Curiosidad

1. En septiembre de 2019, se logra con la ayuda de un computador
resolver un enigma que tenía más de 60 años, donde el protagonista era el
número 42. Este año Franz Lameda involucra nuevamente al número 42,
con dos diferencias, la primera es que en aquella oportunidad se vio
involucrado junto al número 42, el número 33 y, en esta oportunidad los
protagonistas son los números 30 y 42. La segunda diferencia es que el
grado de complejidad no es el mismo, ni cerca, ya que esto es simplemente una curiosidad
más, de las infinitas que existen en el mundo de las matemáticas.
Para comenzar, él inicia con una especie de criba de Eratóstenes donde basado en
unos criterios señala la cantidad de divisores que posee cada número, en este caso se limita a
hacerlo desde el 2 hasta el 100 pero sirve para números mayores que este.
Comienza así, a colorear en la tabla de números:
Los números con dos divisores de color blanco, con tres divisores de amarillo, con cuatro
divisores de verde, con cinco divisores de azul, con seis divisores de naranja, con siete
divisores de rojo, con ocho divisores de gris, con nueve divisores de marrón, con diez
divisores de morado y por último, los de doce divisores de color rosado.
Criterios:
1. Para x primo, xm
posee (m + 1) divisores.
Así, los números primos poseen 2 divisores.
Los cuadrados de primos poseen tres divisores, los cubos de primos poseen 4 divisores
y así sucesivamente.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y
97 tienen dos divisores.
4, 9, 25 y 49 tienen tres divisores.
8 y 27 tienen cuatro divisores.
16 y 81 tienen cinco divisores.
32 tiene seis divisores.
64 tiene siete divisores.
2. Para x, y primos, x ≠ y, xm
yn
tiene (m+1)(n+1) divisores.
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82,
85, 86, 87, 91, 93, 94 y 95 tienen 4 divisores.
12, 18, 20, 28, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98 y 99 tienen seis divisores.
24, 40, 54, 56 y 88 tienen 8 divisores.
36 y 100 tienen 9 divisores.
48 y 80 tienen 10 divisores.
72 tiene 12 divisores.
3. Para x, y, z primos, x ≠ y ≠ z, xm
yn
zp
tiene (m+1)(n+1)(p+1) divisores.
30, 42, 66, 70 y 78 tienen 8 divisores.
60, 84, 90 y 96 tienen 12 divisores.

2. Quedando como resultado el siguiente cuadro:
La cuestión consiste en lo siguiente, vamos a omitir los números que contengan
cantidad impar de divisores, ahora bien, coloquemos un nombre, por ejemplo: números
Carolina a los números de la forma tal que la suma de los extremos de sus divisores sea un
número primo, esto es, si (1, a, b,…, c, d, K) dividen a K. Entonces:
1 + K es un número primo
a + d es un número primo
b + c es un número primo.
.
.
.
Claramente se nota ahora que debe ser par la cantidad de divisores para que esto
ocurra, otra cosa que debe ocurrir es que la suma del número en cuestión y la unidad sea un
número primo, entre otras que resultan notables a medida que se avanza en el tema.
El número 2 sería el único número primo que sea número Carolina, puesto que a
partir de este, todos los primos son impares y al sumarle la unidad resulta un número par y
por lo tanto, compuesto. Podemos entonces comenzar a nombrar números Carolina,
tenemos al seis (6) cuyos divisores son 1, 2, 3 y 6, donde 1 + 6 = 7 y 2 + 3 = 5; luego
tendríamos al número diez (10) con 1, 2, 5 y 10, donde 1 + 10 = 11 y 2 + 5 = 7.
Podemos hacer una sucesión de números Carolina con 4 divisores: 6, 10, 22, 58, 82…
pero, el m.c.m. (6,10) = 60, el cual no es un número Carolina por ser la mitad un número
par, nótese en el siguiente ejemplo que un número que la mitad sea par no puede ser
Carolina, veamos:

3. DK: 1, 2,…,2n, K; al adicionar 2 + 2n = número par, por lo que no podrá ser primo, y
por ende, el número en cuestión no será un número Carolina.
En el mismo sentido se puede observar los m.c.m. de los otros números de la
sucesión de dos a dos, el m.c.m. (6,22) = 66, el m.c.m. (6,58) = 174, el m.c.m. (6,82) = 246,
el m.c.m. (10, 22) = 110, el m.c.m. (10, 58) = 290, el m.c.m. (10, 82) = 410, el m.c.m. (22,
58) = 638, el m.c.m. (22, 82) = 902, el m.c.m. (58, 82) = 2378 ¿Por qué se están
considerando estos números? Porque en esto radica la curiosidad, ya nos acercamos a ella.
En los números con seis divisores podemos ver que no existen números Carolina, la
lista de estos es la siguiente: 12,18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98 y 99.
Eliminemos en primer lugar los números impares y los múltiplos de cuatro, quedando la lista
siguiente: 18, 50 y 98 de los que ninguno cumple con las condiciones.
Ahora, la lista de los números con ocho divisores es la que sigue: 24, 30, 42, 54, 56,
66, 70, 78 y 88; de los cuales son números Carolina los siguientes: 30, 42, 70 y 78; hasta
que por fin aparecieron los candidatos 30 y 42, y son estos los primeros números Carolina
pertenecientes a la misma cantidad de divisores tales que siendo Carolina, el m.c.m y
M.C.D. de estos, son también números Carolina.
m.c.m. (30, 42) = 210; M.C.D. (30, 42) = 6
D210: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 y 210; D6: 1, 2, 3 y 6
1 + 210 = 211, 2 + 105 = 107, 3 + 70 = 73, 5 + 42 = 47, 6 + 35 = 41, 7 + 30 = 37,
10 + 21 = 31, 14 + 15 = 29, 1 + 6 = 7 y 2 + 3 = 5, todas las sumas son números primos.