Este documento describe los conceptos básicos de los fenómenos de espera y los modelos de colas. Explica que una cola se forma cuando las llegadas y los servicios ocurren de manera irregular. Describe las características clave de un sistema de espera como el proceso de llegadas, el mecanismo de servicio, la disciplina de la cola y el número de colas. También presenta la clasificación de Kendall para identificar modelos de colas y las variables esenciales consideradas en los modelos.

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NOMBRE: VILLALOBOS LÓPEZ JAIME
FENÓMENOS DE ESPERA
Las líneas de espera son fenómenos muy comunes y que se observan en diversas actividades: la gente
que va a un banco a cambiar un cheque, los clientes que van a pagar la mercancía que han comprado,
las órdenes que llegan para ser procesadas a través de deferentes procesos, los conductores que llegan
a una estación de servicio para dar mantenimiento a sus autos, etc.
Para que exista una cola sólo se requiere que las llegadas y/o los servicios ocurran a intervalos
irregulares.
El proceso básico que se asume al formular un modelo de colas es el siguiente: Las unidades que
requieren servicio llegan al sistema. Estas unidades entran al sistema y se unen a la "cola". En ciertos
puntosen el tiempo, unelemento de la cola es seleccionadopara recibirservicio, mediantealguna regla
conocida como "la disciplina de la cola". Luego el “mecanismo de servicio" del sistema realiza a la
unidad escogida el servicio requerido. La siguiente figura representa esquemáticamente unproceso de
espera:
Sistema
El gráfico representa un sistema que consta de:
• Un centro de servicio con tres estaciones
• Una cola que alimenta las tres estaciones
• Fuente suministradora de clientes
• El flujo entre la fuente y la facilidad de servicio marca el proceso de llegadas.
Llegada de
Clientes
Centro de Espera
“Cola”
Mecanismo de
Servicio
Disciplina de la colas
Fuente suministradora
de clientes
Cliente Servido
Servidores

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Un sistema de espera tiene cuatro características: el proceso de llegadas, el mecanismo de servicio, la
disciplina de la cola y el número de colas.
LOS CLIENTES Ò EL PROCESO DE LLEGADAS
El proceso de la demanda de servicios o de llegada de los clientes es, en general, un proceso estocástico
y se describe en términos de la distribución de probabilidad del intervalo entre llegadas.
Los factores que se necesitan para especificar el proceso de llegadas son:
 La fuente de llegadas
 El tipo de llegadas
 Los tiempos entre llegadas.
*Algunos tipos de llegadas pueden ser:
a) Llegadas regulares, a intervalos constantes.
b) Llegadas en grupo.
c) Llegadas regulares con impuntualidad.
d) Llegadas en tiempos discretos.
e) Llegadasno estacionarias.Sepresenta cuandola tasa dellegada noes constante,sinoquedepende
del instante de tiempo considerado
f) Llegadas que siguen una distribución general.
g) Otros aspectos relacionados con las llegadas son:
• Los clientes se desaniman según el tamaño de la cola.
• Pueden llegar diferentes clases de clientes.
Las entidades que llegan al sistema de colas (llamadas unidades, órdenes, trabajos o clientes) poseen
ciertas características que afectan al sistema de algún modo. Estas características pueden ser:
• Distribución de las llegadas o del tiempo entre llegadas. Es generalmente un proceso estocástico que
gobierna el número de llegadas al sistema.
• Prioridad. Es alguna medida relativa del valor o importancia que tiene una unidad para el sistema,
comparada con las otras unidades. Generalmente indica que tan rápido se va a mover una unidad a lo
largo del sistema.
• Impaciencia. Este factor indica cuánto tiempo puede permanecer una unidad en el sistema sin ser
atendida. La impaciencia puede describirse mediante las siguientes condiciones:
I. Cuando una unidad rehúsa entrar a la cola porque es muy larga
II. Cuando una unidad deja la cola después de esperar cierto período de tiempo
III. Cuando una unidad deja una cola para pasar a otra.

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• Llegadas en lotes, cuando una llegada al sistema puede consistir de varias unidades
EL MECANISMO DE SERVICIO
Las principales características del mecanismo de servicio son:
a) Número de estaciones de servicio y configuración de las mismas (serie o paralelo).
b) Número de clientes que pueden ser atendidos en un instante cualquiera.
c) La duración del servicio. La duración de un servicio es, en general, una variable aleatoria y se
especifica de acuerdo con una distribución de probabilidad. Los tipos de servicio más comunes son:
• Distribución exponencial.
• Distribución Erlang
• Distribución gama
• Servicio constante
• Tiempo de servicio correlacionado con otros aspectos del sistema. Por ejemplo: servicio acelerado de
acuerdo al número de personas que haya esperando.
LA DISCIPLINA DE LA COLA
La disciplina de espera es el conjuntodereglas que especificanel ordende atencióna las unidades. Los
casos más comunes pueden ser:
a) Disciplina FIFO o PEPS (Primeros el entrar, primero en salir). La primera unidad que llega, será la
primera en ser atendida. Es el caso más general de selección de la unidad que pasa al servicio.
b) Disciplina LIFO o UEPS (Últimos en entrar, primeros en salir). Los últimos clientes en llegar, serán
los primeros en ser atendidos.
c) Selección aleatoria de la unidad a ser atendida.
d) Selección de acuerdo con la importancia del cliente, es decir, de acuerdo con la prioridad del cliente.
La línea de espera puede tener las siguientes características:
• Longitud. Es decir, el número máximo de unidades que pueden esperar en frente de una estación.
• Número decolas.Cuandohayvariasestacionesenparalelopuedeexistir una cola única quealimente
todas las estaciones o puede existir una cola para cada estación. Además, en este último caso, cada
unidad que llega puede escoger la cola en la cual esperará - la más corta, la más rápida,

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etc. Cuando las estaciones que prestan el servicio están ordenadas en serie, debe existir una cola para
cada estación.
• La disciplina de la cola, la cual indica el método de ordenar las unidades en la cola y escoger la
próxima que va a ser atendida.
EL NÚMERO DE COLAS
Cuando las estaciones de servicio están organizadas en serie, en general existe una cola en frente de
cada estación. Cuando las estaciones de servicio están organizadas en paralelo, puede existir una cola
para cada estación o puede existir una sola cola que alimente todas las estaciones.
VARIABLES QUE DEBEN CONSIDERARSE AL FORMULAR UN MODELO DE COLAS
En todo modelo hay tres tipos de variables que deben considerarse: Variables exógenas, de estado y
endógenas. Con relación a los modelos de colas, cada una de estas categorías puede incluir las
siguientes variables
a) Variables exógenas o de entrada al sistema: Entre estas variables se encuentran las siguientes:
• Tiempo entre llegadas al sistema.
• Tiempo de servicio en las diferentes estaciones.
• Prioridad de los clientes
• Número de estaciones de servicio
• Tasa de llegada de clientes al sistema
• Tasa de servicio de las diferentes estaciones o servidores
• Costos de prestación del servicio por unidad de tiempo
• Costo de espera o de inactividad por cliente
b. Variables de estado:
• Tiempo que una orden cualquiera permanece en una cola.
• Tiempo que una estación esta inactiva, esperando la llegada de un cliente.
• Número de unidades en el sistema en cualquier instante.
• Número de unidades en la cada cola.
• Número de estaciones inactivas en cualquier instante.
• Número de órdenes recibiendo servicio en un instante cualquiera.
• Tiempo de permanencia de un cliente en el sistema

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c. Variables endógenas:
• Número medio unidades en el sistema.
• Número medio de unidades en cada una de las colas.
• Número medio de unidades recibiendo servicio.
• Número medio de estaciones inactivas.
• Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema.
• Tiempo medio que una unidad permanece en cada una de las colas.
PARÁMETROS, VARIABLES Y RELACIONES BÁSICAS
Parámetros
Los principales parámetros usados en los modelos de colas son los siguientes:
• S = Número de servidores o estaciones de servicio, en paralelo
• λ = Tasa media de llegada de clientes al sistema
• µ = Tasa media de servicio por estación
• m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema)
• N = Capacidad del sistema (número máximo de clientes que pueden haber en el sistema en cualquier
instante)
Variables de estado
Las principales variables de estados usadas son:
• X (t) = n = Número de clientes que hay en el sistema en cualquier instante
• v = Número de clientes que hay en la cola en cualquier instante. Se supone que existe una cola que
alimenta todas las estaciones de servicio
• a = Número de clientes que están recibiendo servicio en cualquier instante. También es equivalente
al número de servidores ocupados
• r = Número de servidores inactivos
• Pn (t) = Probabilidad de que haya n personas en el sistema en el tiempo t
Medidas de congestión
Se denominan medidas de congestión aquellas medias o indicadores que reflejan el comportamiento
general del sistema a largo plazo, o en régimen permanente. Se refieren, por lo general, a las variables
endógenas o de salida del sistema:

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• Pn = Probabilidad, a largo plazo, de que haya n personas en el sistema
• L = Número esperado de clientes en el sistema
• Lq = Número esperado de clientes en la cola
• W = Tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema
• Wq = Tiempo medio de espera de un cliente antes de ser atendido (tiempo de permanencia en la
cola)
• Wq/Wq>0 = Tiempo medio de espera de un cliente en la cola, cuando tiene que esperar.
• a = Número medio de clientes que reciben servicio
• r = Número de servidores inactivos
• P (Wq>0) = Probabilidad de que un cliente tenga que esperar
A continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de
estado estable para una línea de espera de un solo canal:
Probabilidad de que no haya unidades en el
sistema
𝑷 𝑶 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
Cantidad promedio de unidades en la línea de
espera
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝁( 𝝁 − 𝝀)
Cantidad promedio de unidades en el sistema
𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
Tiempo promedio que pasa una unidad en la
línea de espera
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
Tiempo promedio que pasa una unidad en el
sistema
𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
Probabilidad de que una unidad que llega,
tenga que esperar por el servicio
𝑷 𝒘 =
𝝀
𝝁
Probabilidad de n unidades en el sistema
𝑷 𝒏 = (
𝝀
𝝁
)
𝒏
𝑷 𝟎

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CLASIFICACIÓN DE KENDALL
Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o
propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio único prestado por una o varias
estaciones. Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:
CLASIFICACIÓN DE KENDALL: A/B/C: (D/E/F)
Donde las letras o campos se usan según la siguiente convención:
A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas
B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio
C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo
D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO.
E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto i se supone que es limitada)
F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)
Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la siguiente
convención:
 M = Distribución exponencial
 G = Distribución general
 Ek = Distribución de Erlang
 D = Distribución constante
 GI: distribución general independiente.
 H: distribución hiperexponencial.
Los símbolos utilizados en este campo son:
 FIFO o PEPS: Primeros el entrar, primero en salir.
 LIFO o UEPS: Últimos en entrar, primeros en salir.
 SIRÓ: orden aleatorio.
 PR: con base en prioridades.
 GD: en forma general.
 e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.
 / número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera.

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A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras alguna otra
propiedad del sistema.
Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)
Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)
Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)
Ejemplo: M/G/1
REFERENCIAS:
Bernardo A. Calderón. (2014). Universidad de Antioquia. Ingeniería Química - Procesos Estocásticos.
Capitulo 5: Fenómenos de Espera. Introducción: Teoría de colas, pág. 1-6. En línea:
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/procesosestocasticos/cap5_pdf/teoria%20de%20colas%20s
eccion%201%20y%202.pdf
Justin Guerrero Delahoz. (2011). Asociación Nacional de Estudiantes de Ingenierías: Industrial,
Administrativa y de Producción (ANEIAP). Modelos de línea de espera. Modelos de línea de espera
de un solo canal con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales. En línea:
-http://es.slideshare.net/alconguerrero/formulas-del-sistema-de-cola-mmk
-http://metodoscuantitativo2.galeon.com/enlaces2219625.html