centro de masa centro de gravedad

1. 1º I.T.I. :1º I.T.I. :
MECANICA IMECANICA I
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
TEMA Nº 5:TEMA Nº 5:
ESTÁTICAESTÁTICA
FUERZAS DISTRIBUIDAS:FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTRO DECENTROIDES Y CENTRO DE
GRAVEDADGRAVEDAD

2. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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IndiceIndice
 Punto 5.1 Introducción
 Punto 5.2 Centro de masa y centro de gravedad
 Punto 5.2.1 Centro de masa
 Punto 5.2.2 Centro de gravedad
 Punto 5.3 Centroides de volúmenes, superficies y líneas
 Punto 5.3.1 Centroides de volúmenes
 Punto 5.3.2 Centroides de superficies
 Punto 5.3.3 Centroides de líneas
 Punto 5.4 Centroides de cuerpos compuestos
 Punto 5.5 Teoremas de Pappus y Guldin

3. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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-- 33 --
Hasta ahora hemos tratado con fuerzas
concentradas representadas por un vector con su
módulo, una recta soporte, un sentido y en
ocasiones, un punto de aplicación.
5.1 Introducción
Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino
que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie. Son
cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida
está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido.
Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente
al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.
Otras fuerzas llamadas másicas, debidas a efectos gravitatorios,
eléctricos o magnéticos, se distribuyen por toda la masa del cuerpo (se
miden en N/m3
).
La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida normalmente a ésta se
denomina presión y se mide en N/m2
.
La fuerza distribuida sobre una línea ejercida normalmente a ésta se
mide en N/m.

4. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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En el análisis de muchos problemas de ingeniería aparecen expresiones que representan
momentos de masas, fuerzas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o
planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el plano xy) respecto al
eje y.
Hasta ahora hemos considerado los momentos de
fuerzas respecto a un punto o respecto a un eje.
∫∑ ==
= A
iiy
n
i
iiy dAxModAxM
1
La superficie puede considerarse compuesta por un gran
número de elementos de superficie muy pequeños de
área dA, así el momento de un elemento respecto al eje
será:
Y el moemto total de la superficie A respecto del eje y
será:
iii dAxdM =
El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un
plano puede definirse de manera análoga recibiendo el nombre de primer momento de
la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo o negativo ya que
las coordenadas pueden ser positivas o negativas.

5. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría
concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a
un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la
masa distribuida.
5.2 Centro de masa y centro de
gravedad
5.2.1 Centro de masa (CDM)
Si consideramos un sistema de n puntos
materiales, las distancias a los planos de
coordenadas del CDM G del sistema de puntos
materiales son:
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
===
===
===
n
i
ii
n
i
iixy
n
i
ii
n
i
iizx
n
i
ii
n
i
iiyz
zm
m
zseaozmzmM
ym
m
yseaoymymM
xm
m
xseaoxmxmM
11
11
11
1
1
1
Donde: ∑=
=
n
i
imm
1

6. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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Las ecuaciones anteriores pueden condensarse
en una ecuación vectorial única así:
kjikji ∑∑∑ ===
++=++
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii zmymxmzmymxm
111
de donde ∑=
++=++
n
i
iiii zyxmzyxm
1
)()( kjikji
que se reduce a ∑∑ ==
===
n
i
ii
n
i
iiO m
m
seaomm
11
1
rrrrM
ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es
kjir iiii zyx ++=
y el vector de posición del CDM respecto al origen es
kjir zyx ++=

7. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las
sumas se sustituyen por integrales extendidas a
toda la masa del cuerpo.
∫∫
∫∫
∫∫
===
===
===
dmz
m
zseaodmzzmM
dmy
m
yseaodmyymM
dmx
m
xseaodmxxmM
xy
zx
yz
1
1
1
Donde: ∫= dmm
Vectorialmente:
∫∫
∫∫
==
==
Vm
Vm
dV
m
dm
m
dVdmm
ρ
ρ
rrr
rrr
11
donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la
densidad del elemento y dV es su volumen

8. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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• El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el CDG del cuerpo.
• El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo
depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la
Tierra. En la práctica se supone que todos los puntosa del cuerpo experimentan la
misma aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas
soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en
el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro
de gravedad que coincide con el CDM ya que:
• Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo
del CDM tendremos:
5.2.2 Centro de gravedad (CDG)
∫∫
∫∫
∫∫
===
===
===
dWz
W
zseaodWzzWM
dWy
W
yseaodWyyWM
dWx
W
xseaodWxxWM
xy
zx
yz
1
1
1
Donde:
∫= dWW
gmW =
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas
másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los
puntos materiales que constituyen el cuerpo.

9. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su
CDG podrá determinarse considerando que el
cuerpo está constituido por infinitos elementos
cada uno de los cuales tenga un peso dW dado así:
dVdW γ=
donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el
volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:
∫=
V
dVW γ
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea
paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será
)( dVxdWxdM y γ==
y según la definición de CDG: )(∫∫ ===
VV
y dVxdVxWxM γγ
así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:
∫
∫=
V
V
dV
dVx
x
γ
γ )(
y análogamente:
∫
∫
∫
∫ ==
V
V
V
V
dV
dVz
z
dV
dVy
y
γ
γ
γ
γ )(
y
)(

10. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
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PROBLEMA 5.1PROBLEMA 5.1

11. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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-- 1111 --
Cuando sea constante el peso específico
de un cuerpo tendremos que:
5.3 Centroides de Volúmenes,
Superficies y Líneas
5.3.1 Centroides de Volúmenes
Estas coordenadas (Centroide) solo dependen de la
configuración geométrica del cuerpo y son independientes
de sus propiedades físicas.
El centroide de un volumen coincide en posición con el
CDG G del cuerpo si este es homogéneo. Cuando el peso
específico varíe de unos puntos a otros, el CDG G del
cuerpo y el Centroide no tienen por que coincidir.
Ejemplo: En el caso de la figura, como el peso específico
de la parte inferior del cono es mayor que el de la parte
superior, el CDG, que depende del peso de las dos partes,
se hallará por debajo del centroide C que solo depende del
volumen de dichas partes.
∫∫∫ ===
VVV
dVz
V
zdVy
V
ydVx
V
x
111

12. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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5.3.2 Centroides de Superficies
El CDG G de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y superficie de área
A, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV que se
puede expresar en función de un elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en
la forma siguiente: dV = t dA.
Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:
∫∫∫ ===
AAA
dAz
A
zdAy
A
ydAx
A
x
111
5.3.3 Centroides de Líneas
El CDG G de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área A y de
longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen
dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de longitud en la
forma: dV = A dL.
Así pues, para una varilla o
alambre finos tendríamos: ∫∫∫ ===
LLL
dLz
L
zdLy
L
ydLx
L
x
111

13. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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5.4 Centroides de cuerpos
compuestos
Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos
centroides tengas posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el
momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los
primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del
centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la línea, superficie o
volumen.
Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, …, An y las
coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos:nxxx ...,,, 21
∑∑
∑∑
==
==
====
====
+++=+++=
n
i
ii
x
n
i
iix
n
i
ii
y
n
i
iiy
nnny
yA
AA
M
yyAyAM
xA
AA
M
xxAxAM
xAxAxAxAAAM
11
11
221121
1
seao
teanálogamen
1
seao
...)...( Si se considera un agujero como
parte integrante de un cuerpo
compuesto, su área se considerará
magnitud negativa.
Se pueden desarrollar ecuaciones
análogas para L, V, m y W.

14. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Centroides en algunas Líneas y Superficies

15. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Centroides en algunas Líneas y Superficies

16. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Centroides de algunos Volúmenes

17. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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Centroides de algunos Volúmenes

18. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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PROBLEMA 5.9PROBLEMA 5.9

19. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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PROBLEMA 5.10PROBLEMA 5.10

20. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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5.5 Teoremas de Pappus y Guldin
Teorema 1:
El área de la superficie de revolución generada
al girar una curva plana de longitud L
alrededor de un eje coplanario con ella y que
no la corte es igual al producto de la longitud
de la curva por la longitud del camino que
recorre su centroide.
Teorema 2:
El volumen V del sólido de revolución
generado al hacer girar una superficie plana
de área A alrededor de un eje coplanario que
no la corte es igual al producto del área de
dicha superficie por la longitud del camino
que recorre el centroide de la superficie.

21. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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-- 2121 --
PROBLEMA 5.11PROBLEMA 5.11

22. I.T.I 1º:I.T.I 1º:
MECANICA IMECANICA I
I.T.I 1º:I.T.I 1º:
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PROBLEMA 5.12PROBLEMA 5.12