Modelo Matemático

1. Presenta:
INSTITUTO TECNOLÓGICO
la Laguna

2. COMPETENCIA
HABILIDADES Y
DESTREZAS
Previo al análisis de un conjunto de ecuaciones que
rigen comportamientos de sistemas físicos
establecidos,
• El Alumno solucionará y simulará con un alto sentido
de precisión y profesionalismo, ecuaciones
diferenciales ordinarias de sistemas físicos
específicos.

3. JUSTIFICACIÓN
PENSAMIENTO
FORMAL
E = - dφ
dt
i

4. Modelo Matemático
V = IR
P = VI cosθ
R = ρL
A
a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1
a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2
a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3
L d2q + R dq + 1 q = E (t)
dt2 dt C
SISTEMA FÍSICO

5. MÉTODO CIENTÍFICO
(Antecedentes)

6. EXPERIMENTACIÓN CON PROTOTIPOS FÍSICOS
+
Sesión experimental Heurística en tema concreto de
Campo Eléctrico (E).
Ley descubierta: E = 0
El campo Eléctrico dentro de un conductor es cero.
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + +
+
E
R
r ∞
q
E = k q
r2
R
r < R  E =0
r = R  E = Máximo
r ≥ R  E ≠ 0 (decrece)

7. PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS
Solución al Sistema Físico
Identificación del Problema
Variables Involucradas
Modelo Matemático
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
SISTEMA FÍSICO
Solución y modelación matem.

8. tiempo (t)
 Un Modelo Matemático de un sistema físico
frecuentemente involucra la variable tiempo (t).
La solución de un modelo representa el estado del
sistema en un tiempo determinado. En otras
palabras, para valores apropiados de tiempo (t),
los valores de la variable (o variables) dependiente
describen el sistema al sistema en el pasado, el
presente y el futuro.
tiempo (t)
t
T
T= f(t)
Tm
T= temperatura
Tm= Temperatura del medio
t= tiempo

9. MODELO DE
CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO
dy = ky, y(to) = yo
dt
Cualquier fenómeno representado por la ecuación diferencial
dy/dt =ky, crece (k>0) ó decrece (k<0) exponencialmente. El
crecimiento de una población P de bacterias, insectos, o
incluso de seres humanos, se puede predecir, frecuentemente
, sobre intervalos cortos de tiempo, por medio de la solución
exponencial P(t) = Cekt de dicha ecuación. El estudio de
sustancias radiactivas, cuya actividad disminuye en el curso del
tiempo, condujo al descubrimiento del Carbono 14, el cual ha
sido la base para determinar la edad de los fósiles o aun de una
momia.
t
y
ekt , k>0
crecimiento
ekt , k<0
decrecimiento

10. MODELO DE LEY DE
ENFRIAMIENTO DE
NEWTON
La Ley del Enfriamiento de Newton dice que un cuerpo que
se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia
es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y
la temperatura constante Tm del medio que lo rodea. Esto es,
En donde k es una constante de proporcionalidad.
t
T
T= f(t)
Tm
T= temperatura
Tm= Temperatura del medio
t= tiempo

11. Modelo de Circuitos
eléctricos RCL serie.
La segunda Ley de Kirchoff
dice que un circuito
elétrico en serie que
contiene sólo una
resistencia R y una
inductancia L, la suma de
las caídas de voltaje a
través de inductor [L
(di/dt)] y de la resistencia
(iR) es igual a la tensión
E(t) aplicada al circuito.
La caída de voltaje a través
de un capacitor con
capacitancia C está dada
por q/C, en donde q es la
carga en el capacitor. Pero
la corriente i y la carga
están relacionadas por
i=dq/dt.
L d2q + R dq + 1 q = E(t)
dt2 dt C
L di + Ri = E (t)
dt
R dq + 1 q = E (t)
dt C
L di + R dq + 1 q = E(t)
dt dt C
L d dq + R dq + 1 q = E(t)
dt dt dt C
E

12. Caso de análisis y solución.
LEY DE ENFRIAMIENTO
DE NEWTON
Al sacar un pastel del horno,
su temperatura es de 300º F.
Tres minutos después , su
temperatura es de 200º F.
¿Cuánto demorará en
enfriarse a una temperatura
ambiente de 70º F?
Condiciones iniciales:
Tm = 70ºF To(0) = 300ºF
Condiciones posteriores:
T1(3) = 200ºF
Ecuación Diferencial de variables Separables
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Solución General Solución particular
Condiciones iniciales:
Tm = 70ºF , To(0) = 300ºF
Condiciones posteriores:
T1(3) = 200ºF
T = 70 + Cekt
Obtención de C
sust. t0 = 0, T= 300
T= 70 + Cek(0)
300= 70 + C
Por tanto C= 230
T = 70 + 230ekt
Obtención de k.
Sust.
T1 = 3, T= 200
200 = 70 + 230ek(3)
200= 70 + 230e3k
200 – 70 =230e3k
130 = e3k
230
3k = ln (130/230)
k= - 0.19018
T = 70 +230 e-0.19018t

13. T = 70 + 230e-0.19018t
TIEMPO (t) TEMPERATURA (T)
0 300
1 260.1663678
2 227.2315106
3 200.0006316
4 177.4858605
5 158.870416
6 143.4789749
7 130.7531729
8 120.2313488
9 111.5317963
10 104.3389167
11 98.39176984
12 93.47460759
13 89.40904722
14 86.04760005
15 83.26832093
16 80.97038434
17 79.07042671
18 77.49952218
19 76.20068214
20 75.12678783
21 74.23888096
22 73.50475041
23 72.89776372
24 72.39590088
25 71.98095551
26 71.63787441
27 71.35421142
28 71.11967595
29 70.9257596
30 70.76542757
31 70.63286339
32 70.52325797
33 70.43263507
34 70.35770713
35 70.29575594
30 MINUTOS APROXIMADAMENTE TARDA
EN ENFRIARSE EL PASTEL
Lim 70 + 230e-0.19018t
t  ∞ = 70

14. ¿Qué se espera de un Modelo Matemático?
• Tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema
físico.
• Complementar, reforzar y validar las hipótesis del sistema.
t = tiempo T(t)= Temperatura
El Medio Ambiente Externo puede ser afectado por diversos
factores que pueden ocasionar variabilidad en la Temperatura
ambiente (Tm).

15. REFERENCIAS INFORMÁTICAS
 Kreyszing, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Editorial
Limusa.
 Rainville, Earl. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Prentice Hall.
 Spiegel, Murray R.. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial
Prentice Hall.
 Zill, Dennis G. Ecuaciones Difenciales con Aplicaciones. Editorial
Iberoamérica.
 Ley de enfriamiento de Newton. Simulador de la ecuación de la Ley de
enfriamiento de Newton. Acceso en internet , en:
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/
enfriamiento.htm#Ley%20del%20enfriamiento%20de%20Newton
