perfiles delgados

1. Aerodinámica y Mecánica de Vuelo I

2. * Bertin,J. & Smith,M.: AERODYNAMICS FOR ENGINEERS (2009). 5ta. Edición. Prentice
Hall
* Abbott,I. & Doenhoff,A.: THEORY OF WING SECTIONS (1959). Dover Publications.
* Mc Cormick,B.: AERODYNAMICS, AERONAUTICS AND FLIGHT MECHANICS (1995).
John Wiley and Sons.
* Max M. Munk :
* NACA Report Nº142 - General Theory of Thin Wings Sections (1922).
* NACA Report Nº191 – Elements of the wing section theory and of the wing theory
(1924).
* Hermann Glauert: THE ELEMENT OF AIRFOILAND AIRSCREW THEORY (1926).
* Revisar conceptos de: Fuerzas aerodinámicas.
Perfiles aerodinámicos
Flujo Potencial Bidimensional.

3. Breve reseña histórica
La teoría sobre perfiles aerodinámicos fue iniciada
por Max Munk, quien fuera estudiante de Prandtl en
la Universidad de Götingen en Alemania entre 1918 y
1919.
Munk prosigue sus estudios en Estados Unidos
trabajando para la NACA en 1920.
Es allí donde desarrolla un método para la predicción
teórica de la sustentación y el momento en un perfil
aerodinámico.
El mismo se basa en perfiles delgados (espesores ≤
12%C) y pequeños ángulos de ataque.
Aproximándose el perfil por su línea media,
utilizando la teoría de transformación conforme.
Michael Max Munk
(1890 – 1986)
Ludwig Prandtl
(1875 – 1953)

4. Publica sus resultados en el NACA Report 142
«General Theory of Thin Wings Sections» 1922.
Un año después Walter Birnbaum (discipulo de
Prandtl) en Alemania obtiene resultados similares
reemplazando la línea media por una línea de
singularidades (hilos vorticosos)
Finalmente Hermann Glauert en Inglaterra (1926)
aplica la solución en Series de Fourier para la
mismas ecuaciones.
Los resultados se publican en The Elements of Airfoil
and Airscrew Theory, libro de su autoría, el mismo
año.
Los desarrollos utilizados en la actualidad, son los
que surgieron de las formulaciones de Glauert.
Hermann Glauert
(1892-1934)

5. Teoría de Perfiles Delgados
Hipótesis de trabajo:
1) Flujo bidimensional (x,y)
2) Flujo Incompresible
3) Flujo Irrotacional
4) Flujo No viscoso
5) Flujo Estacionario
6) Bajos ángulos de ataque o incidencia
7) Perfil delgado
Perfil delgado:
Se define de esta manera a todo perfil aerodinámico que cumpla con los siguientes
requisitos
Curvatura: ≤ 2% de la cuerda del perfil
Espesor: ≤ 12% de la cuerda del perfil
Bajo estas condiciones, se reemplaza al perfil
aerodinámico por su línea media

8. ds: elemento diferencial de la línea de curvatura media.
dx1: proyección de dicho elemento según la cuerda (abscisas x)
x1: posición, respecto del borde de ataque, de dx1.
c: cuerda del perfil.
V : velocidad de la corriente libre incidente.
: ángulo de incidencia ó ataque.
A través de este modelo trataremos de encontrar un vinculo que nos de una expresión
para el cálculo o evaluación de la circulación alrededor del perfil y, por ende, de la
sustentación
Al simplificar el perfil podemos imaginarnos que la distribución de velocidades en el
extradós e intradós de la línea media esta vinculada a una sucesión de vórtices
infinitesimales que son responsables de la inducción de las mismas.

9. 
=

C
ds
s
0
).
(

Si (s) es la circulación por unidad de longitud (generada por cada vórtice infinitesimal),
la circulación total será:
Sabemos que cada vórtice inducirá una velocidad sobre la línea de curvatura media que
tendrá dos componentes:
− una tangente a la línea
− una según la normal a ella.
El flujo incidente también generará una componente tangencial y otra normal a dicha línea,
en cualquier punto P de la misma.
Al ser una línea de corriente, la suma de las componentes normales a ella debe ser nula (el
flujo no debe atravesarla).
Condición de tangencia: la suma de la componente normal inducida por los vórtices
infinitesimales y la asociada con el flujo incidente debe ser nula.
El campo de velocidades total, alrededor de nuestro perfil, será la suma de un campo de
velocidades uniforme incidente + el campo de velocidades inducidas por la distribución de
circulación.

10. 


−
=

.
2
.
ds
.
d S
r
ds
d
d
r
dV S
S
.
.
2
.
1




−
=
=
donde el signo negativo se debe a que la circulación es según las agujas del reloj.
luego:



−
=

.
2
.
De flujo potencial sabemos que el potencial de un hilo vorticoso en dos dimensiones es:

11. r
.π
δ
γ.ds.
dVS,n
.
2
cos 3
−
=
donde dVS,n es la componente normal a la línea de curvatura, inducida por el elemento
vorticoso ds a una distancia r en el punto P.
1 : ángulo entre la tangente en
ds y la horizontal.
2 : ángulo entre la distancia r
y la horizontal.
3 : ángulo entre dVS y la
normal en P.
la componente según la normal será:
Considerando que

12. La componente normal total para un punto P con coordenada x (x1 coordenada del
vortice ds)
1
1
1
1
1
2
cos
cos
;
cos



dx
ds
ds
dx
r
x
x
=
→
=
−
=
( ) 3
1
2
1
1
cos
cos
cos
2
, 




x
x
dx
n
dVs
−
−
=

( )
 −
−
=
C
x
x
dx
x
x
n
Vs
0 1
1
1
3
2
1
cos
.
.
cos
.
cos
).
(
2
1
)
(
,





reemplazando
r
.π
δ
γ.ds.
dVS,n
.
2
cos 3
−
=

13. Por otra parte si observamos la figura, podemos calcular la componente normal de la
velocidad de la corriente uniforme incidente:
( )
P
n sen
V
x
V 
 −
= 
 .
)
(
,
Siendo  el ángulo de ataque y p la inclinación de la tangente a la curva en el punto P,
esto es:
dx
dy
arctg
P =
 





−
=
 

dx
dy
arctg
sen
V
x
V n 
.
)
(
,

14. Como:
0
)
(
)
( ,
, =
+  x
V
x
V n
n
S
Entonces:
( )






−
=
−

 dx
dy
arctg
sen
V
x
x
dx
x
C






.
cos
.
.
cos
.
cos
).
(
2
1
0 1
1
1
3
2
1
La distribución de vorticidad que satisface dicha ecuación representa la capa vorticosa sobre
la línea de curvatura media, que además debe cumplir la condición de Kutta, esto es:
0
)
c
( =


15. Se puede asumir que 1, 2, 3 y  sor pequeños y, en consecuencia.







=
=
dx
dy
dx
dy
arctg
1
cos
cos
cos 3
2
1 


por lo cual:






−
=
−

 dx
dy
V
x
x
dx
x
C



.
).
(
.
2
1
0 1
1
1
Hasta aquí es la teoría general. La ecuación anterior es una ecuación integral para la
incógnita (x1).

16. Placa plana (perfil simétrico).
En flujo subsónico a través de una placa plana, aún para pequeños ángulos de ataque, se
observará una zona de aire detenido en el extradós.
En el perfil delgado real el borde de ataque redondeado contribuirá a acelerar el flujo sobre el
extradós y, para ángulo de ataque pequeño no se observará separación.
Dado que no se tiene en cuenta la distribución del espesor a lo largo de la cuerda ni
tampoco los efectos viscosos, la teoría no nos proporcionará una descripción de como varía
el flujo a lo largo de la cuerda.
Sin embargo, el valor teórico para el coeficiente de sustentación resulta muy cercano al
medido experimentalmente.

17. 
=
−
 V
x
x
dx
x
C


 0 1
1
1).
(
.
2
1
Ahora resulta conveniente considerar la siguiente transformación de coordenadas.
)
cos
1
(
2
)
cos
1
(
2
cos
2
2
1
1
O
c
x
c
x
c
c
x



−
=
−
=
−
=
Donde: 
 


 0
y
0 1 c
x
)
cos
(cos
2
y
2
0
1
1 


 −
=
=
c
x-x
d
sen
c
dx
c/2
y
x
c/2
c

x1
Dado que la placa tiene curvatura nula, entonces dy/dx = 0 en todos los puntos, por lo cual:






−
=
−

 dx
dy
V
x
x
dx
x
C



.
).
(
.
2
1
0 1
1
1

18. Reemplazando las relaciones anteriores

=
−
 V
d
sen









0 0
cos
cos
).
(
.
2
1
() debe satisfacer dicha ecuación integral y, además, la condición de Kutta, esto es:
0
)
( =


La solución, que satisface ambas condiciones, es:





sen
V
cos
1
.
.
2
)
(
+
= 
En efecto, si la sustituimos en la ecuación:
1
cos
cos
cos
1
1
0
0
=
−
+
 





d

19. esta última puede reducirse a una identidad si recurrimos a la integral de Glauert:
0
0
0
0
.
cos
cos
cos








sen
senn
d
n
=
−
 siendo n entero.
De la teoría de Kutta – Joukowski, la sustentación por unidad de longitud (envergadura)
es:

= 
 .
.V
l 
siendo perpendicular a V. Entonces, para flujo potencial bidimensional no hay
resistencia y la sustentación por unidad de envergadura será:
 

=
c
dx
x
V
l
0
1
1).
(
.
. 


20. 




sen
V
cos
1
.
.
.
2
)
(
+
=  
 d
sen
c
dx .
2
1 =







d
sen
sen
c
V
dx
x
c
.
)
cos
1
(
.
2
.
.
.
2
).
(
0
0
1
1
+
=
 
 
con lo cual
 +
= 






0
2
).
cos
1
(
.
.
.
. d
c
V
l c
V
l .
.
.
. 2


 

=
y el coeficiente de sustentación será:
1
.
.
.
.
2
1
.
.
.
2
1 2
2
c
V
l
A
V
l
Cl




=
=


con

21. 





.
.
2
.
.
.
2
1
.
.
.
.
2
2
=
=




c
V
c
V
Cl
 el ángulo de ataque (en radianes).
De allí surge que la pendiente de sustentación para un perfil delgado simétrico es
constante (2), independiente de la distribución de espesor del perfil.
No obstante, en la realidad la distribución de espesor del perfil (según la cuerda) y los
efectos viscosos, ejercen influencia sobre dicha pendiente la cual resulta algo menor que
2.
Además podremos calcular el valor del momento respecto de algún punto del perfil, por
ejemplo, el borde de ataque
1
0
1
1 .
).
(
.
. dx
x
x
V
m
c
o  

−
= 


22. Si recurrimos a la transformación de coordenadas, tendremos:
( ) ( ) 







d
sen
c
c
sen
V
V
m .
2
cos
1
2
cos
1
.
.
.
2
.
.
0
0 −
+
−
=  


( )
 −
−
= 






0
2
2
0 cos
1
.
.
.
.
.
2
1
d
c
V
m
2
2
0 .
.
.
.
4
c
V
m 




−
=

El coeficiente de momentos será:
2
2
2
2
2
2
0
.
.
.
2
1
.
.
.
.
4
.
.
.
2
1
0
c
V
c
V
c
V
m
Cm






−
=
=




 4
.
2
0
l
m
C
C −
=
−
= 


23. El centro de presiones es la coordenada x sobre la cual debe actuar la sustentación para
producir dicho momento mo. En consecuencia:
cp
x
l
m .
0 −
= cp
x
c
V
c
V .
.
.
.
.
.
.
.
.
4
2
2
2









 −
=
−
4
c
XCp =
La ubicación de Xcp es independiente del ángulo de ataque y , por ende, del coeficiente de
sustentación.

24. Perfil con Curvatura
Ahora volvamos a la teoría general para buscar la solución de un perfil no-simétrico
con curvatura.
Las ecuaciones son






−
=
−

 dx
dy
V
d
sen









0
0
cos
cos
).
(
2
1 )
cos
1
.(
2
1 
−
=
c
x
Bajo las mismas condiciones que antes a excepción de que dy/dx es no nula.
La distribución de vorticidad que buscamos se podrá representar como una serie en la
que se distinguen dos términos:

25. i) Uno correspondiente a la distribución de vorticidad del perfil simétrico




sen
A
V O
cos
1
.
.
.
2
)
(
+
= 
ii) Otro que da cuenta del apartamiento de la simetría, que también debe cumplir la
condición de Kutta
( )


=

1
.
.
.
2
n
n n
sen
A
V 
Los coeficientes An dependerán de la forma (curvatura) de la línea media.
En consecuencia, la circulación por unidad de longitud será
( )





+
+
= 

=

1
.
cos
1
.
.
.
2
)
(
n
n
O n
sen
A
sen
A
V 





26. 1
𝜋
. න
0
𝜋
𝐴𝑜(1 + cos 𝜃)
cos 𝜃 − cos 𝜃0
𝑑𝜃 +
1
𝜋
න
0
𝜋
෍
𝑛=1
∞
𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
cos 𝜃 − cos 𝜃0
𝑑𝜃 = 𝛼 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Con ayuda de esta ecuación integral se evaluarán A0, A1 , A2, . . . , An en función del
ángulo de ataque y de la pendiente de la línea de curvatura media, que es dato para cada
perfil.
La primera integral (que contiene A0) se evalúa a partir de la integral de Glauert
( )
0
0
0 0
cos
cos
cos








sen
n
sen
d
n
=
−

Reemplazando en la expresión integral

27. y, para evaluar la segunda integral, además de la identidad de Glauert utilizamos la
siguiente relación trigonométrica
( )
( ) ( ) ( )
 



 1
cos
1
cos
2
1
+
−
−
= n
n
sen
n
sen
con lo cual la ecuación a resolver resulta
( )


=
+
−
=
1
cos
.
n
n n
A
Ao
dx
dy


Puesto que estamos evaluando dy/dx y cos(n0) en el punto general 0 (es decir, x)
podemos ignorar dicho subíndice en las ecuaciones en adelante.
Los coeficientes A0, A1 , A2, . . . , An que satisfacen la anterior ecuación son los que nos
darán la solución buscada.

28. Para evaluar A0, integremos entre 0 y 
  


=
+
−
=
  







0 0 0 1
0
.
cos
.
.
n
n
o d
n
A
d
A
d
d
dx
dy
 =



0
0
.
cos
. d
n
An





.
.
.
0
o
A
d
dx
dy
−
=
 



d
dx
dy
Ao .
1
0

−
=
(donde  y dy/dx son datos conocidos).
siendo

29. En relación a los otros coeficientes, multipliquemos la ecuación por cos m con m
entero e integramos en 0 y :
( ) 



=
+
−
=











0 1
0
0
.
cos
.
cos
.
cos
.
cos
n
n
o d
m
n
A
d
m
A
d
m
dx
dy
El primer término del segundo miembro es nulo para todo m,
Además
 =




0
0
.
cos
.
cos d
m
n
An
Excepto para n = m que resulta igual a ,
A
2
π
n
n
A
d
n
dx
dy
.
2
0
cos
.
0




+
=
 



d
n
dx
dy
An cos
.
2
0

=

30. De esta manera podemos evaluar todos los coeficientes (A0, A1 , A2, . . . , An) y así
obtener la solución para la distribución de vorticidad buscada.
El coeficiente de sustentación será:
).dx
(x
.
V
.
.
.
.
2
1
1
1
1
C
0
2








=
c
V
Cl
o bien, en términos de la transformación de coordenadas:
( ) 





+
+
= 


=







0 1
0
.
.
.
)
cos
1
(
2
n
n
o
l d
sen
n
sen
A
d
A
C

31. pero ( ) 1
n
si
0
.
.
0

=




 d
sen
n
sen
An
න
0
𝜋
𝐴1𝑠𝑒𝑛2
𝜃. 𝑑𝜃 = 𝐴1 න
0
𝜋
sen𝜃.sen𝜃.d𝜃 =
𝜋𝐴1
2
en consecuencia
( )
1
.
2 A
A
C o
l +
=
El coeficiente de momentos Cmo con relación al borde de ataque será:
.dx
).x
(x
.
V
.
.
.
.
2
1
1
1
1
1
C
0
2
2
0








−
=
c
V
Cm

32. y, en función de la transformación de coordenadas y luego de integrar:
2
A
-
A
A
2
2
1
o
0






+
−
=

m
C
Si queremos hallar XCp, dividimos m0 por l:
l
m
XCp
0
−
=
l
C
c
V
l .
.
.
.
2
1 2


= 
0
.
.
.
.
2
1 2
2
0 m
C
c
V
m 

−
= 
)
A
.A
π(
.
A
A
A
π
c.
C
c.C
X
o
o
l
Cp
m
1
2
1
2
1
2
2
0
+






−
+
=
−
=








+
−
+
=
1
2
1
2
2
2
4 A
A
A
A
A
c
X
o
o
Cp

33. 







+
−
+
+
+
=
1
2
2
2
4
2
1
1
1
o
o
o
Cp
A
A
A
A
A
A
A
c
X 







−
+
= )
(
1
4
2
1 A
A
C
c
X
l
Cp

para un perfil con curvatura, la posición del centro de presiones es función del ángulo de
ataque (pues el Cl es función de ).
Por lo tanto debemos especificar la línea de acción de l para cada ángulo de ataque.
Por otra parte, si el momento de balanceo lo referimos a un eje que pase por un punto
ubicado al 25% de la cuerda, a la derecha del borde de ataque, entonces:
1
1
1
25
,
0
1
1
1
25
,
0
0
0,25c .
4
).
(
.
.
.
4
).
(
.
. dx
c
x
x
V
dx
x
c
x
V
m
c
c
c






−
−






−
= 
 


 



 





−
= 

C
c
, dx
x
c
x
V
m
0
1
1
1
25
0 .
4
).
(
. 


34. siendo la primera integral la sustentación (por unidad de envergadura) y la segunda el
momento respecto del borde de ataque (m0).
0
25
0
4
m
l
c
m c
, +
=
Los respectivos coeficientes serán:
)
A
(A
π
C
C
C m
l
m c
, 1
2
4
4
1
0
25
0
−
=
+
=
puesto que A1 y A2 son solo función de la curvatura, entonces el coeficiente de
momentos respecto del cuarto de cuerda no depende del ángulo de ataque.
De acuerdo con la teoría de perfiles delgados el centro aerodinámico está al 25% de la
cuerda con respecto al borde de ataque.
1
1
1
0
1
1
0
25
0 .
).
(
.
.
).
(
.
.
4
dx
x
x
V
dx
x
V
c
m
C
C
C
, 


 
 


 −
=
o bien

35. Por ello, se denomina Cmca al coeficiente de momentos respecto del centro
aerodinámico.




d
n
dx
dy
An cos
.
2
0

=
Puesto que




d
dx
dy
A cos
.
2
0
1 
=




d
dx
dy
A 2
cos
.
2
0
2 
=
luego:




d
dx
dy
C ca
m )
cos
2
.(cos
2
1
0
−
= 
de aquí puede apreciarse que, si el perfil es simétrico, entonces dy/dc = 0 y Cmca = 0
para ese caso.

37. 37
NACA 0009 NACA 0012-64
NACA 0009
Buenos resultados en sustentación y
momento.
Espesor 9% al 30% de la cuerda
Buena concordancia hasta la pérdida
NACA 0012-64
No muy buenos resultados
Debido a el espesor 12% y su
ubicación al 40% de la cuerda,
comienza antes el gradiente
adverso en C.L.
Ejemplo con perfiles simétricos

38. Ejemplo numérico con perfiles con curvatura
Supongamos un perfil aerodinámico NACA de la familia de 4 digitos. En
este caso consideramos el NACA 2412.
Como es sabido sus características geométricas son:
Máxima curvatura: 2% de la cuerda
Ubicación de la máxima curvatura: 40% de la cuerda.
Máximo espesor: 12% de la cuerda, ubicado al 30% de la cuerda
Ecuaciones de la línea media delante y detrás del máximo espesor

39. Expresión para el cambio de coordenadas
Posición en  para la máxima curvatura

40. Cálculo de los coeficientes A

41. Resultado de los coeficientes aerodinámicos

42. Se observa la no concordancia de
los coeficientes de momento

43. Se observa buena concordancia de los resultados teóricos, en
particular para aquellos casos que cumplen con las hipótesis de
trabajo planteadas en el método.
A pesar de tener fuertes restricciones en la geometría de los
perfiles aerodinámicos, ha resultado ser una potente
herramienta para el posterior cálculo potencial de alas.
En particular, sus resultados han sido aplicados en métodos como
el Método de Glauert y el Método de Multhopp utilizados para
cálculo de alas.
En todos los casos el método da buen resultado siempre y cuando
la C.L. se encuentre adherida al perfil, satisfaciéndose siempre
para ángulos de ataque moderado.