005 MMI -Corte Puro - Torsion.pdf

Facultad de Ingeniería - UNA
Mecánica de Materiales I – 4º Semestre
Estado de Corte Puro
1. Análisis general
2. Teorema de Cauchy.
3. Problemas principales

Análisis general

Fuerzas Cortantes
G x
y
z
0
0
0
0
0












z
y
x
z
y
y
x
M
M
M
F
Q
F
F
F
Qy

Fuerzas Centrales Cortantes
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas
dA
dq
dA
df
i
i
.
.
t
s


G x
y
z
x
y

dfl = sda
dql = tdA
dft
F
Qy

G x
y
z
x
y

df
dft
b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas
dql
0
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
0
.
























dA
f
d
dA
z
f
d
z
dA
y
df
y
dA
dq
Q
dA
dq
dA
f
d
A
x
i
A
A
x
i
A
A
x
i
A
A
z
A
z
y
A
y
A
y
A
x
A
i

t

s
s
t
t
s






F
Qy

y
A
A
Q
dq
dA 
 
 .
t
Esta expresión no nos permite conocer la variación de las fuerzas internas
dentro del área, pero nos indica que el conjunto de las mismas debe equilibra
la fuerza cortante Qy
dq1
dq2
dq3
dq4
dq5
df6
dqn
Qy

2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones
a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo
 = f (y;z)  = f ( j )
Como se cumple la Hipótesis de Navier
dx
x
.dx = cte. (a)
0
.




 cte
dx
dv
dv


b) Hallar la relación entre tensión y deformación
s= f (  ) t = f ( )
Como se cumple la Ley de Hooke
s= E  t = G . 
c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando
la expresión (a) en (b)
(b)
s= E. = = 0 t = G. = cte.
d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto
0
.
.
0
.






dA
Q
dA
dA
z
y
y
t
t
s
0
.
.
0
.
.
0
.
.






dA
dA
z
dA
y

t
s
s

3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto
en función de las fuerzas internas
a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:
b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones
x
y
Diagrama de Tensiones Tangenciales
0
.
.
0
.






dA
Q
dA
dA
A
z
y
A
y
A
x
t
t
s
0
.
.
0
.
.
.
.
0
.
.
.
.














dA
dA
z
dA
z
dA
z
dA
y
dA
y
dA
y
A
A
g
x
A
x
A
x
A
g
x
A
x
A
x

t
s
s
s
s
s
s
A
Qy

t
t
G
0

s

Representación en un elemento
t
t
t
dx
t
t
t

Limitaciones de la fórmula
 La carga debe ser centrada Mf
despreciable
 La carga debe ser estática
 La pieza debe ser de un mismo material
G = cte
 El material debe ser homogéneo
 La pieza no debe tener tensiones iniciáles
o residuales
A
Qy

t




dv
dx
dv
a a
a’
Deformación supuesta Deformación real

a a
a’
Distorsiones en el corte puro
No sufren
distorsión
No sufren
distorsión

Distribución de tensiones
Tensiones supuesta Tensiones reales
Sección recta
Sección recta
Distribución
de tensiones
Distribución
de tensiones
tmedia
tmedia

F1
F2
t
Sección
de corte
Chavetas y pasadores
Sección
de corte
t
T
Sección
de corte
Sección
de corte

Uniones en estructuras de madera
R
N
S
Sección
de corte
Sección
de corte

Punzonamiento
Área de corte:
2.r e
e
r
t

Juntas Remachadas-soldadas y acoples
P
P
P
P
MT
MT

F=t.A
P P
P
P/2
P/2
l
t
t

Teorema de Cauchy

ta
Teorema de Cauchy
G x
y
z
F
Qy
c
a
c
a
d
c
d
c
b
a
b
a
dy
dx
t
dx
.t.dy
τ
M
dx
t
.t.dx
τ
X
dy
t
.t.dy
τ
Y
t
t
t
t
t
t
t
t
t












.
.
.
.
0
.
.
0
.
.
0
tb
tc
td
ta
ta
ta
ta
dx
dx
dy
dy

Estado triplo de tensiones
x
y
txy
txy
txz
txz
tyz
tyz
0
Variación de las tensiones cortantes según las orientaciones
en las cuales se determinan

Torsión Uniforme
1. Secciones circulares
2. Problemas principales
3. Desplazamientos en la torsión
4. Transmisión de Potencia

Torsión
Torsión Uniforme Torsión no Uniforme
T
T
T
No sufre
distorsión
Máxima
distorsión
Circular.
No sufre
distorsión
No tiene
Restricciones
al alabeo

Momentos torsores – Barras de sección circular
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas
dA
dq
dA
df
i
i
.
.
t
s


G x
y
z
x
y

dfl = sda
dql = tdA
dft
T

G x
y
z
x
y

dfl = sda
dql = tdA
dft
T
b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas
T
dA
df
dA
z
f
d
z
dA
y
df
y
dA
dq
dA
dq
dA
f
d
A
x
i
A
A
x
i
A
A
x
i
A
A
z
A
z
A
y
A
y
A
x
A
i
























.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
0
.
0
.

t

s
s
t
t
s






T

T
dT
dA
A
A

 
 .
.
t
Esta expresión no nos permite conocer la variación de las fuerzas internas
dentro del área, pero nos indica que el conjunto de las mismas debe equilibra
el momento Torsor T.
dq1
dq2
dq3
dq4
dq5
df6
dqn
Qy

 El ensayo de torsión consiste en aplicar
un par torsor a una probeta por medio de
un dispositivo de carga y medir el ángulo
de torsión resultante en el extremo de la
probeta. Este ensayo se realiza en el
rango de comportamiento linealmente
elástico del material.
 Los resultados del ensayo de torsión
resultan útiles para el cálculo de
elementos de máquina sometidos a
torsión tales como ejes de transmisión,
tornillos, resortes de torsión y cigüeñales.
 Las probetas utilizadas en el ensayo son
de sección circular.


Torsión de Coulomb
 Consideraciones geométricas
 1- Las secciones rectas giran alrededor
de su centro de gravedad.
 2- Las secciones rectas se conservan
circulares y planas en la deformación.
 3- Los radios de la sección se conservan
rectos en la deformación.
 4- El ángulo entre dos radios
cualesquiera de la sección permanece
inalterado en la deformación.
 Resumen: en una pieza recta de
sección circular sometida a torsión
pura, la deformación es tal que cada
sección gira alrededor de su centro
sin deformarse en su plano y sin
alabearse, como si fuera un disco
rígido. Las fibras longitudinales de la
pieza se deforman en hélices.

2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones
a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo
Como se cumple la Hipótesis de Navier
dx
.dx = 0
(a)
R
dx
d
R
dx
ds
dx
d
dx
ds















max
max
'
0
 max
ds’

0
T
T
 = f (y;z)  = f ( j )

b) Hallar la relación entre tensión y deformación
s= f (  ) t = f ( )
Como se cumple la Ley de Hooke
s= E  t = G . 
c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando
la expresión (a) en (b)
(b)
s= E. = 0 t = G.
d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto

t
t

t



t
t
.
.
max
max
max
k
cte
k
R
R
G
G









3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto
en función de las fuerzas internas
a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:
0
.
0
.
0
.






dA
dA
dA
A
z
A
y
A
x
t
t
s
T
dA
dA
z
dA
z
dA
z
Tk
dA
y
dA
y
dA
y
A
A
g
x
A
x
A
x
A
A
g
x
A
x
A
x















.
.
0
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.

t
s
s
s
s
s
s
0
0
0



x
y
x
t
t
s








A
A
A
T
dA
k
T
dA
k
k
R
T
dA
.
.
.
.
.
.
2
2
max




t
t

t

t






p
p
A p
I
T
k
T
I
k
I
dA
.
.
2
p
I
T 
t
.


b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones
Diagrama de Tensiones Tangenciales
Secciones llenas
Secciones huecas
p
I
T 
t
.


T
T
T
T

Torsión en barras circulares
 Limitaciones de la fórmula:
 Las cargas deben ser estáticas
 La pieza no debe tener tensiones iniciales o
residuales
 Para que t=k., la sección debe permanecer plana,
entonces:
 La sección recta debe ser circular
 La pieza debe ser de sección constante
 El límite de proporcionalidad no debe ser sobrepasado
 La pieza debe ser de un solo material
 El material debe ser homogéneo
 La fórmula no es válida en la cercanía de la zona de
aplicación de las cargas

Torsión - Tensión cortante longitudinal
T
T
dx
dz
dy
th
tv
tv
th
th..dx.dy.dz = tv .dx.dy.dz
th = tv
0
tv
th

Torsión - Tensión (diagonales) normales
dx
dz
dy
tv
tv
tv
th
th th
45º t45º t45º
st sc
dz
st.dm = tv.dy.cos45º + tv.dx.cos45º
st.dm = tv.(dy.cos45º + dx.cos45º)
dm
st.dm = tv.dm
st = tv =th
Igualmente sc = tv =th
Además
t45º = 0
th = tv

Formas de Falla
T
T
t transversal
Materiales dúctiles
Materiales fibrosos
t longitudinal
45
Materiales frágiles
T
T
s tracción
45º
T
T
Piezas huecas de paredes delgadas
45º
s compresión
Acero, Alambre (resisten menos al corte puro) (resisten menos a la tracción)
Madera (resisten menos en la dirección de sus fibras)

Falla de material Dúctil

Fallas por Torsión – Material Frágil

Desplazamiento en la torsión

Desplazamientos en la Torsión Uniforme en piezas de
sección circular
dx
p
l
p
p
p
I
G
l
T
dx
x
I
x
G
x
T
dx
I
G
T
dθ
I
G
T
G
dx
dθ
d
dx
ds
R
dx
d
R
dx
ds
dx
d
dx
ds
.
.
constantes
son
I
e
G
T;
Si
)
(
).
(
)
(
.
.......
.
.
.......
.
.
'
0
p
0
max
max


















t















 max
ds’

0
T
T

Torsión en secciones no circulares

Transmisión de potencia
P = T . 
Si un motor debe transmitir una potencia en HP y está girando a “n”
revoluciones por minuto el Momento sobre el árbol estará dado en
K.m y siendo 1HP= 75 K.m/s
)
.
(
.
2
,
716
75
*
60
.
2
.
m
K
n
HP
T
P
n
T



Para calcular el diámetro de un árbol que transmite la potencia de un motor
3
3
.
3
4
60
.
2
.
.
75
.
16
.
.
16
16
.
.
2
32
.
.
2
.
n
P
P
d
P
d
d
d
d
I
T
nec
p


t


t


t

t
t







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