Asignación N 6 Matematicas I

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
CORONEL “AGUSTÍN CODAZZI”
BARINAS ESTADO BARINAS
LA APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Docente: Estudiante:
Jesús Gámez Cris Sulbaran C.I:30.221.476

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Índice
Introducción……………………………………………………………………3
Desarrollo:
La Aplicación de la Derivada…………..……………………………...4,5,6,7
Puntos de Inflexión……………………………………………………..7,8
Máximos y Mínimos…………………………………..........................8,9
La Regla de L’Hôpital…………………………………………………...9,10
Derivada Implícita……………………………………………………….11
Conclusión……………………………………………………………………..12
Bibliografía……………………………………………………………………..13

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Introducción
La aplicación de la derivada nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el
mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la construcción de un edificiocon una función que relacione
los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la
ingeniería, la economía, la administración etc. La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión. Es un
concepto fundamental para el estudio del cálculo, sin embargo, el tratamiento que se le da a este concepto en la escuela
generalmente se enfoca principalmente en el manejo y la aplicación de fórmulas y recursos algebraicos. La derivación
constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que
nos permite identificar la tasa de variación de una función en un momento determinado. El estudio de las operaciones con
derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibniz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bienentrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición
de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

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La Aplicación de la Derivada
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un
punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad
y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto, tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos
que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´ (-0.01) tenemos:
y´ (-0.01) = -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:

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y´ (0.01) = 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación:
1. Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas
de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa
de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja
como, aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.
2. Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la
materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
3. Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de
problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación
del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto
máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo
absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un
punto máximo relativo es uno, para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.
4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para
rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una
solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series
Taylor. El método de Newton-Raphson puede establecerse como:
El método de Newton-Raphson, permite hallar una raíz de una ecuación no-lineal siempre y cuando se parta de una buena
estimación inicial de la misma. El esquema iterativo de Newton puede derivarse del desarrollo de Taylor de la función
alrededor de la estimación inicial.

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Ahora bien, la recta tangente a la función, que pasa por el punto [x0, f(x0)], se encuentra definida por la siguiente expresi ón:
Si denominamos x1 a la intersección de g(x) con el eje x (es decir, la raíz de g(x)), resolviendo dicha ecuación obtenemos,
la siguiente expresión:
y generalizando este esquema de aproximaciones sucesivas a la raíz, obtenemos:
Para que el método de Newton-Raphson converja deben cumplirse ciertas condiciones de convergencia. En la siguiente
figura podemos apreciar, como aun partiendo de un punto cercano a la raíz buscada, en un caso el método converge y en
otro caso no.

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5. Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son
requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de
máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del
comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la
ganancia.
Puntos de Inflexión
Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de cóncavo
a convexo o viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es
un punto de inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición necesaria que la segunda derivada,
si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber punto de inflexión en a. Pero, por el
contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).

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Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x2. Para x = 0, f’’ (0) = 0 y, sin embargo,
el punto (0, f (0)), es decir, el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en
el ejercicio 2:
Máximos y Mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada. Si la función está definida en un intervalo
(a, b) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera
en c debe ser nula, f’(c) = 0. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto es un
extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:
Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de tangente horizontal. Los puntos en que se
anula la primera derivada se denominan puntos críticos.
 Criterio de la Derivada Primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada
pasa de signo positivo a negativo.
El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada
pasa de signo negativo a positivo.

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El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato
de c la primera derivada no cambia de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:
 Criterio de la Segunda Derivada
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es
negativa.
El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es
positiva. El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:
La Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital. sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más
complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o
∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar

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a una de los tipos anteriores. La regla de L’Hôpital. puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la
derivación>.
Aplicación de la Regla de L’Hôpital
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica
que:
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador. Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el
límite f’/g’ no excluye que pudiera existir el límite de f/g). El valor del límite en “a” puede ser cualquiera en el intervalo
derivable de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞. La regla de L’Hôpital. se puede aplicar también directamente a límites
laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer la transformación:

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En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1∞, 00; o ∞0, mediante transformaciones basadas en las
propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría
aplicar la regla de L’Hôpital.
Derivada Implícita
La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la
que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x. Una función
implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la
variable independiente x.
No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función en forma explícita. Puede ser por la
misma forma de la función o porque las dos variables estén dentro del argumento, tal como:
Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en forma explícita, aunque se pueden
derivar sin necesidad de ser transformadas:
Para derivar las ecuaciones que quedan definidas en forma implícita, se recurre a la llamada derivación implícita. El proceso
de derivación implícita consiste en obtener la derivada de esta función respecto de la variable x. Para ello hay que tomar la
variable y como una función de x (se considera y = f(x)). La derivada de esta última función será y’. En otras palabras, al
derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras que a y se le considera una función. Antes
de derivar, si hubiere fracciones, conviene eliminar los denominadores con el mínimo común múltiplo. Mediante la aplicación
del método de la cadena, se procederá a derivar, despejando finalmente y’.

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Conclusión
Mediante el uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de
estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor
entendimiento. La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta
forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales
de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los
negocios y la economía, etc. Saber distinguir en que puntos una función es derivable es de suma importancia. La derivada
nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. La derivada representa
un papel fundamental en las Matemáticas debido a su gran cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la
economía

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Bibliografía
1. https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/
2. https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/u3tipos.html
3. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-derivadas/