RESISTENCIA DE mATERIALES

1. Facultad de Ingeniería - UNA
1. Tensiones: Sección Recta, Problemas Principales.
2. Concentración de Tensiones,.
3. Aplastamiento,.
4. Tensiones en planos oblicuos
UNIDAD V
Piezas cargadas axialmente

2. Facultad de Ingeniería - UNA
Tensiones: Sección recta

3. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Fuerzas centradas normales
G x
y
z
N
0
0
0
0
0
=Σ
=Σ
=Σ
=Σ
=Σ
=Σ
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
NF

4. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre

5. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre

6. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre

7. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
R1 R2
P1 P5
P4
P3
P2
P1 P3P2
R1 R2
Reticulados y Riostras

8. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Fuerzas Centrales Normales
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas
dAdq
dAdf
i
i
.
.
τ
σ
=
=
G x
y
z
x
yρ
dfl = σda
dql = τdA
dft
N

9. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
G x
y
z
x
yρ
df
N
dft
b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas
dql
0..
0...
0...
0.
0.
.
==
==
==
==
==
==
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
dAfd
dAzfdz
dAydfy
dAdq
dAdq
NdAfd
A
xi
A
A
xi
A
A
xi
A
A
z
A
z
A
y
A
y
A
x
A
i
ρτρ
σ
σ
τ
τ
σ







10. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
NdfdA
AA
== ∫∫ .σ
Esta expresión no nos permite conocer la variación de las fuerzas internas
dentro del área, pero nos indica que el conjunto de las mismas debe equilibra
la fuerza normal N
df1
df2
df3
df4
df5
df6
df7 dfn
N

11. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones
a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo
ε = f (y;z) g = f ( j )
Como se cumple la Hipótesis de Navier
εdx
dxx
ε.dx = cte.
z
y
(a)
εdx
0
.
=
==
γ
δ
ε cte
dx
d
εdx

12. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
b) Hallar la relación entre tensión y deformación
σ= f ( ε ) τ = f ( γ)
Como se cumple la Ley de Hooke
σ= E ε τ = G . γ
c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando
la expresión (a) en (b)
(b)
σ= E.ε = cte τ = f ( γ)
d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto
0.
0.
.
=
=
=
∫
∫
∫
dA
dA
NdA
z
y
τ
τ
σ
0..
0..
0..
=
=
=
∫
∫
∫
dA
dAz
dAy
ρτ
σ
σ

13. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto
en función de las fuerzas internas
a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:
b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones
x
y
Diagrama de Tensiones Normales
0.
0.
.
=
=
=
∫
∫
∫
dA
dA
NdA
A
z
A
y
A
x
τ
τ
σ
0..
0....
0....
=
===
===
∫
∫∫∫
∫∫∫
dA
dAzdAzdAz
dAydAydAy
A
A
gx
A
x
A
x
A
gx
A
x
A
x
ρτ
σσσ
σσσ
A
N
=σ
σ
G
0=τ

14. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Representación en un elemento
σ σ
σ
dx
σ
σσ

15. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Limitaciones de la fórmula:
 a) PARA QUE LAS DEFORMACIONES SEAN IGUALES
1. La pieza debe ser recta
2. La carga debe ser axil y céntrica
3. La Pieza debe ser de sección constante
4. La fórmula no es válida en la cercanía de la zona de aplicación de
las cargas
 b) PARA QUE σ = E.ε
5. La pieza debe ser de un solo material
6. El material debe ser homogéneo
 c) ADEMÁS
7. La carga debe ser estática
8. El valor de σ no será real si la pieza tiene tensioes iniciales o
residuales
A
N
=σ

16. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Cargas Axiales
 Cualquier estado de carga que tenga la misma
resultante, producen las mismas deformaciones y las
mismas tensiones en una sección, lejos de los puntos
de aplicación de las cargas. Acción de difusión.
 Las secciones paralelas al eje de la pieza no están
sometidas a tensión
 Para las piezas comprimidas se aplica el mismo
razonamiento siempre que L/S sea menor que 10.
 Para los materiales dúctiles las limitaciones 1, 2, 5 y 7
son las más importantes. Para los materiales frágiles,
prácticamente todos.
σx σx

17. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
m
P
P
m m
P
P
m m m
m m
m m m m
P
P
P
P
P P
P P
Continuo
Homogéneo
Isótropo
Acero
Hormigón
Barra
curva
Carga
excéntrica
Cercanía
de la
carga
Variación
brusca de
sección
l
dl1
dl2

18. Facultad de Ingeniería - UNA
Problemas principales

19. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Problemas principales
1. Verificación de tensiones
2. Dimensionamiento
σσ ≤=
A
N
σ
N
Anec ≥.

20. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Se considera el área neta
Se considera toda el área si el material
de relleno es igual o más resistente
Piezas comprimidas
N
N
N
N

21. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Barras traccionadas Se considera el área neta
N
N
N
φ
φ1
N
Área a descontar Área útil

22. Facultad de Ingeniería - UNA
Tensiones en planos oblicuos

23. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
σ’
σ n
αασ
ασσ
2
coscos
´
cos´.
A
N
A
N
n
n
==
=
ατ
αστ
2
2
1
´.
sen
A
N
sen
=
=
ασσ
σσ
2
cosxn
xn
A
N
=
==
A
N
sen
A
N
A
senN
x
22
cos.
´
.
max ===
==
σ
ττ
αα
α
τ
N.senα
N.cosα
N = P
N = P
Tensiones en una sección oblicuaP
P
dx
dx
dx
P P P
º45
0
2
2
cos2
=
=
=
=
α
α
α
σ
τ
ασσ
para
senx
xn
α
σ
cos
'
'
'
A
A
A
N
=
=
α
α
τ
α
α
N

24. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Tensiones máximas
α
σ
τ 2
2
senx
=
0=αpara
ασσ 2
cosxn =
A
N
xn === σσσ max
º45=αpara
A
Nx
22
max ===
σ
ττ

25. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Rotura de la madera a compresión
N
N
N
N
45º

26. Facultad de Ingeniería - UNA
Influencia del peso propio

27. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
( )
l
A
P
x
A
P
A
xAP
A
xN
a
a
a
.
.
..
max γσ
γσ
γ
σ
σ
+=
+=
+
=
=
Influencia del peso propio (barra de sección constante)
l
x
( ) ( ) .... xAxVxp γγ ==
N(x) = P + A.γ.x
P
Independiente
del A
a a

28. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
( )
( )
x
x
x
l
A
x
l
A
xA
xN
a
a
a
.
3
1
.
3
13
1
2
2
0
3
2
0
γσ
γ
γ
σ
σ
=
==
=
Influencia del peso propio (barra de sección variable)
l
x
( ) ( ) γγγ ..
3
1
..
3
1
. 3
2
0
x
l
A
xAxVxN x ===
Independiente
del Ax
a a
A0
2
2
0
2
2
0
x
l
A
A
x
l
A
A
x
x
=
=

29. Facultad de Ingeniería - UNA
Tensiones de aplastamiento

30. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Tensiones de aplastamiento
1. Se cumple la Ley de Hooke
2. La fuerza de compresión es normal al área de
contacto y aplicada en su centroide
3. En el área de contacto surgen solamente las σ
4. En el caso de dimensionamiento la tensión de
cálculo es la del material de menor
resistencia
N
σapl
σapl

31. Facultad de Ingeniería - UNA
Concentración de tensiones

32. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Concentración
de
Tensiones
Los valores del factor de concentración de
tensiones depende solamente de la forma
geométrica del miembro
Determinaciones fotoelásticas

33. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
DETERMINACIÓN DE TENSIONES POR MÉTODOS FOTOELÁSTICOS

34. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
promσσ 387,1max =
Tensiones localizadas cerca de la aplicación de la carga
PPP
b
b
b
b
A
P
prom =σ
promσσ 575,2max = promσσ 027,1max =
Distribución de tensiones cerca de una fuerza
concentrada en una placa rectangular elástica
P
P

35. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Tensiones localizadas cerca de la aplicación de la carga
100
h=10
b=10
Red deformada Red no deformada
0
5
10
50
30
25
20
15
x
y
promσ5,1
10=promσ
promσ7,2
Red deformada y red no deformada de una placa elástica, contorno de σy y distribución de tensiones
normales para b y b

36. Facultad de Ingeniería - UNA
Próxima clase:
Desplazamientos en las piezas
cargadas axialmente