Resolver la siguiente viga continua de dos tramos por el método de las incógnitas cinemáticas (método de las deformaciones).

1. Hiperestáticos
Método de las Deformaciones
Resolución del Ejercicio N° 10 de
la Guía de la Práctica – TP N° 9
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
El método propone fijar los nudos
tanto angular como linealmente,
analizando el efecto que tienen las
cargas externas sobre la estructura;
para luego imponer pequeños
desplazamientos a las estructuras
para cada una de las restricciones
impuestas y calcular su efecto sobre
los esfuerzos internos.
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
Enunciado

3. Finalmente, aplicando el principio de
superposición de efectos, se
determina el efecto conjunto. Por
cada componente de desplazamiento
desconocida se establece una
ecuación de equilibrio.
Formamos un sistema de ecuaciones
que permita determinar dichas
deformaciones y mediante las mismas
obtenemos los esfuerzos en la
estructura.
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura

4. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
L
P
M
L
P
Mb
Ma
P
Rb
P
Ra











32
5
1
16
3
;
0
16
11
;
16
5
Barra articulada - empotrada
cargada con una carga P en L/2
Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura

5. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Barra doblemente empotrada
cargada con una carga uniforme
2
2
2
24
1
12
;
12
2
;
2
L
q
M
L
q
Mb
L
q
Ma
L
q
Rb
L
q
Ra










Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura

6. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Barra doblemente empotrada
con un giro  en A




















L
J
E
Mb
L
J
E
Ma
L
J
E
Rb
L
J
E
Ra
2
4
6
6
2
2
Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura

7. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Barra articulada - empotrada
con un giro  en A















L
J
E
Mb
L
J
E
Rb
L
J
E
Ra
3
3
3
2
2
Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura

8. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Procedemos a fijar angularmente el
nudo B de forma tal que no pueda
rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema será
1 = 0 (Nota: en este caso no es necesario
imponer la restricción de desplazamientos
horizontales dado que no existen cargas
es esa dirección). En consecuencia el
sistema fundamental resultante será
el que se muestra en la figura y
estará conformado por una barra
empotrada-articulada (barra horizontal
BC), y una barra empotrada-
empotrada (barra horizontal AB).
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

9. Definimos el Sistema
Fundamental:
Una vez hecho esto, analizaremos
el efecto que tienen las cargas
externas (q y P) sobre este sistema
fundamental; para luego imponer
pequeños desplazamientos a las
estructuras para cada una de las
restricciones impuestas (en este caso
la rotación del nodo B) y calcular su
efecto sobre los esfuerzos internos.
Aplicando el principio de
superposición, se determina el
efecto conjunto.
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

10. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la
figura, las cargas exteriores
deformarán a las barras AB y BC
de acuerdo con el siguiente
esquema…
…por lo tanto, de tablas, el momento en el
vínculo A y en nodo B debido a la acción
de las cargas exteriores (q) serán: 12
2
0
)
(
0
)
(
L
q
M
M q
B
q
A



con:
 
 





m
L
m
t
q
5
/
1
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
 
m
t 
 083
,
2

11. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
…y en cuanto a las reacciones en los apoyos
tendremos: 2
0
)
(
0
)
(
L
q
R
R q
B
q
A



con:
 
 





m
L
m
t
q
5
/
1
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
 
t
5
,
2

R0
A(q) R0
B(q)

12. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
…mientras que, el momento en el nodo B
debido a la acción de las cargas exteriores
(P) serán:
L
P
M P
B 


16
3
0
)
(
con:
 
 





m
L
t
P
4
4
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
 
m
t 
 3
R0
A(q) R0
B(q)
-

13. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
… y en cuanto a las reacciones en los apoyos
tendremos:
P
R P
B 

16
11
0
)
(
con:
 
 





m
L
t
P
4
4
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
 
t
75
,
2

R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P)
P
R P
B 

16
5
0
)
(  
t
25
,
1

R0
C(P)
-

14. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que se presenta en la
figura, y su efecto será para la barra AB
(para un valor unitario de ):
L
J
E
B






4
1
B1
mA
con:
 





m
L 5
1

L
J
E
mA





2
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
J
E 


5
2
J
E 


5
4
4EJ
L
6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
B
A

15. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
… y en cuanto a las reacciones en los apoyos
tendremos:
B1
mA
con:
 





m
L 5
1

2
)
(
1
)
(
6
L
J
E
R
R B
A









A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
J
E 

 24
,
0
RA() RB1()
4EJ
L
6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
B
A

16. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
…mientras que el efecto para la barra BC (para
un valor unitario de ) será:
L
J
E
B






3
2
B1
mA
con:
 





m
L 5
1

A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
J
E 


4
3
B C
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2
B2
RA() RB1()

17. B C
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
… y en cuanto a las reacciones en los apoyos
tendremos:
2
2
3
L
J
E
R
R C
B







B1
mA
con:
 





m
L 5
1

A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
J
E 

 12
,
0
B2
RA() RB1() RB2() RC()

18. Planteamos el
equilibrio del nudo B y
calculamos 1…
…para ello planteamos  M = 0 en el
nodo B:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2

M 0
)
(q
B
M 0
)
(P
B
M
 1
1 
 
 B 0
1
2 

 
B
    0
4
3
5
4
3
083
,
2 1 















 J
E
m
t
m
t
M  










J
E
m
t 2
1 592
,
0

…y reemplazando valores será:
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)

19. MBC
MBA
MAB
Con 1 calculamos los
pares extremos de
barra…
…para la barra AB será:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2


 
AB
M
0
)
(P
B
M

1
1 
 
 B
1
2 
 
 B
…y reemplazando valores será:
0
)
(q
A
M


BA
M 0
)
(q
B
M
1


 A
m
…para la barra BC será:


 
BC
M
0

CB
M
 
 
 
















0
556
,
2
556
,
2
846
,
1
CB
BC
BA
AB
M
m
t
M
m
t
M
m
t
M
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)

20. …para la barra AB será:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2


 
AB
R
0
)
(P
B
R
  1
1 
 
 B
R
  1
2 
 
 B
R
…y reemplazando valores será:
0
)
(q
A
R

BA
R 0
)
(q
B
R
  1

 
 A
R
…para la barra BC será:


 
BC
R

CB
R
 
 
 












t
R
R
t
R
R
R
t
R
R
CB
C
BC
BA
B
AB
A
36
,
2
28
,
5
361
,
1
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)
 
P
C
R0
RA RB RC
  1

 
 C
R
Con 1 calculamos los
esfuerzos extremos de
barra…

21. Trazamos los diagramas de
Cuerpo Libre, Momentos
Flexores y Corte…
Cuerpo Libre  
 
 
 













m
t
M
t
R
t
R
t
R
A
C
B
A
846
,
1
36
,
2
28
,
5
361
,
1
Momentos Flexores
2,556 t.m
1,846 t.m
M
+
-
2,72 t.m
Corte
1,361 t
2,36 t
2,639 t
Q
-
+ +
2,639 t
-
RA RB RC
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
A B
MAB

22. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

23. Muchas Gracias