Cálculo de flechas y rotaciones relativas mediante el Diagrama de Momentos Reducidos

1. Deformaciones en la
Flexión
Diagrama de Momentos Reducidos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Consideremos una viga sometida a flexión,
empotrada en un extremo y libre en el otro:
Introducción
Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta
una determinada curvatura
La fibra más alejada experimenta un alargamiento
total: d1
de los triángulos semejantes OCE y OC’E’ se deduce
que:




 v
d
dv
EC
CE





1
1
''
Conforme a la Ley de Hooke:


v
EE max
que debe igualar a: (tensión normal en flexión)v
J
M
max
de donde:
JE
M



1

3. Tomando sobre la elástica dos puntos a y b.
Las normales trazadas por estos puntos se
cortan en C, verificándose:
y por ser  un ángulo pequeño será:
Introducción
JE
M
ds
d
dds





1














1
1
2
2
dz
dy
dz
d
dz
dy
tg
y
dz
d
dzds
JE
M
dz
yd
JE
M
dz
yd
dz
d



 2
2
2
2
1


Radio de Curvatura
como para valores crecientes de z corresponden
valores decrecientes de  habrá que afectar la
expresión anterior con un signo menos (-), así:

4. Es de nuestro interés calcular la flecha y la
rotación relativa de una sección dada, para
ello, procedemos como sigue:
Consideremos una porción de
línea elástica comprendida entre
dos puntos cualesquiera A y B.
C
A
B
A1 B1

Supongamos que el diagrama
entre los puntos A1 y B1 es el
diagrama de momentos flectores
dividido por E.J (cambio la escala del
diagrama)
M/(E.J)
Las tangentes a la línea elástica en
los puntos extremos, (AB’ y A’B),
forman entre si un ángulo  que
suponemos pequeño.
A’
B’
Consideramos dos secciones muy
próximas, separadas entre si ds  dz.
Ambas presentan un giro relativo d.
dz
ds 
d
d
Diagrama de momentos reducidos

5. La rotación relativa de una sección dada, la
calculamos como sigue:
C
A
B
A1 B1

M/(E.J)
A’
B’dz
ds 
d
d
El área sombrada será:
 




B
A
dz
JE
M
JE
M
dz
d
ds
d


El resultado de la integral dada por
esta ecuación no es sino el área del
diagrama de momentos reducidos.
TEOREMA I: “El ángulo  comprendido
entre dos tangentes en dos puntos
cualesquiera A y B de la línea elástica,
es igual al área total del trozo
correspondiente del diagrama de
momentos reducidos.”

6. La flecha de una sección dada, la calculamos
como sigue. Observemos el segmento BB’:
C
A
B
A1 B1

M/(E.J)
A’
B’dz
ds 
d
d
dfdz  
Podemos apreciar que cada segmento
ds de la elástica contribuye a la longitud
f en una cantidad:
f
df
z
integrando estas distancias podemos
obtener el valor de f:
 


B
A
B
A
dzz
JE
M
dzf 
Momento estático con respecto a B del
área del diagrama de momentos reducidos
TEOREMA II: “Dado dos puntos A y B
pertenecientes a una línea elástica,
la ordenada de B respecto a la
tangente en A es igual al momento
estático con respecto a B del área de
momentos reducidos comprendida
entre A y B.”

7. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

8. Muchas Gracias