1.
15 de mayo de 2019
Curso – Resistencia de materiales [15153]
Santiago de Chile, Mayo 2019
1
Clase 9 – Deflexión en vigas
Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica
Profesores: Matías Pacheco Alarcón (matias.pacheco@usach.cl)
Aldo Abarca Ortega (aldo.abarca@usach.cl)
Ayudante: Estéfano Muñoz (estefano.munoz@usach.cl)

2.
15 de mayo de 2019 2
Resumen clase anterior

3.
15 de mayo de 2019 3
Resumen clase anterior

4.
15 de mayo de 2019 4
Deflexión de una viga

5.
15 de mayo de 2019 5
Deflexión de una viga
Punto de inflexión
Punto de inflexión

6.
Relación momento flector - Elástica
15 de mayo de 2019 6
Antes de
deformación
Después de
deformación
Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que su
deformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendo
sometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde su
centro 𝑂′
hasta 𝑑𝑥.
𝜖 =
𝑑𝑠′
− 𝑑𝑠
𝑑𝑠
→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′
= 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃
𝜖 =
𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃
𝜌𝑑𝜃
→
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦 𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
Ecuación de Navier para
esfuerzo normal en flexión
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼

7.
Relación momento flector - Elástica
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Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que su
deformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendo
sometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde su
centro 𝑂′
hasta 𝑑𝑥.
𝜖 =
𝑑𝑠′
− 𝑑𝑠
𝑑𝑠
→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′
= 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃
𝜖 =
𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃
𝜌𝑑𝜃
→
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦 𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
Ecuación de Navier para
esfuerzo normal en flexión
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
→ 𝐸𝐼
1
𝜌
= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐸𝐼 𝜃 𝑥 = න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1 → 𝐸𝐼 𝑦 𝑥 = න න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
Método de la doble integración para deflexión en vigas

8.
Condiciones de contorno y continuidad
15 de mayo de 2019 8
Usando el método de doble integración en vigas para flexión encontramos constantes propias de una
ecuación diferencial, las cuales estarán en función del corte, momentos flectores, pendientes 𝜃 , o
deflexiones. Se deben evaluar éstas constantes en base a las condiciones de borde o continuidad del problema
particular.
Apoyo simple: Δ = 0 ; 𝑀 = 0 Articulación: Δ = 0 ; 𝑀 = 0 Apoyo simple: Δ = 0 Articulación: Δ = 0
Empotramiento: 𝜃 = 0 ; Δ = 0 Extremo libre: V = 0 ; 𝑀 = 0 Unión interna: 𝑀 = 0

9.
Funciones discontinuas
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El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresado
como una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a la
hora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados en
distintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación que
determine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.
𝑥 − 𝑎 𝑛
= ቊ
0
𝑥 − 𝑎 𝑛
para 𝑥 < 𝑎
para 𝑥 ≥ 𝑎
Funciones de Macaulay

10.
Funciones discontinuas
15 de mayo de 2019 10
El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresado
como una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a la
hora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados en
distintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación que
determine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.
𝑥 − 𝑎 𝑛
= ቊ
0
𝑥 − 𝑎 𝑛
para 𝑥 < 𝑎
para 𝑥 ≥ 𝑎
Funciones de Macaulay

11.
Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
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12.
Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
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13.
Método de la superposición
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14.
15 de mayo de 2019 14

15.
15 de mayo de 2019 15

16.
Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
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17.
15 de mayo de 2019
Curso – Resistencia de Materiales [ 1 5 1 5 3 ]
Santiago de Chile, Mayo 2019
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¿Consultas?
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