deformacion de vigas resistencia de materiales para ingenieros ingenieria en construccion civil trabajo traido a ustedes por sildeshare.net espero les sea de mucha ayuda para mi lo fue

1. 15 de mayo de 2019
Curso – Resistencia de materiales [15153]
Santiago de Chile, Mayo 2019
1
Clase 9 – Deflexión en vigas
Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica
Profesores: Matías Pacheco Alarcón (matias.pacheco@usach.cl)
Aldo Abarca Ortega (aldo.abarca@usach.cl)
Ayudante: Estéfano Muñoz (estefano.munoz@usach.cl)

2. 15 de mayo de 2019 2
Resumen clase anterior

3. 15 de mayo de 2019 3
Resumen clase anterior

4. 15 de mayo de 2019 4
Deflexión de una viga

5. 15 de mayo de 2019 5
Deflexión de una viga
Punto de inflexión
Punto de inflexión

6. Relación momento flector - Elástica
15 de mayo de 2019 6
Antes de
deformación
Después de
deformación
Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que su
deformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendo
sometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde su
centro 𝑂′
hasta 𝑑𝑥.
𝜖 =
𝑑𝑠′
− 𝑑𝑠
𝑑𝑠
→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′
= 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃
𝜖 =
𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃
𝜌𝑑𝜃
→
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦 𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
Ecuación de Navier para
esfuerzo normal en flexión
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼

7. Relación momento flector - Elástica
15 de mayo de 2019 7
Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que su
deformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendo
sometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde su
centro 𝑂′
hasta 𝑑𝑥.
𝜖 =
𝑑𝑠′
− 𝑑𝑠
𝑑𝑠
→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′
= 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃
𝜖 =
𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃
𝜌𝑑𝜃
→
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦 𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
Ecuación de Navier para
esfuerzo normal en flexión
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
→ 𝐸𝐼
1
𝜌
= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐸𝐼 𝜃 𝑥 = න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1 → 𝐸𝐼 𝑦 𝑥 = න න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2
Método de la doble integración para deflexión en vigas

8. Condiciones de contorno y continuidad
15 de mayo de 2019 8
Usando el método de doble integración en vigas para flexión encontramos constantes propias de una
ecuación diferencial, las cuales estarán en función del corte, momentos flectores, pendientes 𝜃 , o
deflexiones. Se deben evaluar éstas constantes en base a las condiciones de borde o continuidad del problema
particular.
Apoyo simple: Δ = 0 ; 𝑀 = 0 Articulación: Δ = 0 ; 𝑀 = 0 Apoyo simple: Δ = 0 Articulación: Δ = 0
Empotramiento: 𝜃 = 0 ; Δ = 0 Extremo libre: V = 0 ; 𝑀 = 0 Unión interna: 𝑀 = 0

9. Funciones discontinuas
15 de mayo de 2019 9
El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresado
como una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a la
hora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados en
distintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación que
determine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.
𝑥 − 𝑎 𝑛
= ቊ
0
𝑥 − 𝑎 𝑛
para 𝑥 < 𝑎
para 𝑥 ≥ 𝑎
Funciones de Macaulay

10. Funciones discontinuas
15 de mayo de 2019 10
El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresado
como una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a la
hora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados en
distintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación que
determine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.
𝑥 − 𝑎 𝑛
= ቊ
0
𝑥 − 𝑎 𝑛
para 𝑥 < 𝑎
para 𝑥 ≥ 𝑎
Funciones de Macaulay

11. Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
15 de mayo de 2019 11

12. Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
15 de mayo de 2019 12

13. Método de la superposición
15 de mayo de 2019 13

14. 15 de mayo de 2019 14

15. 15 de mayo de 2019 15

16. Ejemplo:
Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.
15 de mayo de 2019 16

17. 15 de mayo de 2019
Curso – Resistencia de Materiales [ 1 5 1 5 3 ]
Santiago de Chile, Mayo 2019
17
¿Consultas?
Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica
Profesores: Matías Pacheco Alarcón (matias.pacheco@usach.cl)
Aldo Abarca Ortega (aldo.abarca@usach.cl)
Ayudante: Estéfano Muñoz (estefano.munoz@usach.cl)