3 rozamiento

Tema 3. Problemas rozamiento.
Profesorado
Grupo A: María Tirado Miranda
Grupo B: Jorge Portí Durán
Grupo C: Artur Schmitt
Material elaborado por Jorge Portí Durán y Juan Francisco Gómez Lopera

2.‐Una barra AC homogénea está en equilibrio apoyada en los
puntos A y B de una superficie cilíndrica. Suponiendo que la
superficie es lisa en A y rugosa en B, determinar las reacciones
en A y B sobre la barra, así como el valor mínimo del
coeficiente estático de rozamiento en B. Datos: peso de la
barra 100kg, longitud L=6m, a=3.2m, =30.
A
B 
a
L

Los contactos se sustituyen por reacciones normales a la superficie en A y a la
varilla en B. La figura muestra la barra con las reacciones y algunas
dimensiones necesarias.
Solución: NA = 10.8kg,
NB = 81.2kg,
FR = 40.6kg.
0 cos sin 0 (1)
0 sin cos 0 (2)
0 cos 0 (3)
2
x A R
y B A
Az B
R N P F
R N N P
L
M a N P
 
 

    
    
   
Ecuaciones de equilibrio:
Diagrama de fuerzas y reacciones
A
B
C
NA
a
R
y
x
G
P
RBy=NB
RBx=FR
RB

NOTA SOBRE LA REACCIÓN EN B:
Nótese que la reacción en B
introducida por el rozamiento
equivale a la de una articulación,
siendo su componente y una
normal, siempre positiva, y su
componente x, el rozamiento, que
puede ser positivo o negativo.

Mínimo valor del coeficiente de rozamiento en B
• Las fuerzas obtenidas aseguran el equilibrio, pero sabemos que la
fuerza de rozamiento tiene un máximo determinado por el
coeficiente estático de rozamiento, de modo que FR≤ Frmax=µeN.
• Esto significa que, conocidos FR y N, µe debe cumplir µe≥ FR /N.
• En definitiva, µe debe superar un momento mínimo µmin= FR /N.
• En nuestro caso y para el punto B, µmin= FR /NB =40.6/81.2=0.5.

4.‐ Un cuerpo A de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo B
de masa mB, que a su vez se apoya sobre una superficie plana.
Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre A y B
son eAB y cAC y entre B y la superficie plana son eB y cB. Sobre
el cuerpo B se ejerce una fuerza horizontal de módulo F.
Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice y
determine la fuerza de rozamiento, FR1, entre A y B en ese
preciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo A
deslice respecto de B y el rozamiento entre los cuerpos A y B.
B
A
F

a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior
Fd1 genera la situación de deslizamiento
inminente del cuerpo B:
• Rozamiento máximo entre B y el
suelo.
• El rozamiento entre A y B no es
máximo.
• La aceleración del sistema y de cada
parte es nula, por tanto, se trata de
un PROBLEMA DE EQUILIBRIO
B
A
PB
PA
NB
NB
Fd1
Sistema global
B Fd1
PB
NB
NB
NA
FRA
Cuerpo inferior
A PA
NA
FRA
Cuerpo superior

a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior
B
A
PB
PA
NB
NB
Fd1
A PA
NA
FRA
Equilibrio del sistema global, situación de
deslizamiento inminente:
0 ,
0 0.
y A A
x RA
R N P
R F
  
  
donde g es la aceleración de la gravedad.
El sistema se comporta como un solo
cuerpo de peso la suma de ambos pesos.
Equilibrio del cuerpo superior:
1
0 ,
0 ( ) ( ) ,
y B A B
x d eB B eB A B eB A B
R N P P
R F N P P m m g  
   
      
El cuerpo superior no detecta rozamiento del
inferior puesto que éste aún no se ha movido.

Cuestiones previas:
• Se trata de un problema dinámico en el que una
fuerza F provoca movimiento del sistema con una
aceleración horizontal, a.
• El rozamiento FRB es el valor dinámico, cBNB,
puesto que hay movimiento relativo entre B y el
suelo.
• El rozamiento FRA genera la aceleración en el
cuerpo superior, pero, mientras A y B se muevan
juntos, se trata de una situación de rozamiento
estático entre A y B, es decir, 0≤ FRA ≤ eABNA.
• Mayor aceleración implica mayor rozamiento, FRA .
• La situación de deslizamiento inminente del cuerpo
A respecto del B se produce cuando FRA alcanza su
valor máximo, eABNA, y ocurre para F=Fd2.
b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior
respecto al inferior
B F
PB
NB
cB NB
NA
FRA
a
A PA
NA
FRA
a
Fd2

b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior
respecto al inferior: DESLIZAMIENTO INMINENTE
Movimiento del sistema superior
con una aceleración horizontal, a:
2
0 (3)
(4)
y B A B B A B
x B d cB B eAB A B
R N N P N P P
R m a F N N m a 
      
    
Movimiento del sistema inferior:
  2yeAB A
eAB d eAB cB A B
A
P
a g F m m g
m

      
Resolviendo el sistema:
0 (1)
(2)
y A A
eAB A
x A eAB A eAB A A eAB
A
R N P
P
R m a N P m a a g
m

  
  
      
B F
PB
NB
cB NB
NA
FRA
a
A PA
NA
FRA
a
Fd2

6.‐ El bloque A pesa 50N y el bloque B pesa 25N. Si el
coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies
es 0.15, determine el valor de  para el cual el movimiento es
inminente.
Figura 6

A
B

Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución

A
B
PB
PA
 NB
NB
T
T
NA

B
PB
 NB
NB
T
 NA

A
PA
T
NA
 NA

Sistema global: 2
ecuaciones y 3 incógnitas
Sistema superior: 2
Cuerpo inferior: 2
Estrategia:
Resolver 2 cualesquiera de los
sistemas indicados.

Resolución

A
B
PB
PA
 NB
NB
T
T
A
PA
T
NA
 NA

Equilibrio del sistema global:
Solución: T=31.0N y  =46.4°
 
 
0 2 sin 0 (1)
0 cos 0 (2)
x B A B
y B A B
R T N P P
R N P P
 

     
    
0 sin 0 (3)
0 cos 0 (4)
x A A
y A A
R T N P
R N P
 

    
   
Equilibrio del cuerpo superior:x
y

7.‐ El bloque A de peso 200kg se apoya sobre el bloque B de
peso 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloque
A se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al plano
inclinado. Determinar el ángulo  para el cual se inicia el
deslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento en
todas las superficies es 0.20.

A
B

Sistema global: 2
Sistema superior: 2
Cuerpo inferior: 2
Estrategia:
Resolver 2 cualesquiera de los
sistemas indicados.
A
PA

T
 NA
NA
A
B
PB
PA  NB
NB

T

B
PB
 NB
NB

 NA
NA

Resolución
A
PA

T
 NA
NA
A
B
PB
PA  NB
NB

T

Equilibrio del sistema global:
Solución:  =21°48’
 
 
0 sin 0 (1)
0 cos 0 (2)
x B A B
y B A B
R T N P P
R N P P
 

     
    
0 sin 0 (3)
0 cos 0 (4)
x A A
y A A
R T N P
R N P
 

    
   
Equilibrio del cuerpo superior:
x
y

11.‐ Dos cuñas de 8 y peso despreciable se utilizan para mover
y colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente de
rozamiento estático entre todas las superficies de contacto es
0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar a
una de las dos cuñas. (Sol. 1966N)
800kg
P
8º
8º

Sistema global: 2
Cuña: 2 ecuaciones y 3
incógnitas
Bloque: 2 ecuaciones y 2
incógnitas
Estrategia:
a) Resolver el bloque.
b) Resolver cuña o sistema global para obtener P.
P
8º
N1
 N1
N2
 N2
W
P
8º
N3
 N3
N2
 N2
N1
 N1
W
N3
 N3

Resolución
P
8º
N1
 N1
N2
 N2
W
N1
 N1
W
N3
 N3
Equilibrio del bloque:
Solución: P=1966 N
3 1
1 3
0 0 (1)
0 0 (2)
x
y
R N N
R N N W


   
    
1 2 2
1 2 2
0 cos sin 0 (3)
0 sin cos 0 (4)
x
y
R N N N
R N P N N W
   
  
     
      
Equilibrio del sistema global ( =8°):x
y

14.‐ Una cuña de 5 se deberá forzar bajo la base de una
máquina de 1400N en B. Si se sabe que el coeficiente de
rozamiento estático es 0.2 en todas las superficies, determine la
fuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo se
moverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquina
está en posición prácticamente horizontal, con la cuña levemente
insertada en el punto B, de modo que sólo mantiene contacto
puntual en A con el suelo y en B con la cuña.
P
A
B
1400N
0.4m1m

Cuestiones previas
• Consideraremos la máquina horizontal, pero sólo hay contacto en A con
el suelo y en B con la cuña.
• Alcanzada la situación de movimiento inminente se sabe que la cuña se
desplazará, pero se desconoce a priori el movimiento que describirá el
bloque.
• Tenemos dos posibilidades:
1. A partir de una fuerza P1, la cuña y el bloque presentan un contacto
muy rugoso en B y se produce desplazamiento del bloque en A.
2. A partir de una fuerza P2, el bloque y el suelo presentan un contacto
muy rugoso en A y la cuña se introduce debajo del bloque en B,
donde se produce deslizamiento.
• Resueltos ambos casos posibles, sucederá aquel que corresponda a un
menor valor de la fuerza P.
• Analizaremos el resultado para encontrar posibles contradicciones en el
caso que no sucede.

a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A,
pero no en B.
Sistema global: 2
incógnitas
Cuña: 2 ecuaciones y
4 incógnitas
P1
B
NC
 NC
NB
FRB
Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema
central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas
Solución
para P1
Estrategia 1:
a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0.
b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0,
para obtener P1.
P1
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
 NA
NC
 NC
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
 NA
NB
FRB

Resolución
Equilibrio del bloque ( =8°):
0 -1.4 0.4 0 (1)
0 sin cos 0 (2)
0 cos sin 0 (3)
Bz A
x A B RB
y A B RB
M N W
R N N F
R N N F W
  
 
   
    
     
1
0 0 (4)
0 0 (5)
y A C
x A C
R N W N
R N P N 
    
    
Equilibrio del sistema global ( =8°):
Conclusión parcial.
• La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N.
• Hay que ver si antes ocurre el caso b).
• Podríamos haber resuelto esta parte de forma más eficiente.
x
y
NA=400N
NB=1001.4N
FRB=‐59.95N
NC=1000N
P1=280N
P1
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
 NA
NC
 NC
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
 NA
NB
FRB

a) Caso 1: A partir de P1, se produce deslizamiento en A,
pero no en B.
Estrategia 2, más eficiente
Si la cuña y el cuerpo no deslizan, el sistema bloque‐cuña se comporta
como un solo cuerpo. Resolviendo el sistema bloque‐cuña, deberíamos
obtener la solución sin necesidad de descomponerlo en dos cuerpos.
Equilibrio del bloque‐cuña:
1
0 0 (1)
0 0 (2)
y A C
x A C
R N N W
R P N N 
    
    
El resultado muestra que es como si hubiera una sola normal y un solo
rozamiento, consecuencia directa del movimiento del sistema como un
solo cuerpo rígido.
 1
De (1), 1400 .
Sustituyendo en (2), 280N.
A C
A C
N N N
P N N
 
  
Solución:
x
y
P1
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
 NA
NC
 NC

b) Caso 2: A partir de P2, se produce deslizamiento en B,
pero no en A.
Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema
central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas
Solución
para P2
Estrategia 1:
a) Resolver el bloque: Rx =0, Ry =0 y MBz =0.
b) Resolver el sistema global, Rx =0, Ry =0, para
obtener P2.
Cuña: 2 ecuaciones y
3 incógnitas
P2
B
NC
 NC
NB
NB
Sistema global: 2
P2
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
FRA
NC
 NC
incógnitas
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
FRA
NB
NB

Resolución
Equilibrio del bloque ( =8°):
0 1.4 1 0 (1)
0 sin cos 0 (2)
0 cos sin 0 (3)
Bz A
x RA B B
y A B B
M N W
R F N N
R N N N W
  
  
    
     
     
Conclusión:
• La situación 1 ocurriría a partir de P1=280N, mientras que la situación 2
ocurriría a partir de P2=550.4N.
• Resultado: el sistema se mueve como una sola pieza, deslizando en A y C, a
partir de P=280N.
x
y
NA=400N
NB=1039.0N
FRA=350.4N
2
0 0 (4)
0 0 (5)
y A C
x RA C
R N W N
R F P N
    
    
Equilibrio del sistema global ( =8°):
NC=1000N
P2=550.4NP2
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
FRA
NC
 NC
A
B
W=1400N
0.4m1m
NA
FRA
NB
NB

Conclusiones finales
• Se han resuelto dos posibles problemas, obteniéndose que sucede a) pero
no b).
• Sólo uno es posible, por lo que debe haber contradicciones en el caso b) que
indiquen que no se alcanza esta situación. Busquémoslas.
• Hemos hallado que el caso b) requiere las siguientes fuerzas: NA=400N,
FRA=350.4N, NB=1039.0N, NC=1000N y P2=550.4N.
• Sabemos que el rozamiento máximo en A es: FRAmax=µNA=0.2∙400=80N.
• Es claro que FRA no puede alcanzar el valor requerido de 350.4N.
• Esta contradicción no aparece en el caso a).
• En efecto, la resolución completa del caso a) daría las siguientes fuerzas:
NA=400N, NB=1001.4N, FRB=‐59.95N, NC=1000N y P1=280N.
• El valor negativo de FRB no es problema, sólo indica sentido contrario.
• El valor máximo del rozamiento en B es, FRBmax=µNB=0.2∙1001.4=200.3N.
• Este rozamiento máximo es superior al valor requerido de 59.95N, lo que
confirma que ocurre a) y no b).

15.‐ Los bloques A y B de la figura pesan 250N y 300N,
respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entre
todas las superficies es 0.34. Determine el mayor ángulo que
permite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo.

A
B

Diagramas de cuerpo libre y resolución
Opción 1. Suposición inicial: El cuerpo A pesa menos que el B, por lo que a priori
parece que el cuerpo B tiende a descender y el A tiende a ascender.
Con esta suposición tenemos:

A
T T
T
B
PB
 NB
NB
PA
A
T
PA NA
NA

 
 
0 3 sin 0 (1)
0 cos 0 (2)
x B A B
y B A B
R T N P P
R N P P
 

     
    
0 sin 0 (3)
0 cos 0 (4)
x A A
y A A
R T N P
R N P
 

    
   
Solución: NA=103.1N, NB=226.7N, T=‐192.7N, α=‐65.66°.
Tanto la tensión como el ángulo son negativos. Esto no es coherente, de
modo que la suposición de que A asciende y B desciende era incorrecta.
Equilibrio global:
Equilibrio parcial:x
y
Observando nuevamente el problema, parece razonable que las dos
tensiones produzcan el ascenso de B a pesar de que éste pese más que A.
Repitamos el problema con esta hipótesis.

Opción 2. Suposición inicial: El cuerpo A tiende a descender y el cuerpo
B tiende a ascender.
 
 
0 3 sin 0 (1)
0 cos 0 (2)
x B A B
y B A B
R T N P P
R N P P P
 

     
    
0 sin 0 (3)
0 cos 0 (4)
x A A
y A A
R T N P
R N P
 

    
   
Solución:
NA=103.1N, NB=226.7N, T=192.7N, α=65.65°.
Los datos ahora son coherentes y representan la solución del problema.
El cuerpo A desciende a partir de 65.65°.
Diagramas de cuerpo libre y resolución

A
T T
T
B
PB
 NB
NB
PA
A
T
PA NA
NA

x
y

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