Este documento trata sobre expresiones algebraicas, factorización y radicación. Explica conceptos como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como productos notables, factorización por productos notables, resolvente cuadrática y cambio de variable. También cubre temas como simplificación de fracciones algebraicas y cálculo de valores numéricos. El documento provee ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos y métodos.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad politécnica territorial del estado Lara
Andrés Eloy Blanco
Programa Nacional de formación
Distribución y Logística
Expresiones algebraicas, factorización y
radicación
Gabriel Riera 0202
Braian Mendoza 0202
Luis Sánchez 0212

2. Índice:
• Introducción
• Suma, resta y valor numérico de expresión
algebraicas
• Multiplicación y división de expresión
algebraicas
• Productos notables de expresión algebraica
• Factorización por productos notables
• Factorización por resolvente cuadrática y
por cambio de variable
• Simplificación de fracciones algebraicas
• Suma y resta de fracciones algebraicas
• Multiplicación y división de fracciones
algebraicas
• Ejercicios resueltos

3. Introducción
Las expresiones algebraicas, la factorización y la radicación son conceptos
fundamentales en el ámbito de las matemáticas. Las expresiones algebraicas
son combinaciones de números, variables y operaciones matemáticas como
suma, resta, multiplicación y división. Estas expresiones permiten representar
problemas y situaciones de la vida real de manera simbólica, lo que facilita su
resolución y análisis.
La factorización es un proceso mediante el cual una expresión algebraica se
descompone en factores irreducibles, es decir, aquellos que no pueden ser
simplificados o descompuestos en términos más simples. La factorización es
una herramienta útil para simplificar y resolver ecuaciones algebraicas, así
como para identificar las propiedades y características de una expresión
algebraica dada.
La radicación, por su parte, es un proceso que implica extraer raíces de una
expresión algebraica. La raíz cuadrada es la más común, pero también se
pueden extraer raíces cúbicas, cuartas, etc. La radicación permite encontrar
soluciones o valores numéricos que satisfacen una expresión algebraica dada.
En resumen, las expresiones algebraicas, la factorización y la radicación son
conceptos esenciales en matemáticas que nos permiten simplificar
expresiones, resolver ecuaciones y obtener soluciones numéricas. Estas
herramientas son fundamentales tanto en el estudio teórico de las matemáticas
como en su aplicación práctica en la resolución de problemas y situaciones del
mundo real.

4. Suma
La suma de expresiones algebraicas es una operación que nos permite
combinar diferentes términos algebraicos para obtener una única expresión que
representa la suma de todos ellos. En este proceso, podemos sumar los
coeficientes de los términos semejantes y mantener las variables y exponentes
intactos. De esta manera, simplificamos y reunimos los términos para obtener
una expresión más sencilla y compacta.
Ejemplo
1) Suma las expresiones: 3x + 2y + 5 + 2x - 3y - 1
Respuesta: 5x - y + 4
2) Suma las expresiones: 4a^2 + 3b - 2c - 2a^2 + 5b + 3c
Respuesta: 2a^2 + 8b + c
3) Suma las expresiones: 7x^2y + 3xy^2 - 4x^2y + 2xy^2
Respuesta: 3xy + 5xy^2
Recuerda simplificar los términos semejantes sumando o restando los
coeficientes y manteniendo las variables y exponentes intactos.
Resta
La resta de expresiones algebraicas es una operación que nos permite
combinar diferentes términos algebraicos para obtener una única expresión que
representa la diferencia entre ellos. En este proceso, podemos restar los
coeficientes de los términos semejantes y mantener las variables y exponentes
intactos. De esta manera, simplificamos y reunimos los términos para obtener
una expresión más sencilla y compacta.
Ejemplo
1) Resta las expresiones: 5x + 3y - 2 - 2x + 4y + 1
Respuesta: 3x - y - 1
Y2) Resta las expresiones: 6a^2 + 2b - 3c - 2a^2 + 5b + 3c
Respuesta: 4a^2 - 3b
3) Resta las expresiones: 7xy - 3x^2y - 4xy + 2xy^2
Respuesta: -3x^2y + 3xy + 2xy^2

5. Recuerda que al restar, debes cambiar los signos de los términos que estén
siendo restados y luego combinar los términos semejantes sumando o restando
los coeficientes.
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
reemplazar las variables por valores específicos y realizar las operaciones
correspondientes. Es decir, toma una expresión algebraica y sustituye cada
variable por un número para obtener un resultado concreto. Esto nos permite
evaluar y calcular el valor de la expresión algebraica para casos particulares. El
valor numérico de una expresión depende de los valores que se le asignen a
las variables y puede variar según los diferentes números utilizados en cada
caso.
Ejemplo
1) Encuentra el valor numérico de la expresión algebraica 3x + 2y cuando x = 5
y y = 6.
Respuesta: 3(5) + 2(6) = 15 + 12 = 27
2) Calcula el valor numérico de la expresión 4a^2 - 3b cuando a = 2 y b = 1.
Respuesta: 4(2)^2 - 3(1) = 4(4) - 3(1) = 16 - 3 = 13
3) Determina el valor numérico de la expresión 2xy - 3x^2y^2 cuando x = 3 y y
= 2.
Respuesta: 2(3)(2) - 3(3)^2(2)^2 = 12 - 3(9)(4) = 12 - 108 = -96
Recuerda sustituir los valores dados en lugar de las variables y realizar las
operaciones correspondientes para calcular el valor numérico de la expresión
algebraica.
Multiplicación
La multiplicación de expresiones algebraicas es una operación que nos permite
combinar diferentes términos algebraicos para obtener una única expresión que
representa el producto de ellos. En este proceso, multiplicamos los coeficientes
de los términos y combinamos las variables y exponentes mediante las
propiedades de las potencias. La multiplicación de expresiones algebraicas nos
permite simplificar y reunir los términos para obtener una expresión más
sencilla y compacta. Además, nos permite modelar situaciones de crecimiento,
dimensionalidad y proporcionalidad en matemáticas y ciencias.
Ejemplo
1) Multiplica las expresiones: (3x + 2y)(4x - y)
Respuesta: 12x^2 - 3xy + 8xy - 2y^2 = 12x^2 + 5xy - 2y^2
2) Multiplica las expresiones: (2a + b)(3a - b)

6. Respuesta: 6a^2 - 2ab + 3ab - b^2 = 6a^2 + ab - b^2
3) Multiplica las expresiones: (5xy - 3x)(2xy + 4x)
Respuesta: 10x^2y^2 + 20x^2y - 6x^2y - 12x^2
Recuerda utilizar la propiedad distributiva para multiplicar cada término de la
primera expresión por cada término de la segunda expresión y luego simplificar
y combinar términos semejantes si es posible.
División
La división de expresiones algebraicas es una operación que nos permite
encontrar el cociente entre dos expresiones algebraicas. En este proceso,
dividimos término por término de las expresiones, simplificamos y reducimos
cuando sea posible. La división de expresiones algebraicas nos permite
resolver problemas de proporcionalidad y encontrar relaciones entre cantidades
variables. Es importante considerar las restricciones o valores que hacen que la
división no esté definida, como cuando el divisor es igual a cero. En general, la
división de expresiones algebraicas nos ayuda a simplificar y trabajar con
expresiones más manejables y útiles en diversos contextos matemáticos y
científicos.
Ejemplo
1) Divide las expresiones: (6x^2 - 12x) / 3x
Respuesta: (6x^2 - 12x) / 3x = 6x^2/3x - 12x/3x = 2x - 4
2) Divide las expresiones: (4a^2 + 6ab) / 2a
Respuesta: (4a^2 + 6ab) / 2a = 4a^2/2a + 6ab/2a = 2a + 3b
3) Divide las expresiones: (8xy^2 - 4x^2y) / 2xy
Respuesta: (8xy^2 - 4x^2y) / 2xy = 8xy^2/2xy - 4x^2y/2xy = 4y - 2x
Recuerda que al dividir, debes simplificar y reducir los términos siempre que
sea posible, considerando las propiedades y reglas de la división. Además, es
importante tener en cuenta las restricciones, como cuando el divisor es igual a
cero.
Producto notables
El producto notable de expresiones algebraicas se refiere a ciertos casos
especiales en los que la multiplicación de expresiones sigue un patrón
conocido y se puede simplificar o factorizar de manera más sencilla. Estos
productos notables son fórmulas específicas que se utilizan para agilizar y
facilitar los cálculos algebraicos. Algunos ejemplos comunes de productos
notables incluyen el cuadrado de un binomio, el cubo de un binomio, la
diferencia de cuadrados y la suma o diferencia de cubos. Estas fórmulas nos

7. permiten encontrar el resultado del producto de manera más rápida y eficiente,
evitando realizar todas las multiplicaciones individualmente.
Ejemplo
1) Calcula el cuadrado de la expresión (3x + 2):
Respuesta: (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4
2) Encuentra el cubo de la expresión (2ª – b):
Respuesta: (2ª – b)^3 = 8ª^3 – 12ª^2b + 6ab^2 – b^3
3) Simplifica la expresión (4x^2 – 9y^2)
Respuesta: (2x + 3y)(2x – 3y)
4) Factoriza la expresión x^3 – y^3:
Respuesta: (x – y)(x^2 + xy + y^2)
Recuerda utilizar los productos notables correspondientes para simplificar o
factorizar las expresiones algebraicas de manera más eficiente. Estos
productos notables nos permiten realizar cálculos más rápidos y evitar
multiplicaciones innecesarias.
Factorización por producto notable
La factorización por producto notable es un método utilizado para expresar una
expresión algebraica como un producto de polinomios más simples. Se basa en
reconocer patrones específicos y aplicar fórmulas preestablecidas para
factorizar de manera más rápida y eficiente. Algunos ejemplos comunes de
productos notables son la diferencia de cuadrados, la suma o diferencia de
cubos y el cuadrado del binomio. Al utilizar estas fórmulas, podemos simplificar
y descomponer una expresión en factores que sean más fáciles de trabajar o
analizar. La factorización por producto notable es útil en muchos aspectos de
las matemáticas, como resolver ecuaciones, simplificar expresiones y encontrar
raíces o puntos críticos.
Ejemplo
1) Factoriza la expresión:
A^2 + 2ab + b^2
Solución: (a + b)^2
2) Factoriza la expresión:
A^2 – 2ab + b^2
Solución: (a – b)^2
3) Factoriza la expresión:

8. 4ª^2 – 25b^2
Solución: (2ª + 5b)(2ª – 5b)
4) Factoriza la expresión:
9x^2 – 4
Solución: (3x + 2)(3x – 2)
5) Factoriza la expresión:
16x^2 – 25
Solución: (4x + 5)(4x – 5)
Recuerda que estos son ejemplos de factorización por producto notable y
existen otros casos de factorización en los que puedes utilizar diferentes
métodos.
Factorización por resolvente cuadrática
Y por cambio de variable.
Factorización por resolvente cuadrática:
La factorización por resolvente cuadrática es un método utilizado para
factorizar expresiones cuadráticas mediante la identificación de sus raíces.
Para aplicar este método, es necesario encontrar las raíces de la expresión
cuadrática utilizando la fórmula de la resolvente cuadrática y luego utilizar estas
raíces para factorizar la expresión en forma de binomio. Es una técnica
especialmente útil cuando no se puede aplicar de forma directa la factorización
por producto notable.
Factorización por cambio de variable:
La factorización por cambio de variable es un método utilizado para factorizar
expresiones algebraicas mediante una sustitución o cambio de variable
adecuado. Este método permite reescribir la expresión original en términos de
una nueva variable que, al ser manipulada algebraicamente, simplifica la
expresión y facilita su factorización. Al realizar el cambio de variable, se busca
simplificar la estructura de la expresión y encontrar una forma factorizada más
sencilla. Este método es especialmente útil en expresiones algebraicas más
complejas, donde no es fácil aplicar otros métodos de factorización.

9. Ejemplo
Factorización por resolvente cuadrática:
1) Factoriza la expresión:
X^2 + 6x + 5
Solución: Las raíces de esta expresión son -1 y -5. Entonces, podemos
factorizarla como:
(x + 1)(x + 5)
2) Factoriza la expresión:
4x^2 – 12x + 9
Solución: Las raíces de esta expresión son 1.5 y 1.5 (doble raíz). Entonces,
podemos factorizarla como:
(2x – 1.5)(2x – 1.5)
Factorización por cambio de variable:
1) Factoriza la expresión:
X^4 – 12x^2 + 36
Solución: Haciendo un cambio de variable, podemos reescribir esta expresión
como:
(x^2 – 6)^2
Esta es la forma factorizada de la expresión.
2) Factoriza la expresión:
8y^3 + 12y^2 + 6y + 9
Solución: Haciendo un cambio de variable, podemos reescribir esta expresión
como:
(2y + 3)(4y^2 + 1)
Esta es la forma factorizada de la expresión.

10. Simplificación de fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es el proceso de reducir una
expresión algebraica fraccionaria a su forma más simple, eliminando factores
comunes entre el numerador y denominador y cancelando términos
semejantes. Esto nos permite facilitar el cálculo y obtener una expresión más
compacta y legible. La simplificación de fracciones algebraicas es similar a la
simplificación de fracciones numéricas, pero también involucra operaciones
algebraicas como factorización y cancelación. En resumen, simplificar una
fracción algebraica implica reducir al máximo la expresión, manteniendo la
equivalencia con la fracción original.
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de igual manera que
con las fracciones de aritmética: se encuentra el mínimo común múltiplo
(M.C.M) y se realizan las operaciones de forma similar.
Suma y resta de igual denominador: Para sumar o restar fracciones
algebraicas con igual denominador se escribe el mismo denominador y se
suman los numeradores
Suma y resta con diferente denominador: Para sumar o restar dos
fracciones algebraicas con distinto denominador se multiplican los
denominadores entre si, luego los numeradores de cada fracción se multiplican
por los denominadores de la otra fracción. En el caso de que cada uno de los
denominadores tenga factores iguales, que no es puedan cancelar con factores
de sus respectivos numeradores, la forma más rápida de realizar la operación
es encontrar el mínimo común múltiplo entre los denominadores. Para ello, se
seleccionan los factores comunes y no comunes con el mayor exponentes
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplica numerador con
numerador y denominador con denominador de cada una de ellas. Para no
manipular expresiones tan largas, si es posible se debe simplificar cada una de
las fracciones antes de efectuar los productos. Como en las sumas y las restas,
hay que tener en cuenta los ceros (0) en los denominadores.
Para dividir fracciones algebraicas se intercambia el numerador y el
denominador de la fracción que este a la derecha del signo de división y se
procede como en la multiplicación. Como en las operaciones de suma, resta y
multiplicación, para realizar la operación hay que tener en cuenta los ceros en
los denominadores.

11. Factorización de método de Ruffini
Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes pasos:
Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún término
dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe estar completo.
Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene sacar factor
común hasta conseguir el término independiente.
Buscar todos los divisores del término independiente.
Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior
izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección del divisor
debemos tener presente que los número que vamos obteniendo o bajando los
vamos a multiplicar por el divisor y luego el resultado de la multiplicación lo
vamos a sumar o restar con los coeficientes que tenemos; el divisor que se
escoja debe ser un número que haga que al final nos de resto cero. Nota: Una
manera de saber si un número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese
número como el valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero
no lo es y se pasa al siguiente divisor.
Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos
coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta que no
exista ninguna raíz que haga que nos de resto cero (0).
Suma y resta de radicales
Para realizar sumar y restar radicales semejantes, lo que hacemos es
mantener el radical semejante y sumar y restar los coeficientes (número que
está multiplicando a la raíz).
Multiplicación y división de radicales
Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo
índice. Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice
común. El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único radical
del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los radicandos

12. Ejercicios
Sumas con expresión algebraica
1) Simplificar la expresión algebraica: 2x + 3x + 5x = ¿
2) Resolver la siguiente ecuación: 4y + 6 = 18
3) Calcular el valor de x en la ecuación: -2x + 8 = 14
4) Sumar los siguientes términos: 2ª^2 + 3ª^2 + 5ª^2
5) Calcular la suma de los siguientes términos algebraicos: 7xy + 3xz + 2xy
6) Simplificar la expresión algebraica: x^2 + 2x + 3x^2 + 4x
7) Resolver la siguiente ecuación: 3(2x + 4) = 30
8) Calcular el valor de x en la ecuación: 5x – 2 = 18
9) Sumar los siguientes términos: 2ab – 3ab + 5ab
10) Calcular la suma de los siguientes términos algebraicos: 8xy^2 + 2xy^2 +
3x^2y^2
Restas con expresión algebraica
1) Simplifica la expresión y luego realiza la resta:
a) (2x – 3) – (x + 5)
Respuesta: x – 8
2) Simplifica la expresión y luego realiza la resta:
b) (3y^2 – 2y + 1) – (2y^2 – y – 2)
Respuesta: y^2 – y + 3
3) Simplifica la expresión y luego realiza la resta:
c) (4ª^2b – 3ab^2 + 5ab) – (2ª^2b + 5ab^2 – ab)
Respuesta: 2ª^2b – 8ab^2 + 6ab
Recuerda que para realizar la resta, debes simplificar la expresión, agrupando
los términos semejantes y luego realizar la operación de resta.
Valor numérico con expresión algebraica
1) Calcula el valor numérico de la expresión para x = 2:
a) 3x^2 + 4x - 5

13. Respuesta: 3(2)^2 + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15
2) Calcula el valor numérico de la expresión para y = -1:
b) 2y^3 - 3y^2 + 5y
Respuesta: 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5(-1) = -2 - 3 - 5 = -10
3) Calcula el valor numérico de la expresión para z = 3:
c) z^2 - 2z + 1
Respuesta: (3)^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4
Recuerda sustituir el valor dado en lugar de la variable en la expresión
algebraica y luego realizar las operaciones correspondientes para obtener el
valor numérico.
Multiplicación con expresión algebraica
Simplificar la expresión (2x + 3)(4x – 5).
Para resolver esto, debes multiplicar cada término del primer factor (2x + 3) por
cada término del segundo factor (4x – 5). Siguiendo las reglas de la
multiplicación algebraica, obtenemos:
(2x + 3)(4x – 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)
Simplificando los productos:
= 8x^2 – 10x + 12x – 15
Finalmente, combinando términos semejantes:
= 8x^2 + 2x – 15
Entonces, la expresión simplificada es 8x^2 + 2x – 15.
División con expresión algebraica
1. Simplifica la expresión (6x^2 + 9x) / 3x.
Para resolver el ejercicio, dividimos cada término del numerador (6x^2 + 9x) por
el término del denominador (3x):
(6x^2 + 9x) / 3x = 6x^2 / 3x + 9x / 3x
Simplificando los cocientes:
= 2x + 3
Entonces, la expresión simplificada es 2x + 3.
2. Simplifica la expresión (4x^3 – 8x^2) / (2x).
De manera similar al ejercicio anterior, dividimos cada término del numerador
(4x^3 – 8x^2) por el término del denominador (2x):
(4x^3 – 8x^2) / (2x) = 4x^3 / (2x) – 8x^2 / (2x)

14. Simplificando los cocientes:
= 2x^2 – 4x
Entonces, la expresión simplificada es 2x^2 – 4x.
Productos notables con expresión algebraica
1. Resuelve el siguiente producto notable: (a + b)^2.
Para resolver este producto notable, debes usar la fórmula: (a + b)^2 = a^2 +
2ab + b^2.
Entonces, aplicando la fórmula al ejercicio:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. Resuelve el siguiente producto notable: (2x - 3)^2.
Usando la misma fórmula que antes: (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + (-3)^2.
Simplificando los términos:
(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
3. Resuelve el siguiente producto notable: (m - 5)^2.
Aplicando la fórmula: (m - 5)^2 = (m)^2 - 2(m)(5) + (5)^2.
Simplificando los términos:
(m - 5)^2 = m^2 - 10m + 25
Recuerda practicar más ejercicios de productos notables para familiarizarte con
las fórmulas y fortalecer tus habilidades en álgebra.
factorización por producto notable
1. Factoriza la expresión x^2 + 4xy + 4y^2.
Esta expresión se puede factorizar utilizando el cuadrado de un binomio: (x +
2y)^2.
2. Factoriza la expresión 9ª^2 – 4b^2.
Esta expresión se puede factorizar utilizando la diferencia de cuadrados: (3ª +
2b)(3ª – 2b).
3. Factoriza la expresión 16x^2 – 25.
Esta expresión se puede factorizar utilizando la diferencia de cuadrados: (4x +
5)(4x – 5).
factorización por resolvente cuadrática y por cambio de variable
Factoriza la expresión x^3 - 3x^2 + 2x - 6.

15. Para comenzar, intentemos factorizar por resolvente cuadrática. En este caso,
el término de mayor grado es x^3. Podemos probar con las posibles raíces
racionales utilizando el método de la resolvente cuadrática.
Las posibles raíces racionales de la ecuación son las divisoras del término
independiente (-6) dividido por las divisoras del coeficiente principal (1).
Las divisoras del término independiente -6 son: ±1, ±2, ±3, ±6.
Las divisoras del coeficiente principal 1 son: ±1.
Probemos las posibles raíces racionales sustituyendo cada una de ellas en la
ecuación para ver si alguna de ellas es una raíz:
Sustituyendo x = 1:
(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) - 6 = 1 - 3 + 2 - 6 = -6 (no es igual a cero).
Sustituyendo x = -1:
(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) - 6 = -1 - 3 - 2 - 6 = -12 (no es igual a cero).
Sustituyendo x = 2:
(2)^3 - 3(2)^2 + 2(2) - 6 = 8 - 12 + 4 - 6 = -6 (no es igual a cero).
Sustituyendo x = -2:
(-2)^3 - 3(-2)^2 + 2(-2) - 6 = -8 - 12 - 4 - 6 = -30 (no es igual a cero).
Sustituyendo x = 3:
(3)^3 - 3(3)^2 + 2(3) - 6 = 27 - 27 + 6 - 6 = 0 (es igual a cero).
¡Hemos encontrado una raíz! x = 3 es raíz de la ecuación x^3 - 3x^2 + 2x - 6.
Ahora, utilizando la raíz encontrada, podemos dividir la expresión original entre
(x - 3) mediante división sintética o división polinómica. El resultado sería:
(x^3 - 3x^2 + 2x - 6) / (x - 3) = x^2 + 2
Entonces, la factorización completa de la expresión x^3 - 3x^2 + 2x - 6 es:
(x - 3)(x^2 + 2).
Gabriel Riera sección 0202
Braian Mendoza 0202
Luis Sánchez 0212