1) El documento describe el método de la capacitancia térmica para analizar la conducción de calor transitoria en un sólido. 2) Este método asume que la temperatura dentro del sólido es parcialmente uniforme durante el proceso transitorio. 3) Se presenta una ecuación que relaciona la variación de la temperatura del sólido con el tiempo utilizando este método.

2. a) MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA
Un problema en conducción es un cambio
repentino de ambiente.
Ti
t ≥ 0
T(t)
T∞ < Ti T = T(t)
Se asume que la temperatura del sólido es
parcialmente uniforme durante el proceso
transitorio el gradiente de temperatura es
Insignificante. De acuerdo a Ley de Fourier esto
implica que existe una conductividad Infinita, lo
cual no es posible. Este efecto puede ser
equivalente, cuando la resistencia a la conducción
dentro del sólido es pequeña en comparación al
calor transferido entre el sólido y sus alrededores.
Haciendo un balance de energía en el sólido
alm
E

conv
sale Q
E




  







































i
t
i
i
s
i
s
s
alm
s
alm
alm
s
g
e
T
T
dt
d
hA
VC
T
T
t
en
dt
d
hA
VC
T
T
Con
dt
dT
VC
T
T
hA
E
E
E
dt
dE
E
E
E
0
;
)
0
(
;
0
;
)
(

3. SIGUE MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA
Integrando en ambos lados de la
ecuación:
0.368
t
Nota: Observe que la constante de tiempo pequeña
Implica que la temperatura del cuerpo, desciende
más rápido que una mayor debido a su capacitancia
Térmica la cual depende de la capacidad calorífica
“C” y de la densidad “ρ” del cuerpo
Para el calor disipado.
1
0.632
t
térmica
cia
capaci
C
térmica
a
resistenci
R
tiempo
de
te
cons
VC
hA
C
R
Definiendo
T
T
T
T
t
hA
VC
t
t
t
s
t
t
t
t
i
i
i
s
VC
s
hA
tan
tan
)
(
1
:
ln





































3
2
1 


i


3
2
1 

 

t
t
s
t
n
i
t
n
alm
t
i
t
VC
hA
i
t
s
t
s
Q
C
Q
Q
do
Normanizan
E
Q
VC
Q
como
dt
hA
dt
T
T
hA
Q






































 




1
:
1
)
(
0
0
i
t
C
Q


2
1 

2
1 
 

4. VALIDÉZ DEL MÉTODO
¿Bajo que condición se puede usar el método
razonablemente para analizar el transitorio?
T
Ts1
Ts2 T∞, h
Ts2
Ts2
0 L x
Bajo condición de estado estable, el balance
en la superficie.
Bi → Número de Biot. Relación de la caída de temperatura del
sólido, a la diferencia de temperaturas del sólido y el fluido
Si se satisface que:
El error de usar el método es pequeño
cond
conv
Q
Q


1
1
1



i
i
i
B
B
B
1
2 s
s T
T
T 


Biot
de
Número
B
B
k
hL
R
R
hA
kA
L
T
T
T
T
T
T
hA
T
T
L
kA
i
i
conv
cond
s
s
s
s
s
s












1
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
1
.
0


k
hL
B c
i
 
esfera
r
L
o
l
Cilindro
r
L
T
T
T
T
Fourier
Num
ensional
A
L
t
F
F
B
L
t
k
hL
L
t
C
k
k
hL
CL
ht
VC
t
hA
onencial
la
do
rearreglan
tica
caracterís
longitud
A
V
L
c
c
F
B
i
i
c
i
c
c
c
c
c
s
s
c
i



















3
;
arg
2
dim
exp
0
0
2
0
0
2
2
0









5. ANÁLISIS DE LA CAPACITANCIA EN GENERAL
Considerando un muro como se muestra:
ρ,C,V
T(0)=Ti Talr
T∞,, h
Ae As
Ae Área de calor de entrada
As Área de convección y radiación
Si no hay calor de entrada, gen y convecc.
Si Talr = 0 (radiación al espacio)

"
e
Q


"
"
r
c
Q
Q
alm
g
E
E


 
































































alr
i
alr
i
alr
i
alr
alr
alr
alr
s
alr
s
s
alr
g
e
e
s
r
c
g
e
e
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
A
VC
t
T
T
A
dt
dT
VC
dt
dT
VC
A
T
T
T
T
h
E
A
Q
dt
dT
VC
A
Q
Q
E
A
Q
1
1
3
4
4
4
4
tan
tan
ln
ln
4
)
(
)
(
)
(
"
)
"
"
(
"







 
at
i
a
b
at
i
at
a
b
i
a
b
i
a
b
g
s
s
s
i
s
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
dt
d
dt
d
Def
VC
E
A
Q
b
y
VC
hA
a
b
a
dt
d
será
general
Ecuación
La
dt
dT
dt
d
T
T
y
t
h
h
le
despreciab
es
radiación
Si
T
T
A
VC
t

















































1
;
:
;
;
0
;
;
)
(
,
1
1
3
'
'
'
'
"
3
3
















6. Ejemplo. Se tiene una esfera de cobre; d = 12.7 mm a 660C antes de introducirla en aire a
270C. Se introduce instantáneamente y asando 69 s adquiere una temperatura de 550C.
Justifique que la esfera se comporta como un cuerpo isotérmico y encuentre “h”.
Se asume: Temperatura de la esfera es
uniforme, radiación despreciable y
propiedades constantes.
Propiedades: Cobre a 3330C: ρ = 8933 Kg/m3
K = 398 W/mK: Cp = 389 J/KgK
Diagrama:
T(0) = 660C
T∞ = 270C d
T(69) = 550C
Con: θ = T - T∞
COMENTARIO:
Las asunciones de espacialidad
isotérmica es razonable
6
;
;
1
;
)
(
3
2
d
V
VC
C
d
A
hA
R
C
R
t
p
t
e
e
t
t
t
t
i





 


























K
m
w
A
VC
h
s
e
p
t
i
2
69
3
.
35
;
208
718
.
0
27
66
27
55




 



1
.
0
10
88
.
1
398
6
0127
.
0
3
.
35
6
4
0












x
k
hL
B
d
L
Con
c
i
c

7. CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL ADIMENSIONAL
Si no es despreciable el gradiente de
temperatura dentro del medio.
Pared plana sin efecto espacial, no generación
Interna y k = Cte.
L Mitad del espesor de la pared
En forma adimensional la dependencia queda
Para una geometría prescrita, la distribución
de temperatura es una función universal de:
t
T
C
q
z
T
k
z
y
T
k
y
x
T
k
x
p





































 

 
 
1
0
;
:
)
,
,
,
,
,
,
,
(
,
0
:
)
0
,
(
:
;
1
0
2
2













































i
i
i
i
L
x
x
i
T
T
y
T
T
Con
h
k
L
T
T
t
x
T
T
T
t
L
T
h
x
T
k
x
T
CF
T
x
T
CI
t
T
x
T
)
,
1
(
0
1
)
0
,
(
:
;
;
1
0
0
2
2
0
2

































t
B
x
x
x
con
F
x
F
L
t
t
y
L
x
x
Con
i
x
x







)
,
,
( 0 i
B
F
x
f 



i
B
y
F
x 0
,


8. Ejemplo. Se tienen dos paredes de diferentes dimensiones y características térmicas:
Pared L (m) α(m2/s) k (w/mK) Ti(0C) T∞(0C) h (w/m2K)
I 0.10 15x10-6 50 300 400 200
II 0.40 25x10-6 100 30 20 100
La temperatura para la pared I a: x = L después de t1 = 100 s es T1(L1,t1) = 315 0C. ¿Cuánto
tiempo tomará la pared II para llegar a 28.5 0C en x = L2 ?
Usando como base para el análisis:
L
k, α
T∞,h Aislado
T (x,0) = Ti
ANÁLISIS: Si los parámetros son
iguales para ambas paredes entonces:
Evaluando esos parámetros se tiene:
1.563x10-4 t2 =0.150
2
0
0
,
,
:
)
,
,
(
L
t
F
k
hL
B
L
x
x
Con
F
B
x
f
i
i









0
,
, F
B
x i



 2
1 

85
.
0
10
563
.
1
40
.
0
1
85
.
0
150
.
0
40
.
0
1
2
4
0
t
x
II
I
F
B
x
Pared i




02
01 F
F 
Seg
t 960
2 


9. LA SOLUCIÓN EXACTA
Para una pared plana.
Ti = T(x,0) Ti = T(x,0) y sumido en un fluido a:
T∞,h T∞ ≠ Ti
T∞,h
-L L
Las condiciones de
convección similares a:
Hay simetría en la distribución de temperatura en:
Los valores característicos de ςn son raíces
positivas de:
ςn Tan ςn = Bi
Solución aproximada: Si F0 =0.2
Representa la temperatura del plano medio
La transferencia total de energía en el transitorio:
Se integra sobre el volumen de la pared.
Usando la aproximación
L
x
x 

)
,
1
(
1
)
0
,
(
;
1
0
2
2





















t
B
x
x
si
F
x
i
x





1



x
0


x
)
2
(
2
4
inf
)
(
2
0
1
0
2
n
n
n
n
n
n
F
n
Sen
Sen
C
y
L
t
F
inita
serie
x
Cos
C n





 




 




 













T
T
T
T
x
Cos
x
Cos
C
i
F
0
0
1
0
1
1
0
2
1




 

0
2
1
1
0
;
0 F
C
x
en 
 



 
 dV
T
t
x
T
C
Q
E
E
E i
sale
entra
alm
 










)
,
(
















dV
V
V
dV
T
T
T
t
x
T
Q
Q
entonces
T
T
CV
Q
i
i
i
)
1
(
1
)
,
(
:
);
(
0
0


0
2
1
1
0
0
1
1
0
1 F
C
Q
con
Sen
Q
Q 


 






 

10. SISTEMAS RADIALES CON CONVECCIÓN
Cilindro. Razonable el análisis para: L/r0 ≥ 10
Los valores discretos de ςn son las raíces positivas de:
Solución aproximada: F0 >0.2 (cilindro infinito)
Energía total transferida.
Esfera
Los valores discretos de son las raíces
positivas de:
Solución aproximada: F0 >0.2
Energía total transferida
)
(
)
(
)
(
;
)
(
2
1
2
0
1
2
0
0
1
0
0
n
n
n
n
n
n
n
F
n
J
J
J
C
r
t
F
r
J
C n





 



 





 
Clase
Bessel
F
son
yJ
J
J
J
B a
n
n
n
i 1
.
;
)
(
)
(
0
1
0
1




0
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
);
(
)
(
F
F
C
central
línea
Temp
r
J
C
ó
r
J
C
























)
(
2
1 1
1
1
0
0



J
Q
Q 




)
2
(
2
)
(
4
;
)
(
1
2
0
0
1
0
2
n
n
n
n
n
n
n
n n
F
n
Sen
Cos
Sen
C
r
t
F
r
Sen
r
C n








 




 





 
n

i
n
n B
Cot 
 

1
0
2
1
0
2
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
);
(
1
)
(
1
F
F
C
centro
Temp
r
Sen
r
ó
r
Sen
r
C




























 
)
(
)
(
3
1 1
1
1
0
0




Cos
Sen
Q
Q







11. X
J0 J1 J2 J3
0 1.00 0 0 0
.25 0.984 0.124 0.00777 0.00032
.50 0.938 0.242 0.0306 .00256
.75 0.864 0.349 0.067 .00850
1.00 0.765 0.440 0.115 0.0196
1.5 0.512 0.558 0.232 0.0610
2.0 0.2241 0.578 0.353 0.129
2.40 +0.00250 0.520 0.431 0.198
2.41 -0.00270 0.518 0.433 0.200
3.00 +0.260 0.339 0.486 0.309
3.83 -0.403 +.007 0.403 0.420
3.84 -0.403 -.0033 0.399 0.421
4.00 -0.397 -.0660 0.364 0.430
5.00 -0.178 -0.328 0.293 0.356
5.13 -0.134 -0.339 +0.00191 0.340
5.14 -0.13 -0.340 -0.00148 0.339
5.52 -0.00002 -0.3403 -0.123 0.251
5.53 +0.0037 -0.340 -0.126 0.248
6.00 0.151 -0.277 -0.243 0.115
7.00 0.300 -0.00468 -0.301 -0.168
7.02 0.3001 +0.00132 -.299 -0.172
8.00 0.172 0.235 -.113 -0.291
8.66 -0.0017 0.272 +0.064 -0.242
9.00 -0.090 0.245 0.145 -0.181
10.00 -0.246 0.043 0.255 +0.058

12. Problema. Una placa plana de espesor 0.1 m está a 250 0C, se sumerge en aceite a 300C. Si
h = 500 W/m2 0K en el baño, calcule la temperatura en superficie de la pared9 Min después de
la inmersión. Propiedades de la pared son k = 50 W/m2 0K, ρ = 7835 kg/m3, c = 465 J/kg0K
Se conoce: Prop. de placa y temps.
Encontrar: T (L, 9 min)
Se asume: Cond. Unidim. Y prop. Ctes
Diagrama:
Ti = T(x, 0) k, ρ, c
T∞, h
x
2L
Análisis:
No se debe usar el análisis de la
capacitancia térmica
Con: Bi
-1 = (1/0.5) = 2, y
En gráfica 2 se tiene que:
Con Gráfica 1, con: Bi
-1 = 2 y (x/L) = 1
Combinando estas dos ecuaciones: Ec.1 y Ec.2
1
.
0
5
.
0
50
)
05
.
0
(
500




k
hL
B c
i
96
.
2
)
05
.
0
)(
465
(
7835
60
)
9
(
50
)
(
2
2
2
0 



L
t
c
k
L
t
F


3
.
0
)
,
0
(
0






T
T
T
t
T
i
i


2
.
8
.
0
)
,
1
(
0
Ec
t
x





C
T
T
T
t
L
T
T
T
y
T
t
L
T
Como
t
i
i
i
i
i
0
0
83
)
30
250
(
24
.
0
30
)
(
24
.
0
)
,
(
)
,
(
:
)
(
24
.
0
)
3
.
0
(
8
.
0
8
.
0
)
,
1
(

















 






13. Ejemplo. Una barra de acero muy larga de 20 Cm de diámetro está a 980 0C; se
sumerge instantáneamente en aceite a 40 0C, se estima que h = 565 W/m2 0C.
Calcule el tiempo que tarda para que la temperatura del centro de la barra
alcance 260 0C si las propiedades de la barra son: ρ =7817 kg/m3,
c = 0.46 kJ/kg 0C, k = 16.3 w/m 0C, ά = 0.444x10-5 m2/s.
Solución: El número de Biot para este caso es
En la Fig. D.4 Pag. 872 se obtiene el número de Fourier que es 0.53 por lo
que::
47
.
3
3
.
16
)
10
.
0
(
565
0



k
hr
Bi






T
T
T
T
i
i

0
237
.
0
40
980
40
260



min
9
.
19
1194
;
53
.
0
2
0
0 


 s
t
r
t
F


14. GRÁFICO DE HEISLER (no. 1) Distribución de temperatura pared plana espesor 2L
θ/θ0

15. GRÁFICA 2: CAMBIO DE ENERGÍA INTERNA CON EL TIEMPO PARED PLANA ESPESOR 2L







T
T
T
T
i
i
0
0
0




16. SÓLIDO SEMIINFINITO
El modelo considera una parte identificable y el resto tiende a infinito.
Se pone en contacto de pronto con un fluido a T∞ y se desea conocer
la temperatura de la placa T(x,t)
La ecuación del transitorio es dada por:
Ts
x
Se tienen soluciones para tres casos diferentes con su respectiva CF.
CASO III
Caso I. T(0,t) = Ts
T∞
Caso II.
Ti
Caso III.
x
0
0






x
x
T
kA
Q
i
i
T
t
x
T
CF
Una
T
x
T
CI
Con
t
T
x
T









)
,
(
)
0
,
(
;
1
2
2






 "
0
o
x
Q
x
T
k
 
)
,
0
(
0
t
T
T
h
x
T
k
x




 


17. SOLUCIÓN DE CASO I.
Para transformar la Ec. de calor, de ecuación diferencial parcial en “x” y “t” a una Ec. Dif. ordinaria en
términos de “η”, se realiza una transformación de operadores:
Sustituyendo en el modelo, la ecuación de calor se convierte en:
Con x = 0; corresponde a η = 0: T(η = 0) = Ts
Con x → ∞ como t = 0; corresponde a η → ∞: T(η → ∞) = Ti
t
T
x
T
es
elo
El
d
Similarida
de
Var
t
x
DEF







)
1
(
:
mod
.
4
:
2
2



  











d
dT
t
t
x
t
d
dT
t
T
T
t
x
x
T
d
d
x
T
d
dT
t
x
d
dT
x
T
2
1
2
2
2
2
4
2
)
4
1
(
)
4
1
(































 d
dT
d
T
d
2
2
2



18. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR TRANSFORMADA
Las nuevas condiciones iniciales y frontera son independientes de “x” y “t”, “η” es una variable de
similaridad y T(η) se puede obtener de la ecuación de calor transformada re-arreglándola como:
 
 
 
  Gausiano
error
función
t
x
erf
du
u
xp
T
T
T
T
T
T
C
T
du
C
T
T
T
Como
C
T
C
du
C
T
T
T
Como
C
du
C
T
C
d
dT
C
d
dT
d
d
dT
d
dT
d
s
i
s
s
i
s
u
i
i
s
u
s
s
u










































)
2
(
)
(
2
)
(
2
)
(
:
)
0
(
:
ln
)
(
2
0
2
2
1
2
1
1
0
1
2
2
0
0
1
2
0
1
1
'
1
2
2
2
2
2



























19. FLUJO DE CALOR Y CASOS 2 Y 3
El flujo de calor en la superficie puede encontrarse por la Ley de Fourier.
 
 
 
)
(
1
)
(
2
2
)
,
(
3
2
"
"
2
)
,
(
"
"
2
)
(
"
)
4
(
2
)
(
)
(
)
(
'
'
2
2
2
2
0
4
2
1
0
0
2
1
0
2
1
2
1
0
0
w
erf
w
erfc
k
t
h
t
x
erfc
t
x
erfc
T
T
T
t
x
T
Caso
t
x
erfc
k
x
Q
k
t
Q
T
t
x
T
Q
Q
Caso
t
T
T
k
Q
t
T
T
k
dx
d
d
erf
d
T
T
k
x
T
k
Q
k
t
h
k
hx
i
t
x
i
s
i
s
s
i
s
s
i
x
s





































































































20. CASO ESPECIAL
Dos sólidos semiinfinitos con temperatura uniforme inicial “TAi” y “TBi” en el instante de
contacto ( t = 0 ). Ambas temperaturas llegan a una misma temperatura “Ts”: TBi < Ts <TAi .
Para llegar a una temperatura de equilibrio se debe cumplir: SB
SA Q
Q "
"



   
   
 


 


 



 


 

)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
:
min
det
)
(
)
(
B
A
B
A m
m
B
S
m
m
A
S
B
A
Bi
B
Ai
A
S
B
Bi
s
B
A
Ai
s
A
T
a
cercano
mas
T
ó
T
a
cercano
mas
T
si
a
er
que
peso
kpc
m
kpc
kpc
T
kpc
T
kpc
T
t
T
T
k
t
T
T
k














21.    

 erf
erfc 
1
Valores de la Función de Error (erf) y la Función de Error Complementaria (erfc)
β erf(β) erfc(β) β erf(β) erfc(β)
0 0.000000 1.000000 1.00 0.842701 0.157299
0.05 0.056372 0.943628 1.10 0.880205 0.119795
0.10 0.112463 0.887537 1.20 0.910314 0.089686
0.15 0.167996 0.832004 1.30 0.934008 0.065992
0.20 0.222703 0.777297 1.40 0.952285 0.047715
0.25 0.276326 0.723674 1.50 0.966105 0.033895
0.30 0.328627 0.671373 1.60 0.976348 0.023652
0.35 0.379382 0.620618 1.70 0.983790 0.016210
0.40 0.428392 0.571608 1.80 0.989091 0.010909
0.45 0.475482 0.524518 1.90 0.992790 0.007210
0.50 0.520500 0.479500 2.00 0.995322 0.004678
0.55 0.563323 0.436677 2.10 0.997021 0.002979
0.60 0.603856 0.396144 2.20 0.998137 0.001863
0.65 0.642029 0.357971 2.30 0.998857 0.001143
0.70 0.677801 0.322199 2.40 0.999311 0.000689
0.75 0.711155 0.288845 2.50 0.999593 0.000407
0.80 0.742101 0.257899 2.60 0.999764 0.000236
0.85 0.770668 0.229332 2.70 0.999866 0.000134
0.90 0.796908 0.203092 2.80 0.999925 0.000075
0.95 0.820891 0.179109 2.90 0.999959 0.000041
3.00 0.999978 0.000022

22. PROBLEMA. Se tiene un bloque grande de acero con: k = 45 w/m 0C, α = 1.4x10-5 m2/s a una Ti = 35
0C., la superficie se expone a un flujo de calor. Calcular la temperatura a 2.5 cm en; t = 30 s, si: (a) La
Temperatura de superficie se eleva a 250 0C, (b) Con un flujo de calor de 3.2x105 w/m2.
Análisis:
(a) Caso 1. Para el sólido semiinfinito se tiene:
(b) Caso 2. Para flujo de calor constante.
La temperatura en la superficie después de 30s se usa misma ecuación con x = 0 y es de:
T(x=0) = 199.4 0C
 
C
t
x
erf
T
T
T
t
x
T
erf
x
t
x
s
i
s
0
5
5
.
118
)
61164
.
0
)(
250
35
(
250
2
)
(
)
,
(
61164
.
0
)
61
.
0
(
61
.
0
30
10
4
.
1
2
25
.
0
2



















 
s
t
y
Cm
x
C
x
x
x
t
x
T
30
5
.
2
;
3
.
79
)
61164
.
0
1
(
45
10
2
.
3
(
025
.
0
45
)
30
)(
10
4
.
1
(
)
10
2
.
3
(
2
35
)
,
(
0
5
)
61
.
0
(
2
1
5
5
2






 

