Este documento explica conceptos relacionados con medidas de dispersión como rango, desviación típica, varianza y coeficiente de variación. Define cada medida y describe sus propiedades y usos para cuantificar cuán separados están los valores de una distribución con respecto a la media. Explica que las medidas de dispersión son útiles para establecer comparaciones entre muestras y distribuciones.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Ingeniería Industrial -45-
SECCION -YV-
Profesor:
Pedro Beltrán.
Bachiller:
Geonarkis
Márquez
C.I:22.437.063
Barcelona, Junio Del 2015

2. MEDIDAS DE DISPERSIÒN

3. CONCEPTO
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad,
muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un
número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy
alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la
variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se
sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su
media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones
respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es
siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar
este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto
(desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado
(varianza).

4. CARACTERÍSTICAS
 Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la separación
de los valores de una distribución.
 Llamaremos dispersión o variabilidad , a la mayor o menor separación
de los valores de la muestra, respecto de las medidas de
centralización que hayamos calculado.
 Al calcular una medida de centralización como es la media aritmética,
resulta necesario acompañarla de otra medida que indique el grado de
dispersión, del resto de valores de la distribución, respecto de esta
media.
 A estas cantidades o coeficientes, les llamamos: medidas de
dispersión , pudiendo ser absolutas o relativas

5. USOS
 Tanto las unas como las otras, son medidas que se toman para tener
la posibilidad de establecer comparaciones de diferentes muestras,
para las cuales son conocidas las medidas que se tienen como
típicas en su clase. Por ejemplo: Si se conoce el valor promedio de los
aprobados en las universidades venezolanas, y al estudiar una
muestra de los resultados de los exámenes de alguna Universidad en
particular, se encuentra un promedio mayor, o menor, del ya
establecido; se podrá juzgar el rendimiento de dicha institución.

6. RANGO
Requisitos del rango
 Ordenamos los números según su tamaño. Rango= (Max-
Min)
 Restamos el valor mínimo del valor máximo
Ejemplo:
1. Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el
dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango
de:
R=(9-4)=5

7. Medio rango o Rango
medio
 El medio rango o rango medio de un conjunto de valores
numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera
parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de
mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:
Ejemplo
 Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor
valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio
rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula
sería:
Representación del medio rango:

8. DESVIACIÓN TÍPICADESVIACIÓN TÍPICA
 La desviación típica o standard, es la raíz cuadrada, con signo
positivo, de la varianza. Se representa por S, y tiene la
siguiente expresión:
Si operamos, podemos obtener la siguiente expresión, que es
mucho más sencilla de operar, y obtenemos menos error de
redondeo:
N
nXx
SS ii
2
2
)( −
+=+=
∑
2
22
2 )(
X
n
nx
n
nXx
S
iiii
−=
−
=
∑∑

9. PROPIEDADES DE LA
DEVIACIÓN TÍPICA
A su vez la desviación típica, también tiene una serie de
propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza
(ya que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza):
1ª.- La desviación típica es siempre un valor no negativo S
será siempre ≥0 por definición. Cuando S = 0  X = xi (para
todo i).
2ª.- Es la medida de dispersión óptima por ser la más
pequeña.
3ª.- Si a todos los valores de la variable se le suma una
misma constante la desviación típica no varía.
4ª.- Si a todos los valores de la variable se multiplican por
una misma constante, la desviación típica queda multiplicada
por el valor absoluto de dicha constante.

10. VARIANZA
Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de
los valores de la variable con respecto de la media de la
distribución. Responde a la expresión
NOTA: Su problema son las unidades ya que minutos al cuadrado no
existen, y si hablamos de longitud m x m nos daría metros al
cuadrado o sea superficie. El valor de la varianza no lo podemos
tomar, pues, como la cantidad que resulta, en las unidades que nos
proporcionan los datos. Para hacernos una idea aproximada, nunca
exacta, hay que obtener la raíz cuadrada, y así esta nueva medida,
es la desviación típica:
n
nXx
S
ii
2
2 )(∑ −
=

11. PROPIEDADES DE LA
VARIANZA
1ª.- Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o
distinta de 0. Será 0 solamente cuando
2ª.- La varianza es la medida de dispersión cuadrática
optima por ser la menor de todas.
3ª.- Si a todos los valores de la variable se le suma una
constante la varianza no se modifica. Veámoslo:
Si a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k tendremos
(sabiendo que )
xxi =
n
nXx
S
ii∑ −
=
2
2 )(
2
222
2
)()]'()[()''(
S
n
nXx
n
nkXkx
n
nXx
S iiiiii
=
−
=
+−+
=
−
=
∑∑∑

12. 4ª.- Si todos los valores de la variable se multiplican por una
constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de
dicha constante. Veámoslo:
Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que )
5º.- Si en una distribución obtenemos una serie de
subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se
relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos
mediante la expresión
Siendo
Ni  el nº de elementos del subconjunto (i)
S2i  la varianza del subconjunto (i)
kXX ·' =
=
−
=
−
=
−
=
∑∑∑
N
nXxk
N
nkXkx
N
nXx
S iiiiii
222
2
)]([)]'·()·[()''(
22
2222
·
)()(
Sk
n
Xxk
n
nXxk iii
=
−
=
−
=
∑∑
n
SN
S ii
x
∑=
2
2

13. COEFICIENTE DE VARIACION

14. CONCEPTO
 Es cuando se desea hacer referencia a la relación entre elEs cuando se desea hacer referencia a la relación entre el
tamaño de la media y la variabilidad de la variable, se utilizatamaño de la media y la variabilidad de la variable, se utiliza
el coeficiente de variación.el coeficiente de variación.
Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentajeSu fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje
de la media aritmética, mostrando una mejor interpretaciónde la media aritmética, mostrando una mejor interpretación
porcentual del grado de variabilidad que la desviaciónporcentual del grado de variabilidad que la desviación
típica o estándar. Por otro lado presenta problemas ya quetípica o estándar. Por otro lado presenta problemas ya que
a diferencia de la desviación típica este coeficiente esa diferencia de la desviación típica este coeficiente es
variable ante cambios de origen. Por ello es importante quevariable ante cambios de origen. Por ello es importante que
todos los valores sean positivos y su media dé, por tanto,todos los valores sean positivos y su media dé, por tanto,
un valor positivo. A mayor valor del coeficiente deun valor positivo. A mayor valor del coeficiente de
variación mayor heterogeneidad de los valores de lavariación mayor heterogeneidad de los valores de la
variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en losvariable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los
valores de la variable. Suele representarse por medio devalores de la variable. Suele representarse por medio de
las siglas C.V. Se calcula:las siglas C.V. Se calcula:
Donde es la Desviación típica Se puede dar en tanto por ciento
calculando:

15. CARACTERÍSTICAS
 El coeficiente de variación no posee unidades.
 El coeficiente de variación es típicamente menor que
uno. Sin embargo, en ciertas distribuciones de
probabilidad puede ser 1 o mayor que 1.
 Para su mejor interpretación se expresa como
porcentaje.

16.  El coeficiente de variación es común en varios campos de la
probabilidad aplicada, como teoría de renovación y teoría de
colas. En estos campos la distribución exponencial es a
menudo más importante que la distribución normal. La
desviación típica de una distribución exponencial es igual a
su media, por lo que su coeficiente de variación es 1. La
distribuciones con un C.V. menor que uno, como
la distribución de Erlang se consideran de "baja varianza",
mientras que aquellas con un C.V. mayor que uno, como
la distribución hiperexponencial se consideran de "alta
varianza". Algunas fórmulas en estos campos se expresan
usando el cuadrado del coeficiente de variación, abreviado
como S.C.V. (por su siglas en inglés)
 Depende de la desviación típica, también llamada
"desviación estándar", y en mayor medida de la media
aritmética, dado que cuando ésta es 0 o muy próxima a este
valor el C.V. pierde significado, ya que puede dar valores muy
grandes, que no necesariamente implican dispersión de
datos.

17. UTILIDAD ESTADÍSTICA
Su utilidad estadística de el coeficiente de variación sirven
para comparar las varialidades de dos conjuntos de
valores (muestra o poblaciones), mientras que si
deseamos comparar dos individuos de cada uno de eso
conjuntos, es necesario usar los valores tipificados.