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
−𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
−𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝑈𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎
𝑥 + 100
45 + 𝑥
2𝑥
7𝑥
𝑥 × 𝑦
𝑥3
𝑥 − 𝑦
𝑥 − 40 = 70

14. ACTIVIDAD 2
−𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐶𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 4
−𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
−𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
2(𝑥 × y)
3(𝑥
𝑦)
𝑥 + 𝑦 2
𝑥2
+ 𝑦2
5𝑥 − 4
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥 + 𝑥 + 1 2

15. OPERATIVA ALGEBRAICA

16. OPERATIVA ALGEBRAICA
 Imaginemos que tengo 2 rebaños en donde el primero tengo 3 vacas y en el
segundo tengo 5 vacas. ¿Cuántas vacas tengo?
3 +5 = 8
 Que pasa si en el segundo rebaño, aparte de las 5 vacas, también tengo 2
toros. ¿Cuántas vacas y toros tengo?

17. OPERATIVA ALGEBRAICA
 Veamos.
3 +5 = 8
 No puedo sumar las vacas con los toros porque no son iguales. ¿Cierto?
+2 +2

18. OPERATIVA ALGEBRAICA
 Lo mismo ocurre con las expresiones algebraicas. Si no son términos
semejantes no se pueden sumar.
3𝑥 +5𝑥 = 8𝑥
+2𝑦 +2y
 Las operativas algebraicas se basan siempre en que sus términos
semejantes se pueden operar, ya sea sumar, dividir, multiplicar, potenciar o
radicalizar.

19. OPERATIVA ALGEBRAICA: SUMA Y RESTA
 Cuando tenemos sumar o restar expresiones algebraicas, solamente
debemos sumar los coeficientes.
𝑥+2𝑥 = 3𝑥
*Si el termino solo es
letra, su coeficiente
siempre va a ser 1
3𝑦 − y = 2𝑦

20. OPERATIVA ALGEBRAICA: SUMA Y RESTA
 Es importante entender que si no hay términos semejantes, no se pueden
operar.
2𝑥𝑦 +2𝑥 = 2𝑥𝑦 + 2𝑦 No hay términos semejante,
por lo que la expresión se
mantiene igual
2𝑥 −2y = 7𝑥 − 2𝑦
+5𝑥

21. OPERATIVA ALGEBRAICA: MULTIPLICACIÓN
 La multiplicación es un poco mas compleja, ya que se utiliza la propiedad de
las potencias.
Clase 3 – Exponentes y raíces, D.10

22. OPERATIVA ALGEBRAICA: MULTIPLICACIÓN
 Ejemplos.
𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥1+1
𝑥2
∗ 2𝑥 = 2𝑥3
𝑥𝑦 ∗ 𝑥2
= 𝑥3
𝑦
3𝑥 ∗ 5𝑥2
= 15𝑥3
= 𝑥2

23. OPERATIVA ALGEBRAICA: MULTIPLICACIÓN
 También debemos considerar los signos.
−2𝑥𝑦 −5𝑥2
=
3𝑥2
𝑦(−5𝑥𝑦) = −15𝑥3
𝑦2
+ 10𝑥3
𝑦

24. OPERATIVA ALGEBRAICA: POTENCIA
 La potenciación utiliza una propiedad.
Clase 3 – Exponentes y raíces, D.12

25. OPERATIVA ALGEBRAICA: POTENCIA
 Ejemplos
3𝑥 2
= 9𝑥2
5𝑥2
𝑦3 2
= 25𝑥4
𝑦6
−3𝑥5 3
= −27𝑥15 Hay que considerar el signo en las
potencias. Entonces -3x-3x-3 =-27,
porque (-) x (-) = (+) x (-) = (-)

26. ACTIVIDAD
−7𝑥5 2 5𝑚3 4
3𝑥𝑦2
+ 5𝑥𝑦2
−2𝑥𝑦2
(5𝑥𝑦2
) −(5𝑥2
𝑦3
)
2
−7𝑚𝑛 + 3𝑚𝑛
49𝑥10
625𝑚12
8𝑥𝑦2
−10𝑥2
𝑦4
−25𝑥4
𝑦6
−4𝑚𝑛

27. POLINOMIOS

28. ¿QUÉ ES UN POLINOMIO?
 Es la suma de uno o mas términos algebraicos* cuyas variables tienen
exponentes enteros positivos:
8𝑥 3𝑎 + b 5𝑥2
+ 3𝑥 + 2
5
4
𝑎3
𝑏 −
3
2
𝑎2
𝑏2
+ 5𝑏3
*Son expresiones algébricas
que no se están ni sumando
ni restando.

29. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
 Monomio: polinomios que constan de un solo término algebraico
8𝑥 −3𝑎2
𝑏 5𝑥2
𝑦3
2𝑎
1
2
Si bien esto es un termino algebraico valido. No
es un Monomio, ya que no tiene un exponente
entero positivo. Se denomina expresión
algebraica de 1 termino.

30. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
 Monomio: polinomios que constan de un solo término algebraico
𝑎 𝑎
1
2
No tiene un exponente entero
positivo. Por lo tanto tampoco es un
monomio
2𝑥2 Esto si es un monomio ya que el termino
algebraico (x) no esta dentro de la raíz y su
exponente si es un entero positivo.
Con esto concluimos que si existe
una letra o variable dentro de una
raíz, el término automáticamente
queda descartado como polinomio.

31. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
 Binomio: polinomios que constan de dos términos algebraicos
8𝑥 − 3𝑎2
𝑏 Los términos siempre parten desde
el signo
2
3
𝑎2
𝑏2
−
5
4
𝑎𝑏

32. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
 Trinomio: polinomios que constan de tres términos algebraicos
𝑎 + 𝑏 − 3 El 3 también es un
termino algebraico
2𝑥2
+ 5𝑥 − 7
5𝑚2
𝑛 + 2𝑚2
𝑛2
− 5𝑚𝑛3

33. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
 Ejemplos que no son considerados polinomios
5𝑎
𝑏
Esto si es un término, pero no es un monomio, ya
que si usamos propiedad de la potenciación
1
𝑥𝑦 = 𝑥−𝑦
5𝑎𝑏−1 Como vemos, b esta elevado a -1, por lo que, si
bien es un termino entero, no es positivo. Por lo que
se descarta su clasificación como monomio
Con esto concluimos que si existe una letra
o variable dentro de un denominador, el
término automáticamente queda descartado
como polinomio.

34. ACTIVIDAD
4𝑥2
− 𝑦3
5𝑎2
𝑏 − 3𝑎𝑏2
− 2
2
3
𝑚 −
3
4
𝑛 − 1
3𝑥 + 2𝑥
Binomio
Trinomio
Trinomio
5𝑥*
*Es importante que antes de clasificar un polinomio,
se debe revisar si no hay términos semejantes que
se puedan reducir. En este caso, ambos términos
tienen variables semejante, por lo que se suman.
Monomio

35. ACTIVIDAD 2
𝜋
2
𝑚2 − 1
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥
3𝑚 −
2
3
𝑛
5𝑚
𝑛
+ 𝑛2
3𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 5
𝑛 + 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
5𝑥 − 𝑦
Monomio
Monomio
Binomio
Trinomio
Binomio
Exp. Algebraica
Polinomio 4 ter.
Binomio
Trinomio
Exp. Algebraica
radical

36. PRODUCTOS NOTABLES

37. PRODUCTOS NOTABLES
 Los productos notables son formulas de ciertas expresiones algebraicas que
se utilizan para evitar tener que estar calculando estas expresiones de “forma
larga

38. PRODUCTOS NOTABLES
 Por ejemplo, pensemos en el cuadrado de un binomio.
(𝑎 + 𝑏)2
 Resolviéndolo de “forma larga”, quedaría.
(𝑎 + 𝑏)2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2
*
*Se puede colocar “ba”, pero por
convicción cuando hay multiplicación
de letras, siempre se colocan en
orden, ahora lo pusimos de esa forma
para que se entienda de donde viene.
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Se multiplica el primer termino por los otros
2 del segundo paréntesis, y luego se repite
el proceso con el segundo termino
Se suman los términos semejantes
Fórmula final

39. PRODUCTOS NOTABLES
 Ahora veamos el cuadrado de un binomio con un negativo.
(𝑎 − 𝑏)2
 Resolviéndolo de “forma larga”, quedaría.
(𝑎 − 𝑏)2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2*
*𝑏2
queda positivo porque
(-) x (-) = (+)
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Se multiplica el primer termino por los otros
2 del segundo paréntesis, y luego se repite
el proceso con el segundo termino
Se suman los términos semejantes
Fórmula final

40. PRODUCTOS NOTABLES
 Resumiendo entonces, el cuadrado de un binomio es:
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2
± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
 Sabiendo esto, nos saltamos todo el proceso de calculo y vamos
directamente a esta fórmula.

41. PRODUCTOS NOTABLES
 Veamos unos ejemplos:
(𝑥 + 5)2
= 𝑥2
(𝑥2
+ 𝑦)2
(𝑚 − 3)2
Siempre antes de partir, debemos verificar
que se trate de un cuadrado de binomio.
De lo contrario no debemos calcularlo con
la formula que vimos anteriormente
+2𝑥5 +52
= 𝑥2
+10𝑥+25
= (𝑥2
)2
+2𝑥y +𝑦2
= 𝑥4
+2𝑥2
𝑦+𝑦2
= 𝑚2
−2𝑚3+32
= 𝑚2
−6𝑚 +9
(𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

42. ACTIVIDAD
(𝑥 + 6)3
(𝑎2
+ 𝑏3
)2
No es un cuadrado de
binomio por lo que no se
puede resolver con esta
formula. Si no que con una
que veremos más adelante
= (𝑎2
)2
+2𝑎2
𝑏3
= 𝑎4
+2𝑎2
𝑏3
+𝑏6
+(𝑏3
)2
(𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

43. ACTIVIDAD 2
(5𝑚 − 2)2
(3𝑥3
− 2𝑦2
)2
(𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(−5𝑚2
+ 3𝑛2
)2
(3𝑥𝑦 + 5𝑥)2
= 3𝑥3 2 − 2 × 3𝑥3 × 2𝑦2 + 2𝑦2 2
= 9𝑥6
− 12𝑥3
𝑦2
+ 4𝑦4
= 5𝑚 2
− 2 × 5𝑚 × 2 + 22
= 25𝑚2 − 20𝑚 + 4
= 3𝑥𝑦 2 − 2 × 3𝑥𝑦 × 5𝑥 + 5𝑥 2
= 9𝑥2
𝑦2
+ 30𝑥2
𝑦 + 25𝑥2
Vamos la otra pagina por una
explicación

44. ACTIVIDAD 2
(−5𝑚2
+ 3𝑛2
)2 Hay dos formas de hacer este ejercicio: La primera es realizar la formula
tal cual, considerando el signo.
= −5𝑚2 2 − 2 × 5𝑚2 × 3𝑛2 + 3𝑛2
(3𝑛2
−5𝑚2
)2
= 3𝑛2 2 − 2 × 3𝑛2 × 5𝑚2 + −5𝑚2 2
= 9𝑛4
− 30𝑛2
𝑚2
+ 25𝑚4
= 25𝑚4
− 30𝑚2
𝑛2
+ 9𝑛4
= 9𝑛4 − 30𝑚2𝑛2 + 25𝑚4
La segunda es ordenar los termino para evitar
confusiones con los signos.

45. ACTIVIDAD 3
(𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
3
4
𝑥3
+
2
3
𝑦2
2
3
4
𝑥3
2
+2
3
4
𝑥3 +
2
3
𝑦2 +
2
3
𝑦2
2
.
1
9
16
𝑥6 +
12
12
𝑥3𝑦2
+
4
9
𝑦4
9
16
𝑥6 +𝑥3𝑦2
+
4
9
𝑦4

46. PRÓXIMA SEMANA
 Productos conjugados
Binomio conjugado
Binomio conjugado (suma por diferencia)
Cubo de un binomio
Triangulo de pascal
 Factorización
 Ecuaciones de primer y segundo grado

47. TAREA
 En los Materiales didácticos quedo un material a desarrollar
50 expresiones algebraicas
10 operativas algebraicas
10 ejercicios de productos notables
 Se debe entregar como máximo el domingo 30 de abril a las 15:00 hrs si no
llega en ese horario, NO SE REVISARÁ al correo electrónico
profe.iag@gmail.com
 Se opta a 1 punto (1,0) completo si el desarrollo esta completo y correcto

48. ESO ES TODO…
…Por hoy.