Presentacion multiplicativas

CURIOSIDADES Y PARADOJAS
1.Multiplicando con los dedos
2.Multiplicación rusa
3.Multiplicación árabe
4.Algoritmo de Colombia
5.Productos por el número 8
6.Productos por el número 9
7.Productos sin repetir cifras
8.Productos con una sola cifra
9.Los 6 múltiplos de 142857
10.Cuadrados notables
11.Otra del 8 y el 9
12. Dos más sobre cuadrados
13.Demostración sorprendente
14.Simplificaciones locas
15.Aquiles y la tortuga
16.El cretense mentiroso
17.En el cementerio
18.¿Dónde está la peseta?
19.Los caníbales
20.Los tres cofres
21.Más pena para el mismo reo
22.Los tres condenados
23.Paradoja de Feijoó
24.¿Me libraré del examen?
25.El sabio Sancho Panza
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1.Como multiplicar dos factores de una cifra,
ambos mayores que cinco
1.Como multiplicar dos factores de una cifra,
ambos mayores que cinco
CuriosidadesCuriosidades
2.La tabla del nueve2.La tabla del nueve

Cómo multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores
que cinco:
Este truco, utilizado ya por los turcos en la Edad Media, hubiera
sido interesante conocerlo cuando estabas aprendien-do la
tabla de multiplicar. Recuerda que las tablas de los primeros
números eran muy fáciles de recordar: la del 1, menuda
tontería; la del dos, sencillísima; la del 3 y la del 4, tampoco
ofrecían mucha dificultad, y la del 5, sí que era sencilla
(5,0,5,0,5,....). El fastidio comenzaba a partir de aquí. Bueno,
pues con la ayuda de las manos, no es necesario aprender más
tablas que las cinco primeras:
-Si queremos multiplicar 8 x 4 , no es necesario saber la tabla
del ocho, ya que:
8 x 4 = 4 x 8 = 32
(la tabla del cuatro sí hay que saberla)

1.- El problema sería que se quieran multiplicar dos
factores mayores que cinco, por ejemplo 7 x 9. Pues
bien, se numeran los dedos de cada mano a partir del
seis, comenzando por los meñiques:
6 6
7
8
9 9
10 10
8
7

2.- Se juntan el dedo número 7 de una mano y el dedo número
9 de la otra.
3.- Si se cuentan los dos dedos que están juntos y los que
están debajo ( en nuestro caso: 2 + 4 = 6 ), ya se tiene la cifra
de las decenas.
4.- Multiplicando los que quedan libres de una mano por los
que quedan libres en la otra ( 3 x 1 = 3 ) , obtenemos las
cifras de las unidades.
5.- De esta manera se sabe que 7 x 9 = 63.
63
2 + 4 = 6
3 x 1 = 3
Ejemplo:
DemostraciónDemostración

La tabla del nueve:
Este truco puede servir para aprenderse la tabla del nueve. Pero
sí puede ofrecer una alternativa válida, ya que es mucho más fácil
que el anterior.
-Se abren las dos manos y se numeran todos los dedos de
derecha a izquierda, del 1 al 10. (Figura)
-Para averiguar cuánto es 9 x 4, por ejemplo, se cuentan los
dedos que están a la derecha del dedo número 4, que son 3; y los
que están a la izquierda, que son 6, luego: 9 x 4 = 36
!! Prueba con toda la
tabla del nueve !!
1
2
34
56
78
9
10

Multiplicación rusa:
Los rusos, para multiplicar números grandes, utilizaban el
método de “dobles y mitades”, hasta llegar a la unidad. Como
ejemplo, multipliquemos 624 x 432 :
DOBLES (x 2) MITADES (:2)
624
1.248
2.496
4.992
* 9.984
* 19.968
39.936
* 79.872
* 159.744
432
216
108
54
27 – 1 = 26
13 – 1 = 12
6
3 – 1 = 2
1
En la columna de la izquierda vamos
multiplicando por dos, mientras que en
la derecha vamos dividiendo por dos,
sucesivamente. Cuando nos encontra-
mos a la derecha un número impar que
impediría la continuación del proceso, le
restamos una unidad, y señalamos el nú-
mero que está a su izquierda con un
asterisco. Para conseguir el producto de
los dos números, basta sumar los núme-
ros marcados con un asterisco. En
efecto:
269568
159744
79872
19968
9984
+
Prefiero la
ensaladilla
rusa a la
multiplica-
ción rusa

2
2
2
0
0
0
1
1 0
1
1
8
8
6
6
4
4
6 2 4
4
2
2 6 9 5 6 8
8
3
¿Observas alguna
relación entre este
método y vuestro
algoritmo de la
multiplicación?
3.Multiplicación árabe:
-Colocamos el multiplicando y el multiplicador arriba y a la
derecha de una tabla como la del ejemplo, esto es, arriba de
izquierda a derecha; y a la derecha, de arriba hacia abajo.
-Construimos una tabla de doble entrada disponiendo los
productos de dos cifras de la siguiente manera: la cifra de las
decenas arriba, y las de las unidades abajo.
-Por último se suman siguiendo las líneas inclinadas .........
Es decir: 6 2 4 x 4 3 2 = 2 6 9 5 6 8

1 4 6 9
2 5 7
3 2 5 4
1 7 8 5
4.Algoritmo de Colombia:
Se llama así porque el documento que lo contiene se conserva en la
Universidad de Colombia en Nueva York. Consiste en un método para
realizar restas. Veámoslo con un ejemplo:
1.- Se coloca la línea de la ope-
ración sobre el minuendo, y se
empieza a restar por la izquierda.
Se lee así: 3 menos 1, 2. Escribe
el 2, tal y como se ve en la si-
guiente tabla:
2
3 2 5 4
1 7 8 5
2.- 22 menos 7, 15. Se escribe el 1
sobre el 2 y el 5 en la fila de abajo.
1
2 5
3 2 5 4
1 7 8 5
3.- 55 menos 8, 47. Se escribe
como en la tabla:
1 4
2 5 7
3 2 5 4
1 7 8 5
4.- 74 menos 5, 69:
El resultado es el que se
indica en la primera fila.
Anímate y haz otra resta utili-
zando el algoritmo de Colom-
bia.

Productos por el número ocho:
1.- Si el número 8 lo multiplicamos por 1, 2, 3, ...(la serie
natural de los números en forma correlativa y sin limitación) se
van obteniendo productos que tienen la particularidad de que
sumados los valores absolutos de sus cifras dan la serie
decreciente de los números dígitos, descomponiéndolos, a su
vez, cuando estas sumas exceden de nueve:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
2.- También con la cifra 8 se tienen las siguientes
igual-dades notables:

0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
Productos por el número 9:

Productos sin repetir cifras:
Los siguientes productos tienen la particularidad de expre-
sarse con igualdades en las que sólo entran una vez cada
una de las nueve primeras significativas; no se pone como
problema encontrar estos productos, puesto que no hay
principios generales para ello. Se les puede encontrar
consultando pacientemente tablas como la de CRELLE, que
presentan los productos de dos factores hasta 999 x 999,
pero se corre el riesgo de soñar con multiplicaciones. Por
cierto, ¿cuántos productos tendrá la tabla referida?.
483 x 12 = 5796 157 x 28 = 4396 159 x 48 = 7632
297 x 18 = 5346 186 x 39 = 7254 1738 x 4 = 6952
198 x 27 = 5346 138 x 42 = 5796 1963 x 4 = 78852

Productos que se escriben con una sola cifra:
1.- Una propiedad muy conocida del número 12345679 (que no deja
de ser muy particular) es que al multiplicarlo por 9 da un producto
que se escribe con la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por
tanto, al multiplicarlo por 18 ( 9 x 2), por 27 (9 x 3), por 36, etc., se
obtienen productos notables, a saber:
12.345.679 x 9 = 111.111.111
12.345.679 x 18 = 222.222.222
12.345.679 x 27 = 333.333.333
12.345.679 x 36 = 333.333.333
...................................................
12.345.679 x 81 = 999.999.999

2.- De no haber conocido este multiplicando, podríamos haber
intentado hallarlos sin más que dividir por 9 el número 1111...,
bajando después da cada resto un uno, en vez de un cero, hasta
que la división fuese exacta. Del mismo modo vamos ahora a
investigar cuál es el número que multiplicado por 7, da un
producto escrito sólo con unos, para así generar números que se
escriban con una sola cifra.
0
21
51
61
41
11
15873
7
7 x 15.873 = 11.111
Por consiguiente:
15.873 x 7 = 111.111
15.873 x 14 = 222.222
15.873 x 21 = 333.333
.....................................
15.873 x 63 = 999.999

Ejercicio:
Requiere más paciencia contestar a esta pregunta:
¿Cuál es el número que multiplicado por 49 da un
producto que se escribe con sólo unos?. En efecto,
procediendo como antes, se encuentra:
3.- Con la imaginación del lector, pueden idearse más
actividades basándose en la misma estrategia. Obsér-
vese que en esta misma idea, pero utilizando al 3 como
divisor se planteó el juego de magia número 15, titulado
treinta y siete.
2267573696144124716553287981859410430839

142.857 x 1 = 142.857 x 4 =
142.857 x 2 = 142.857 x 5 =
142.857 x 3 = 142.857 x 6 =
Los seis primeros múltiplos de 142.857:
Son bastante fáciles de calcular, ya que tomando el
número anterior como multiplicando y cualquiera de los seis
primeros dígi-tos, todos los productos tienen las mismas cifras
que el multiplicando, y en el mismo orden; de modo que, para
hallar rápidamente uno cualquiera de esos múltiplos, basta
multiplicar la cifra de las unidades (7), y luego, a partir de la que
indique dicho producto, ir copiando las demás correlativamente.
Ejemplo: 142.857 x 4 = Como el producto de las unidades por 7
termina en 8, el resultado será = 571.428
Ejercicio: Completa la siguiente tabla:

10.Notables sucesiones de cuadrados:
En el “Taljis” o libro de Aritmética de ABENAL-
BANA (1256-1323), famoso matemático hispanoárabe hijo
de un albañil granadino, se registran los siguientes
cuadrados notables:
12
=
112
=
1112
=
11112
=
111112
=
1111112
=
11111112
=
111111112
=
1111111112
=
1
121
12321
1234321
123454321
12345654321
1234567654321
123456787654321
12345678987654321
92
=
992
=
9992
=
99992
=
999992
=
9999992
=
99999992
=
999999992
=
9999999992
=
81
9801
998001
99980001
9999800001
999998000001
99999980000001
9999999800000001
999999998000000001

0 x 9 + 8 =
9 x 9 + 7 =
9 8 x 9 + 6 =
9 8 7 x 9 + 6 =
9 8 7 6 x 9 + 6 =
9 8 7 6 5 x 9 + 6 =
9 8 7 6 5 4 x 9 + 6 =
9 8 7 6 5 4 3 x 9 + 6 =
9 8 7 6 5 4 3 2 x 9 + 6 =
9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 9 + 6 =
8
8 8
8 8 8
8 8 8 8
8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Otra vez la magia del 8 y del 9:

a) Si los enteros consecutivos,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13..., se elevan al cuadrado:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,
100, 121, 144, 169...,
se observará esta ley, que es
fácil de demostrar: Las cifras de
las unidades de los cuadrados
de los enteros forman un
periodo simétrico,
0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,
en el cual las cifras simétricas
con relación a 5 ó con relación
a 0 son iguales.
b) Los pares de cuadrados
perfectos:
144 y 441, 169 y 961, 14.884 y
48.841 lo mismos que sus res-
pectivas raíces,
12 y 21, 13 y 31, 122 y 221,
están escritas por las mismas
cifras escritas al revés.
El matemático V. THÉBAULT
ha investigado cuáles son
todos los pares que gozan de
esta curiosa propiedad. Por
ejemplo, halló también el par
siguiente:
11132
= 1238769 y 31112
=
9678321
Dos curiosidades más sobre cuadrados:

Una demostración sorprendente:
-Sean “x” e “y” dos números proporcionales a 6 y 4, es decir:
X/6 = y/4 , de lo que se deduce que 4 x = 6 y
-La igualdad anterior se puede transformar en:
14 x – 10 x = 21 y – 15 y
-De ella podemos obtener:
5 ( 3 y – 2 x ) = 7 ( 3 y – 2 x )
-Dividiendo los dos miembros por
( 3 y – 2 x ), queda:
(Naturalmente se impone la proposición como ejercicio de la
justificación de este paradójico resultado)
!!! 5 = 7 !!!

Simplificaciones escandalosas:
Pepe Pinto, llama a su
primogénito Pepito, le hace
escribir la fracción:
, y le pide que la
simplifique.
•Puedo quitar un 6 al numerador
y otro seis al denominador –dice
Pepito. Una vez hecha la
operación la fracción queda así:
•Está bien – aprueba Pepe Pinto
-. Pero puedes hacer algo mejor.
•Es cierto –reconoce Pepito- ,
todavía puedo simplificar dos
veces con el seis.
6656
6662
.
.
665
266
•Y entonces escribe:
¡Olé! –dice Pepe- . ¡Te felicito!.
El método de simplificación em-
pleado por Pepito Pinto es poco
ortodoxo y sin embargo, los re-
sultados son exactos. ¿Podrías
encontrar una fracción de la mis-
ma forma
( con el mismo número de b
en el numerador y en el
denominador) que pueda
simplificarse de la misma manera
y que sea equivalente a 1/2 ?
5
2
665
266
6656
6662
==
.
.
cbbbb
bbba



Aquiles y la tortuga:
Muestra de la saga de “Los eleáticos o sofistas”,
para los que los que lo primordial era convencer de sus
habilidades oratorias, fue Zenón de Elea autor de
numerosas para-dojas dialécticas, de las que sin duda la
más conocidas es la de “Aquiles y la tortuga”:
....... Aquiles fue un héroe troyano de la mitología griega,
que según la leyenda, era invulnerable debido a su
madre, que para hacerle invencible, le llevó al Lago
Estigio, morada de Medusa, y le sumergió en sus aguas
sujeto de un talón. Como su talón fue lo único que no se
mojó, este era su único punto débil.
Pues bien, Zenón aprovechó la fama de buen
corredor de Aquiles para plantear su célebre paradoja:

“Una osada tortuga reta al veloz
Aquiles a competir en una carrera,
con la condición de que consciente
del pesado lastre que debe trans-
portar ella tras su espalda, debe
dejarle ciertos metros de ventaja.”
Los dos comienzan a correr y, cuando Aquiles llega al
punto A, de donde salió la tortuga, ésta ya se encuentra en
otro punto B. Cuando Aquiles llega a B, la tortuga ha avanzado
otro pequeño trozo y ya se encuentra en otro punto C. Cuando
Aquiles llega a C, la tortuga ya se encuentra en otro punto D.
De manera que, si bien va acercándose peligrosamente a la
tortuga,
..................................................
¡Aquiles nunca alcanzará a la tortuga!

El cretense mentiroso:
Una paradoja, producida por la imprecisión del lenguaje,
conocida en la Grecia clásica, cuenta como Epimenides, un
cretense, afirmaba que los cretenses eran embusteros.
La afirmación parece lógicamente inofensiva, pero
analicemos lo que sucede: Si la frase fuese verdad, debiera ser
falsa, puesta que la enunciaba un cretense que (al menos en
aquella ocasión) no mentía. Pero si la frase fuese falsa, debiera
ser cierta, porque entonces los cretenses no mentirían y
Epimenides era un cretense.
Con toda evidencia, lo que Epimenides quería decir es
que lo cretenses, ordinariamente (no siempre) mentían, y desde
luego, daba por supuesto que él, cretense, no mentía en
aquella ocasión. Pero la confusión originada, justifica la frase
del ilustre matemático POINSOT: “Nunca se es demasiado
claro hablando de Matemáticas”. Como la del no menos ilustre
FRECHET, en uno de sus tratados: “Todo aquello que se
sobreentiende sin decirlo, queda mejor entendido, diciéndolo”.

En el cementerio:
En una tumba en el cementerio de Alencourt, en
las cercanías de París, se encuentra la siguiente
inscripción, que damos traducida al castellano:
Aquí yace el hijo; aquí yace la
madre;
Aquí yace la hija; aquí yace el
padre;
Aquí yace la hermana; aquí yace el
hermano;
Aquí yacen la esposa y el marido.
Sin embargo, hay solamente tres
personas aquí.
CuriosidadesCuriosidades SoluciónSolución

Solución:
La explicación lógica, pero siempre incestuosa, es la
del joven adinerado y mujeriego que “perdía” a una
muchacha humilde y, cosa entonces bastante frecuente, no
volvía a preocuparse por lo que hubiera podido acaecer a la
hija, fruto de sus amores.
Más tarde, ya cuarentón, conocía a una hermosa
joven, con la que se casaba sin saber que era su propia hija
y con la que tenía un hijo.
De esta forma se tiene, en tres personas, al hijo, la
hija, el padre, la madre, la esposa, el marido, el hermano y
la hermana.

¿Dónde está la peseta?:
A ver si sabes darle explicación a la siguiente paradoja:
Tres amigos van a un Kiosco y compran chucherías
por valor de 25 pesetas. Cada niño pone una moneda de
10 pesetas. Con las cinco pesetas que les devuelve el
vendedor, se queda una cada uno y le dan dos pesetas al
vendedor de propina, de modo que realmente cada uno ha
aportado 9 pesetas, es decir, entre los tres han puesto 27
pesetas, y el vendedor se ha quedado con dos pesetas
más, ¿dónde está la peseta que falta?.
SoluciónSoluciónCuriosidadesCuriosidades

Solución:
Se trata de una formulación confusa de la situa-
ción. En realidad, la distribución del dinero es bien
sencilla:
25 pesetas para el vendedor
3 pesetas devueltas
2 pesetas de propina para el vendedor
No desapareció nada. En otras palabras, de las
27 pesetas pagadas (3 veces 9), 25 se emplearon en la
compra y 2 fueron la propina.

Los caníbales:
Iba un explorador de safari por la selva, cuando
fue apresado por una tribu de caníbales. El jefe de la
tribu quiso darle una oportunidad y así le ofreció la
siguiente alternativa de escapar: Le enseño dos
caminos, cada uno de los cuáles estaba custodiado por
un guardián. Él podría formular sólo una pregunta a uno
de ellos, y elegir un camino hacia la muerte o hacia la
libertad.... Pero hay una pequeña pega: uno de los dos
guardias siempre miente, y el otro siempre dice la
verdad. ¿Cuál puede ser la pregunta salvadora?

Solución;
Le preguntaría a cualquiera de los dos
guardianes, qué respondería el otro guardián si
yo le preguntara qué camino conduce a la
libertad.
Luego tomaría el camino contrario al que
me respondiera el guardián al que le formulé la
pregunta.

Los tres cofres: (Este problema y el siguiente son
debidos a Raymond Smullyan)
Un sultán propuso el siguiente problema a un reo:
“He aquí tres cofres: uno rojo, otro azul y otro blanco.
Cada uno tiene una inscripción.
•En el rojo dice: - La llave de la celda está en este cofre -.
•En el azul dice: - La llave de la celda no está en este
cofre -.
•En el blanco dice: - La llave de la celda no está en el
cofre rojo -.
De las tres inscripciones, a lo sumo una es cierta. Si
sois capaz de adivinar en cuál está la llave os dejaré ir
libre”. ¿Qué cofre debió elegir el reo?
SoluciónSolución

Solución:
Aunque hay otras maneras de razonar que
también llevan a la respuesta correcta, la más
rápida e la siguiente:
Observemos que las inscripciones del cofre
rojo y del cofre blanco son contradictorias. Por
tanto, una de ellas es cierta, y como no puede
haber ninguna más que lo sea, la del cofre azul es
falsa y en él está la llave.

Más penalidades para el reo:
Así pues, el reo del problema anterior, habiendo
abierto el cofre azul y encontrado en él la llave de la celda,
alegremente abrió la puerta y salió hacia la libertad... Pero
antes de franquear la puerta principal de la prisión fue
detenido por un guardia que – por orden del sultán – le
presentaba otros dos cofres: uno rojo y otro azul.
En el rojo decía: - La llave de la puerta principal no
está aquí -.
En el azul decía: - Exactamente una de estas
sentencias es cierta -.
El sultán, que le había dejado salir de la celda, le exigía pasar
una prueba más, acertando el cofre en que estuviese la llave
de entrada de la prisión. ¿Qué hizo el reo?

Solución:
El reo sacó una moneda y se jugó a cara o cruz
la elección de uno u otro cofre, ya que no se dijo
nada sobre la veracidad o falsedad de las
inscripciones, lo que nos permite poner la llave
donde nos plazca, sin que por ello exista
contradicción alguna.
Como el reo se dio cuenta de ello, el sultán
comprendió que tenía encarcelado al cerebro del país
y lo dejó en libertad antes de que eligiera.

22.Los tres condenados:
Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados
mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y
condenados a muerte por el mismo. Antes de cumplirse la
sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió
indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio
recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo
siguiente:
A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blancas,
y dos tiras negras. Después, ordenó que a la espalda de cada
preso, por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho
esto permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero
que no se comunicasen. Prometió libertad al que primero supiese
acertar, con razonamiento infalible, eso sí, el color de su propia
tira.
El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas, y a los
pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, a quien
expuso la respuesta correcta. ¿Qué fue lo que le dijo A y cómo lo
razonó?

Solución:
Sabiendo la inteligencia de sus compañeros, afirmó:
!Mi tira es blanca!
Porque si fuera negra alguno de los otros dos hubiera
podido encontrar la respuesta:
El 1º vería blanca+blanca o blanca+negra. Si ocurrió lo
primero, su cinta era blanca. Si ocurrió lo segundo,
¿cuál de los otros tendría la blanca?. Si la tira negra la
tuviera yo, el otro hubiera acertado al ver que el 1º no
contestaba con seguridad, ya que habría visto una
blanca y otra negra, en cuyo caso el 2º sabría que la
suya era blanca. Luego sabiendo que mis compañeros
son inteligentes, yo sé que mi tira tiene que ser blanca.

Una de las “paradoxas” matemáticas del P. Feijóo:
En el Discurso séptimo de su Teatro crítico Universal
(1729), el P. Benito J. Felióo (1676-1764) ofrece una
miscelánea de paradojas sobre cada una de las partes de las
matemáticas. Por ejemplo, una de las que hablan de
Geometría dice lo siguiente:
(Demostración: Téngase en cuenta que las rectas que contie-
nen a las plomadas se cortarían en el centro de la Tierra)
“Dos paredes de un edificio si
están bien hechas a plomo, no
pueden ser paralelas o equidis-
tantes; antes bien, es preciso
que disten más una de la otra
por la parte superior que por la
inferior”.

“Voy a escribir en un papel una proposición, que en el
transcurso de la hora de clase, es decir antes de que toque
el timbre, se cumplirá o no se cumplirá. Vosotros/as debéis
escribir en un papel: SE CUMPLE o NO SE CUMPLE.
Lógicamente si se ha cumplido ganan los primeros y si no,
los segundos. Y los que ganan no tendrán que hacer el
examen de mañana, !!! SUERTE !!!.
Pues bien, ¿sabes cuál es la frase escrita por el/la
profesor/a?.
¿Me libraré del examen?:
Un día previo a un examen
de evaluación, el profesor de ma-
temáticas dice encontrarse muy
generoso y les propone a los
alumnos y alumnas una sencilla
adivinanza:
SoluciónSolución

Solución:
Pues bien, ¿sabes cuál es la frase escrita por el/la
profesor/a?.
HAS ESCRITO: NO SE CUMPLE
Para los/as que escribieron SE CUMPLE, no se cumplió
la proposición, por lo que como ellos dijeron que se
cumplía, no ganaron.
Para los/as que escribieron NO SE CUMPLE, se
cumplió, pero como ellos habían vaticinado que no se
cumpliría, tampoco ganaron. Así que....
LO SIENTO, !! A ESTUDIAR !!

La sabia decisión de Sancho Panza:
Para presentar otro tipo de paradojas, de cuyo
enunciado caben numerosas variantes, parece lo más
conveniente reproducir unas páginas del Quijote, en el
Capítulo L1 de la Segunda Parte. Es, sin duda, el escrito de
CERVANTES más profesionalmente vinculado a la
matemática, y se refiere a un episodio del gobierno de
Sancho Panza en la ínsula Barataria. He aquí pues, la
cuestión que cierto día ofreció un forastero al juicio y
sentencia de Sancho Gobernador:
“ – Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un
mismo señorío... Y esté vuesa merced atento, porque el caso
es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre

“Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de
jurar primero a dónde y a qué va; y si jurare verdad, déjanle
pasar, y si dijera mentira, muera por ello ahorcado en la
horca que allí se muestra, sin remisión alguna”. Sabida esta
ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, que
luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad,
y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues,
que tomando juramento a un hombre, juró y dijo, que para el
juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí
estaba, y no a otra cosa.
sobre este río estaba un puente, y al
cabo de él una horca y una como casa de
audiencia, en la cual de ordinario había
cuatro jueces que juzgaban por la ley
que puso el dueño del río, del puente y
del señorío, que era de esta manera:

Repararon los jueces en el juramento y dijeron: Si a este
hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento,
y confor-me a la ley debe morir; y habiendo jurado verdad,
por la misma ley debe ser libre”. Pídese a vuesa merced,
señor Gobernador, ¿qué harán los jueces de tal hombre?
Que aún agora están dudosos y suspensos; y ha-biendo
tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa
merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuesa merced de
su parte, diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso.
A lo que respondió Sancho:
“Por cierto que esos señores jueces, que a mí os
envían, lo pudieran haber excusado; porque yo soy hombre
que tengo más de mostrenco que de agudo; pero, con todo
eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo lo
entienda; quizá podría ser que diese con el hito”.
Volvió una y otra vez el preguntante a referir lo que primero
había dicho, y Sancho dijo:

“A mi parecer, este negocio en dos paletas le declararé yo si
es así; el tal hombre jura que va a morir en la horca; y si muere
en ella juró verdad; y por tal ley puesta merece ser libre, y que
pase el puente; y si no le ahorcan juró mentira, y por la misma
ley merecen que le ahorquen.”
-“Así es como vuesa merced dice, dijo el mensajero; y en
cuanto a la entereza y entendimiento del caso, no hay más que
pedir ni que dudar.”
-“Venid acá, señor buen hombre, respondió Sancho; este
pasajero que decís, o yo soy un porro, o él tiene la misma
razón para morir que para vivir y pasar el puente; porque si la
verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo así
como lo es, soy de parecer que digáis a esos señores que a mí
os enviaron, que pues están en fil las razones de condenarle o
absolverle, que le dejaran pasar libremente, pues siempre es
alabado más el hacer bien que mal; y esto le diera firmado en
mi nombre, si supiera mejor firmar; y yo en este caso no he

hablado de mío, sino que se me vino a la memoria un precepto,
entre otros muchos, que me dio mi amo don Quijote, antes que
viviese a ser gobernador de esta ínsula, que fue cuando la
justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la
misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por
venir en este caso como de molde.”
¡Buen Sancho Panza!... Podíamos alabar, después de esta
lectura, la no fingida modestia que sus contestaciones
transparentan, y también su fidelidad al cristiano y cabal
precepto que don Quijote le diera.; pero lo que a cualquier
matemático debe resultar simpático es su buen deseo de
declarar en “dos paletas” el planteo de una cuestión cuando,
como sucede muchas veces, viene estorbada en su
comprensión por una multitud de detalles no esenciales.
Existen muchos problemas, que pareciendo distintos, son
matemáticamente idénticos al que plantea Cervantes.....

Demostración:
•Expresemos los dos factores algebraicamente de la
siguiente manera genérica: 5+x y 5+y.
• Si te das cuenta la demostración de la regla es
equivalente a la justificación de la siguiente
identidad algebraica, que por otro lado es trivial:
(5+x)(5+y) = 10(x+y)+(5-x)(5-y)

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