Apuntes Difracción de Rayos X parte 1 de 3

1. Curso de Difracción de Rayos X
Contenido
Cristalografía Básica
1.1 Introducción
1.2 Redes y sistemas cristalinos
1.3 Simetría
1.4 Estructuras cris~alinas
1.5 Planos y direcciones cristalográficas
Tema 11 Propiedades de los Rayos X
2.1 introducción
2.2 Espectro continuo y caracteristfco
2.3 Absorción de rayos X
2.4 Producción de rayos X
2.5 Detección de rayos X
Te.a III Difracción de Rayos X
3.1 Introducción
3.2 Ley de Bra"
3.3 Métodos de difracción
3.4 Intensidad del haz difractado
3.5 Factor de estruetu.ra
Tema IV Difractómetro
4.1 Introducción
4.2 Características generales
4.3 Optica de rayos X
4.4 Sistema de registro
r. l'
" ,
.... ,
•
-<,
página
1
15
25
36

2. Tema V Aplicaciones del Diftactóllletro
IJ~
5.1 Medición del parámetro reticular
5.2 Medición del tamal"io de partícula
5.3 Kedición de esfuerzos residuales
5.4 Análisis cualitativo
5.5 Análisis cuantitativo
5.6 Análisis cuantitativo
44
Referencias 58
~
,
I
,1
I
I
I
I

3. Tema 1 Cristalografía Básica
1.1 Introducción
Un cristal es definido como un sólido compuesto de átocos arreglades
en un patrón periódico en tres dimensiones. No todos los sólidos son
cristalino~ sino que también existen materiales amorfos los cuales no
tienen un arreglo atómico regular en su interior. La estructura
cristalina o el arreglo at6mico que presente un elemento puro o
compuesto está determinado por el tipo de ~nlace o unión química que
este presente. Las estructuras cristalinas se agrupan en un número
peque~o de sistemas cristalinos que a su vez se dividen en diferentes
redes o grupos espaciale~ cada uno de los cuales posee características
simétricas definidas. Para definir las propiedades de los cristales es
importante saber denotar los planos y direcciones cristalográficas
mediante una simbología universal como los índices de Miller.
1.2 Redes y sistemas cristalinos
Una celda unitaria se define comola parte .ás peque"a del cristal qu~
conserva las propiedades y simetría del lisIO y en forma general se
representa como se muestra en la figura 1, donde a, b y e, son
vectores conocidos COlO ejes cristalográficos de la celda. Estos
vectores a su vez pueden describirse en términos de sus longitudes a, b
y c , y el ángulo entre ellos a, {3 y r , Estas longitudes y ángulos se
conocen como constantes o parámetros reticulares.
Los veetores a, b y e defin en no sÓ loa 1a ee1da unita rí al sin o
que al total de puntos en· la red cristalina por la translación de los
vectores. La figura 2 muestra un ejemplo de una red espacial, la cual se
define como un arreglo de puntos en el espacio, arreglados de tal forla
que cada punto posee un alrededor idéntico. Entendiéndose por un
alrededor idéntico que lo que se observa en la red desde una dirección
-1-

4. Figura 1 Celda unitaria.
·~~----~~~------~~------~~I
~'------'+-'-:",__---+--+---, ......
i I
~~------~~~------~~------_." I
////
,.
Figura 2 Red espacial o puntual.
-2-

5. " .
debe ser igual a lo observado en cualquier otra dirección.
La taba 1 presenta a los siete sistemas cristalinos clasificados
en base a las longitudes de los ejes y ángulos cristalográficos.
Asimismo se muestran las catorce redes espaciales conocidas como redes
de Bravais y los símbolos de cada red espacial, denotado por PoR
(simple o primitiva), P (centrado en las caras) e ¡(centrado en el
cuerpo). La figura 3 muestra las catorce redes de Bravais.
El número de puntos reticulares por celda unitaria está dado ?or:
N = Ni + (Nf/Z) + (Nc/8) (1)
donde Ni es el número de puntos en el interior, Nf el número de
puntos en las caras y Nc el número de puntos en las esquinas.
Como se mencionó anterior.ente la posición de cualquier punto en
la red espacial puede definirse en base a los ejes cristalográficos, así
por ejemp1o, 1a red espae ia1 cúbi ca centrada en el cuerpo ti ene 2 punt os
(átomos) por celda unitaria localizados en las posiciones 0,0,0
(esquinas de la celda) y l/Z, 1/2, 1/2 (centro de la celda).
1.3 Siaetría
Las redes de Bravais y los cristales reales exhiben diferentes
clases de simetría. Se dice que un cuerpo o estructura es ~métrico
cuando sus partes componentes se arreglande tal forla que al efectuar
ciertas operaciones sobre el cuerpo se produce coincidencias con el
mismo. Estas operaciones se denominan operaciones o elementos de
simetría. Existen cuatro operaciones macroscópicas de simetría:
reflexión, rotación, inversión y rotación-inversión. Por ejemplo un
cubo tiene un eje de rotación cuaternaria en cada cara, un eje ternario
sobre la diagonal y uno binario formado por la unión de los centros
de dos bordes opuestos. Algunos de estos elementos de si.etría se
muestran en la figura 4, donde el cuadrado, triángulo y elipse designan
las clases de simetría (1, 2,3, 4 06).
-3-

6. Tabla
Sistemas Cristalinos y Redes de Bravais
Sy¡!em Axials leng!;'1 and onglel Bravail
lattic:e
lottic:e ¡
symbol I
I
!
I
I
Simple p
I
Tlvea equal a"el al rig;'1 ongles
I Cubic: I
Body-cenlered I
" - " - r, az~=y=9(f ¡
I Foca-cenlare<! i F
Thrae a"es al rig;'1 anglel, Iwo equal I Simple p
I
Tetragonol
ti - " .. c , a = t' a " :: 9rf' Body-cenlered I
I
Simple p
Orthorhombic Three unequal a"es al rig;'1 angles
Body-cenlered - I
u "'''!Ór. a"'~·Y=9ao Bas.-canlered C
Faca-canlered F
Rhombohedral
. Tlvee equal axel, aqually inclined
Simple R
ll.-b-r, 0-11-",.900
T...,oequal caplanar a"eI al 12lf',
-
Hexagonal Ihird axis al rig;'1 angles Simple p
a-b.~, a"II=9oD, y e 12(f
Three unequal axes,
Simple p
MonacJinic one poir nol al righl angla
Bas.-cenlered e
a"b .. ~, a-,,_9QO"1I
Thr.. unequal axa, unequally inclined
TricJinic and none al rillhl angles
S~J. ,
a"b,,~, a '" 11" )' ,,9QO
• Also called trigona].
-4-

7. ~DIPI.E
(TBIC fI')
BOO' -CEXTER EO F.H'E-<'EXTERED
(TBJ(' (1, (TRI(' (f')
SI:IPLE
TETRAGONAL
(P)
BOD' ..('E:!'TERED
TETRAGONAL
(1)
SD.lPLE BODY-CENTERED
ORTHORBO:IBIC ORTHORHO~lB((.'
(P) (/)
B,:"E-<'EXTERED F.C'E-<:ENTEREO RHO:IHOHEDRAL
ORTHOIlHO:IHIC ORTHORHO:tBl<' ,p"
HEXAGONAL
:PI
-:11 PI.E
JO:'H '1.1:'1' .t-,
Ir)
IU":F-( 'J-:YfEHEI)
W ...
("L11I" .t >,
'fHlCLI." u ,/'1
Figura 3 Las catorce redes de Bravais.
,.
-;:¡-

8. I~,
(1, 1
i?
"', o~ ,
0·1;.0
I
1"1
hl,
I
Pigura 4 Elelentos de sioetrl. ~e un cubo. la) Plano de rotación.
lb) Eje de rotación'. (c) Centro de inversión. (d) Eje de
rotaci5n-inversi6n.
-6-
I
I
I
I
I
I

9. El número mínimo de elementos de simetría de cada sistema cristalino se
presenta en la tabla 2. Algunos cristales pueden tener más elementos que
el mínimo del sistema a que pertenece, pero no menos.
1.4 Estructuras cristalinas
Hasta aquí se ha tratado de la cristalografía matemática y no se ha
tratado nada acerca de los cristales reales y de los átomos los cuales
los componen. Los cristales más simples que uno, son aquellos formados al
colocar los átomos en los mismos puntos de las redes de Bravais. NQ
todos estos cristales existen, pero afortunadamente muchos de los
metales cristalizan en la estructura cúbica centrada en el el cuerpo
(bcc o ce) y cúbica centrada en las caras (fcc o cee). La primera de
ellas posee 2 átomos por celda unitaria y la otra 4 como se muestra
en la figura 5. Otra estructura cristalina co.ún entre los .etales es la
hexagonal compacta (hcp o hc). Esta estructura no es una Red de Bravais
y se obtiene a partir de la hexagonal si.ple colocando tres átomos en el
interior COlO se muestra en la ficura 6. La relación teórica de e/a para
esta estructura es 1.633.
El número de átomos vecinos lás cercanos a cualquier átolo en la red
se define como el número de coordinación y se denota por z. El número de
coordinaci6n de un átomo en fcc o hc es 12, en bcc 8 y en dia.ante
cúbico 4. Entre más peque~o sea el número de coordinación menor es el
,
volumen de la celda unitaria ocupado por los atomos, de tal forma que
aproximadamente un 74 % del volumen de las celdas unitarias fce y hcp es
ocupada por los ~tomos y 58 % para la bce. La forma del cristal est3
relacionada con la Ley de los Indices Racionales la cual expresa que
las caras desarrolladas por los cristales sie.pre son las que
corresponden a planos con índices de "iller peque~oS~
-7-

10. Tab 1a 2
Elementos de Simetría
Sistema El e sent c s de simetría ",ínimos
Cúbico 4 ejes de rotación ternarios
Tetra,onal 1 eje de rotación cuaternario
Ortorró.bico 3 ejes perpendiculares de
r.~aci6n binaria
Roaboedral 1 eje de rotaci6n ternario
Hela,onal 1 eje de rotación hela,onal
Monoclíco 1 eje de rotación binario
Triclínico nj.llgu
no
-8-

11. I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
sn' F('('
Fi , ur a 5 Es tr ue tu r a s be e ( Pe, er , " o , V) y f e e ( eu, Al, A u) .
Figura 6 estructura hcp (Ti, Zn, "g).
-9-

12. 1.7 Planos y direcciones cristalográficas
Las direcciones de cualquier línea en la red cristalina puede
describirse mediante el trazo de la línea a trlvés del origen de una
celda unitaria y cualquier punto de coordenadas uvw. Entonces [uv.]
indica la dirección de la línea. Los valores u, v y w son siempre
enteros, pudiendo ser negativos [uvw]. Al conjunto de direcciones del
mismo tipo se le designa como familia y se representa como Cuvw>. En
la figura 7 se ejemplifica la localización de direcciones en cualquier
sistema diferente al hexagonal.
Los índices de Miller son empleados universalmente para designar los
planos cristalográficos y se definen como el valor recíproco de las
intercepciones del plano con los ejes cristalográficos. Por ejeapIo si
los indices del plano cristalográficos son (hkl), entonces el plano
tiene las intercepciones fraccionales l/h, llk y 1/1 con los ejes
a, b y c como se muestra en la figura 8. La faailia de planos se denota
en este caso por {hkl} e indica todas las coabiDaciones posibles de
los índices de ailler incluyendo los números negativos. En la figara 9
se presentan diferentes índices de Miller de planos cristalinos.
En el caso de .ateriales con una estructura cristalina hexagoaal,
los índices de Miller tanto de direcciones coao planos incluyen cuatro
índices relacionados a los cuatro ejes cristalográficos. Esto es, [uvtw]
para una dirección y (hki1) para un plano con la característica de que
siempre:
u + v = -t o h + k = -i ( 2 )
En la figura 10 se muestra la localización de planos y direcciones en
una celda unitaria hexagonal.
Los diferentes juegos de planos, como se auestra en la figura 11,
tienen diferentes espaciaaientos entre planos lo que es conocido como
distancia interplanar (d). Por ejemplo para el sistema cúbico d está
dado por:
-10-

13. I
I
I
I
I
I
I
I
I Figura 7 Indices de direcciones.
I
I
I
I
I
I
I
I
1.
1. :.lA JA
(hl
lal
Figura 8 Designación de planos por índices de miller.
-11-

14. !--d¡tll---; ~..a~,.~_ ~:"
- - ,
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(2001 ( 1101
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:1,.' ""':~r . ';-;.~(;
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, "
(llí) (llf2 )
Figura 9 Indices de Miller de planos
¡0011
Figura 10 Indices de planos y direcciones en una celda hexagonal.
-1l-

15. (1) )
I
I
11(1)
------
I
I
I
I
(13)
Figura 11 Red espacial en dos dimensiones .ostrando el concepto
de distancia interplanar.
I
-13-

16. d h k I = a / V h¿ '+ k.? + l.? (3 )
En la tabla 3 se presentan J~s fórmulas para calcular la distancia
interplanar para los diferentes sistemas cristalinos.
Tabla 3
Fórmulas le Distancia Interplanar.
Cubic:
Tetraqona}:
Hexagonal:
Rlro",ho¡'edrol:
J (/¡! + k~ -+- ,1, sin!"Z + ).(¡'k + kl + "')(cos!
2 - COS ::r)
ú2 = --------~~D'l(~I--~3~c~o~s~2-::r-+~2~co-s~J~::r~,------~~
Orthorhomhic:
1 ¡,2 kl 12
-;=,+-;+,
d ' a: h- r:
2.. = _1_ (
..
' h2 + k2 sin2fi + ,2 _ 2'"cosfJ)
ell sin1, ,,al ,,2 ('2 0('
MOllodinic :
Tndinir:
-14-

17. Tela 11 Propiedades de los Rayos X
2.1 Introducción
Los rayos X fueron descubiertos en 1895 por el físico alemán Roetgen
y fueron llamados así debido a su origen incierto en ese tiempo. Estos
rayos son invisibles, pero viajan en línea recta y afectan una placa
fotográfica en la lisma forma que la lúz. Po otro lado, son mucho más
penetrantes que la lúz y pueden pasar fácilmente a través del cuerpo
humano, metales y materiales opacos.
Los rayos X se aplican en la radiografía en base al diferente grado
de absorción de los rayos X para cada material y tiene una resolución
del orden de 10-1 cm. Por otro lado, los rayos X se aplican en la
difracción, la cual tiene una resolución del orden de 10-s cm; es decir,
nos permite estudiar la estructura interna de los cristales y por lo
tanto se aplica a auchos problemas metalúrgicos.
En la figura 12 se auestra la localización de los rayos X en el
espectro electroaagnético y éstos se enc~entran en el rango d~ 0.5 a
2.5 A.
1.2 Espectro ~ontinuo y característico
Los rayos X son producidos cuando cualquier partícula eléctrica con
una energía cinética alta se desacelera rápidamente. Los electrones son
usados cOlúnmente para este propósito, la radiación es producida en un
tubo de rayos X, el cual contiene una fuente de electrones y dos
electrodos de metal. Se aplica un alto voltaje, del orden de unos diez
.il volts, y rápidamente los electrones se atraen hacia el inodo o
anticátodo, en el cual los electrones con alta velocidad se impactan.
Los rayos X se producen en el punto de impacto y se radian en todas
las direcciones. Cuando los rayos X son analizados se encuentra que
consisten de una mezcla de radiaciones de diferente longitud de onda
-15-

18. Figura 12 Espectro de radiaciones electromanégtico.
-16-

19. y diferente intensidad como se muestra en el espectro de los rayos X de
li figura 13. Aquí se observa lue la intensidad y longitud de onda son
dependientes del voltaje y la intensidad es cero en una londitud de onda
conocida como límite de longitud de onda corta. La radiación
representada por las curvas se conoce como radiación blanca, continua o
heUrocromática ya que es similar a la lúz blanca que está constituída
por muchas longitudes de onda.
El espectro continuo, como también se le conoce, se origina por la
rápida desaceleraciónde los electrones en el anticátodo y ya que no
todos los electrones son desacelerados en la misma forma (algunos son
frenados totalmente y otros parcialmente) se emiten radiaciones con
diferente longitud de onda.
El caso cuando un electrón es frenado en un solo impacto se producen
fotones de máxima energía; es decir, radiaciones de baja longitud de
onda (recordando que E = h " y ,,= cl ¡ h = cte. de Planck,
E = energía, e = velocidad de la Iúz , '" = frecuencia y 1 = longitud de
onda). La longitud de onda del límite de onda corta en angstroms está
dada por la siguiente ecuación:
1SWL = 12 400/V
donde V es el voltaje del tubo en volts.
Por otro lado, la intensidad de los rayos X en el espectro continuo
(4)
está dado por:
le.c. = A i Z vm
(5 )
donde A es una constante de proporcionalidad, I una contante con un
valor aproximado de 2. i la corriente del tubo y Z el número atómico
del anticátodo. Cabe hacer notar que el material anticátodo afecta la
intensidad pero no la longitud del espectro continuo.
El espectro característico cuando el voltaje aplicado al tubo de
rayos X rebasa un valor crítico característico del aaterial del
anticátodo produciendo la aparición de picos de intensidad máxima
-17-

20. I
l· .
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....
,_1..
:..
""ar:II'lrri~, i"
I racliatiutl
; 4~- -.
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ron Iinuflu...
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."
~
Z
2
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<
-
-
."
Figura 13 Espectro de rayos X del molibdeno como una funci6n del
voltaje aplicado.
-18-
I
I
I
I
I
..
I
I
I
I
I
I

21. sobre- puestos en el espectro continuo. Ya que éstos son angostos y sus
longitudes de onda son caracteristicas del material usado se les conoce
com~ lineas caracter isticas. Para entender el origen de estas lineas es
suficiente considerar a un átom~ formado por un n~cleo y rodeado de
electrones en varias capas (figora 14). Si uno de los electrones que
bombardea el anticátodo tiene saficiente energia cinética, éste puede
sacar un electrón de la capa K, dejando al átoBo en un estado excitado
de alta energía. Uno de los electrones de las capas inmediatas
exteriores cubre la vacancia de la capa K, esit Le ndo energía en el":
proceso y el átomo recupera su estado normal. La energía emitida en la
forma de una radiación posee una longitud de onda definida y se le
conoce como radiación K. La vacancia de la capa K puede ser cubierta por
un electrón de la capa L y en este caso se le denomina como radiaci¿n
K a. Si es cubierta por un electrón de la capa M se le conoce coao
radiación K ~ • Esto mismo se pued e aplicar para las diferentes capas
y tener la radiación L, M, etc. Sin embargo, las líneas K son las .ás
útiles en difracción de rayos X. La radiación K a puede presentar
dos eompon entes a 1 Y a 2 ( eonoc ido co.,.,o e1 do b1ete la) eon Ion, itudes de
onda muy cercanas ya que los ele~trones que cubren la vacancia en la
capa K provienen de la capa L, ~ero de d¡~~n~ orbital. Así por
ejemplo el molibdeno presenta las siguientes radiaciones
caracteristicas:
K el O • 709 26 A
K el 2 0.71354 A
Kf3 0.63225 A
La intensidad de cualquier línea característica K está dada por:
i. = B i (Y-Vdn (6)
donde B es una constante, VK es el voltaje de excitación de la línea
K, n una constante con un valor de aproximadamente de 1.5, i la
corriente del tubo y V el voltaje aplicado.
-19-

22. ,.
Figura 14
Transiciones electrónicas en un ito.o.
-20-