Euler

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA APLICADA
LABORATORIO DE MAQUINAS HIDRÁULICAS (LA.M.HI.)
ECUACIÓN DE EULER
Ing. Ariel R. Marchegiani
Septiembre de 2004

MAQUINAS HIDRAULICAS
1
TURBOMÁQUINAS – ECUACIÓN DE EULER
INTRODUCCIÓN.-
En el estudio de las turbomáquinas y en particular en las Máquinas Hidráulicas hay una serie de
notaciones y denominaciones que más o menos universalmente se han adoptado. Esto, desde luego,
facilita muchísimo la interpretación de la teoría y permite con ventaja el pasar de un autor a otro, sin
ninguna dificultad.
En este capítulo veremos precisamente, algunas definiciones y nomenclaturas empleadas en este
curso y que son de uso casi universal.
1.- LINEA MERIDIANA DE FLUJO
Supongamos por un momento que quitamos el rodete de una máquina (figura 1), entonces el agua
seguirá la trayectoria a â, es decir que las venas líquidas tendrán la forma de superficies de
revolución engendradas por meridianas de la forma AB, A'B' y girando sobre el eje de la turbina. A
estas líneas generatrices se les llama líneas meridianas de flujo.
Si al flujo anterior, interponemos un rodete de un número infinito de álabes lo haremos cambiar de
dirección y si movemos este rodete entonces imprimiremos al flujo una componente giratoria.
Supondremos que el flujo sigue manteniéndose dentro de esas superficies de revolución.
Figura 1
2.- TURBINAS ELEMENTALES.
Las fracciones de álabes y el flujo que se encuentre entre las dos superficies de revolución AB y A’
B’ separadas una cierta distancia s, formarán por definición, una Turbina elemental.
El desarrollo de una turbina elemental es muy fácil efectuarlo si por ejemplo se trata de una turbina
Kaplan ó una turbina Tubular, como la representada en la figura 2.

TURBOMAQUINAS – ECUACION DE EULER
2
Cátedra de Máquinas Hidráulicas
u
1
2
1
2
1
2
SALIDA
ENTRE HIERRO
ENTRE HIERRO
ENTRADA
figura 2
Si se trata de una Francis, las superficies de revolución, no son desarrollables. Consideremos un
entrehierro a la entrada y a la salida de la turbina elemental y supongamos que en ese entrehierro la
velocidad absoluta del flujo cambia, absorbiendo así el error de considerar desarrollada una
superficie que no es cilíndrica ni cónica.
Los entre-hierros los podremos considerar de cualquier tamaño siempre y cuando las velocidades
Cl y C2 en las regiones de entrada y de salida, respectivamente, sean constantes, las trayectorias 1-2
representadas en la figura con línea punteada son las trayectorias relativas del agua con respecto a
los álabes.
3.- DEFINICION DE LAS VELOCIDADES.
Se usan diagramas de velocidad en forma de triángulo que corresponden a la mitad del
paralelogramo formado por una velocidad tangencial, una velocidad relativa y una velocidad
absoluta.
Las ruedas motrices de las máquinas hidráulicas están formadas por venas fluidas. Estas venas las
podemos representar por las siguientes figuras (figura 3):
1
2 3
1
1" 1'
u
w c
figura 3
Supongamos que el conjunto de venas está animado por una velocidad u, entonces una partícula de
agua en 1 seguirá la trayectoria siguiente:

3
lº. La trayectoria 1-3 que será la trayectoria real o absoluta.
2º la trayectoria 1-2, trayectoria relativa.
Esta última es la trayectoria que seguirá el punto 1 si se considera a las venas en reposo o bien si se
considera lo que ve un observador estando parado en la pared de una de las venas.
Usaremos en el curso las siguientes velocidades:
Sí en la figura 3 al cabo de un instante la partícula 1 ha recorrido un espacio sobre la trayectoria
relativa 1-1”, sobre la trayectoria absoluta 1-1’, tendremos por definición las siguientes velocidades:
dt
w
"11−
= velocidad relativa (1)
dt
c
'11−
= velocidad absoluta (2)
dt
u
'" 11 −
= velocidad tangencial (3)
siempre tendremos:
vuc += (4)
En la mayor parte de las máquinas hidráulicas la velocidad u queda definida por la velocidad de
rotación (velocidad angular de la máquina multiplicada por el radio del punto en cuestión) .
ru ×= ωω (5)
4.- ESTRUCTURACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA.
Las turbomáquina quedarán pues formadas por conjuntos de venas líquidas, o mejor dicho por
canales que contendrán esas venas liquidas. Este conjunto de venas quedará dispuesto de varias
maneras, según la trayectoria que el líquido rige en la máquina.
La figura 4 nos representa las diferentes formas de cómo que da una turbomáquina estructurada a
partir de un conjunto de venas como el que hemos estudiado.
La figura 4 también nos indica las posibilidades que existen en las máquinas hidráulicas para que el
flujo siga una cierta trayectoria y según esto podemos hacer las siguientes clasificaciones de las
máquinas:

4
figura 4
1º máquina axial, por ejemplo una turbina tubular.
2º máquina radial centrífuga, una bomba centrífuga.
3º Máquina radial centrípeta, un rodete Francia lento.
4º Máquina radial axial, una turbina Francis rápida.
5º Máquina axial radial, bomba centrífuga.
6º Máquina tangencial, una turbina Pelton.
5.- DIAGRAMAS-DE VELOCIDADES.
Con las velocidades que hemos definido, (velocidad absoluta, velocidad relativa y velocidad
tangencial) formaremos siempre un triángulo de velocidades para cualquier punto de cualquier vena
de la turbomáquina. Los ejemplos siguientes nos ilustran el empleo de este triángulo de velocidades
para puntos de entrada y salida de un rodete o un Impulsor.
Ejemplos de diagramas de velocidades:
w c
u
1
1
1
1
1
w
u
c
2
2
2
2
ENTRE HIERRO
ENTRE HIERRO
DISTRIBUIDOR
ROTOR
0
1
3
2
figura 5: Diagramas de velocidad de una turbina axial

5
figura 6
figura 7
Denominación de velocidades:
Las denominaciones y los índices de las figuras que se usarán en el desarrollo de este curso serán:
0: Para una velocidad de salida del distribuidor.
1: Para una velocidad del agua a la entrada del rodete.
2: Para una velocidad del agua a la salida del rodete.
3: Para una velocidad del agua a la entrada de un tubo aspiración.
4: Para una velocidad del agua a la salida.
Denominación de los ángulos:
Los ángulos al y a2 son llamados ángulos absolutos de entrada y salida.
al : está materializado por el distribuidor de la turbina.
a2: está materializado por la salida del rodete o el difusor de una bomba.

6
Los ángulos b1 y b2 comprendidos entre las velocidades relativas de entrada y salida y la velocidad
tangencial de la rueda móvil están materializados por los álabes de la turbina.
Denominación de las componentes absolutas.
Componente Tangencial Cu.- (circunferencial o paralela).
Es la proyección de la velocidad absoluta c sobre la velocidad circunferencial u. Esta componente
interviene en las ecuaciones de potencias en las turbinas y en las ecuaciones de alturas en las
bombas.
Componente Meridiana cm.- Es la proyección de la velocidad absoluta c sobre la recta
perpendicular a u. Esta componente interviene en las ecuaciones de los caudales.
figura 8
Las figuras anteriores nos muestran diagramas de velocidad tanto para una bomba centrifuga, como
para una turbina.
En todos los casos tendremos:
αααα cos.,sen. cccc um == (6)
Resumiendo lo visto hasta aquí y para dar una visión más precisa de los triángulos de velocidades se
presenta un esquema tridimensional (figura 9) de la trayectoria de una partícula de fluido, en una
vena fluida, con los vectores velocidad y sus componentes en un punto cualquiera de la misma. T es
la trayectoria de la partícula trazada sobre una superficie de revolución S.

7
figura 9
6.- COEFICIENTES DE VELOCIDAD.
En máquinas hidráulicas se acostumbra tomar como velocidad unitaria, la velocidad Hg..2 y
se llama coeficiente de velocidad al cociente de la velocidad del punto considerado, dividido
por Hg..2 . Habitualmente se designan estos coeficientes con la letra k seguida de la velocidad
en cuestión. Por ejemplo para las velocidades absoluta, relativa y tangencial a la entrada de un
rodete serían:
Hg
w
k
Hg
w
k
Hg
c
k uwc
..
;
..
;
.. 222
1
1
1
1
1
1 === (7)
Siempre debe tomarse como H, la altura neta que está obrando sobre la turbina.
Estos coeficientes de velocidad nos ayudarán a simplificar las expresiones analíticas y por otro lado
nos ayudarán a comprender de un modo rápido y mucho mejor, el significado físico de cada fórmula
que encontremos. De momento, el coeficiente de velocidad nos indica las veces que el punto
considerado es más o menos veloz respecto a la velocidad de una partícula que cae de una altura H.
7.- CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS
A continuación se presenta a modo de resumen una clasificación de las turbomáquinas teniendo en
cuenta diferentes aspectos tanto geométricos como de funcionamiento.

8
TURBOMAQUINAS
Según la compresibilidad del fluído
Fluído Incompresible
HIDRAULICAS
Fluído Compresible
TERMICAS
Segín el sentido de intercambio de energía
El fluído restituye energía
MOTORAS
El fluído absorve energía
GENERADORAS
Según la dirección del flujo en el rodete
AXIALESRADIALES DIAGONALES
figura 10
8.- MOMENTO HIDRÁULICO DE UNA VENA GIRANDO ALREDEDOR DE UN EJE
- ECUACIÓN DE EULER.
El momento hidráulico de una vena es debido a la fuerza de impulso que produce la vena
considerada y a la distancia de esa fuerza al eje de rotación considerado.
Supongamos una vena como la que se muestra en la figura y veamos cuál es la potencia que
transmite a su envolvente en rotación sobre el eje YY’ (figura 10).
Durante un tiempo dt, entra un volumen dV. Las fuerzas dinámicas a la entrada y a la salida serán
respectivamente:
2211 cdV
g
FycdV
g
F ..
γγγγ
== (8)
Los momentos de estas fuerzas son:
22221111 RcdV
g
MyRcdV
g
M .cos...cos.. αα
γγ
αα
γγ
==

9
u
R
w
cu2 2
2
2
cu
u
c
w
1
1
1
1
R1
2
1
figura 11
La variación del momento cinético será igual a la impulsión rotatoria, es decir, la diferencia de
momentos a la entrada y a la salida será igual al momento hidráulico Mh ejercido por el tiempo en
que éste actúa.
( ) dtMRcRcdV
g
h ..cos..cos. =− 222111 αααα
γγ
(9)
( ) hMRcRc
dt
dV
g
=− 222111 .cos..cos. αααα
γγ
(10)
siendo dV/dt el caudal Q. La potencia hidráulica o útil será:
( ) uh PMRcRcQ
g
==− ωωααααωω
γγ
..cos..cos... 222111
y como anteriormente establecimos:
2211 αααα cos.cos. ccycc uu ==
Nos quedará:
( )2211 ucucQ
g
P uuu ... −=
γγ
(11)
Si recordamos la definición de Potencia útil como uu HQP ..γγ= , e igualamos con la ecuación (11),
esta ecuación quedará:
( )2211 ucucHg uuu ... −= (12)
que es la denominada Ecuación de Euler.

10
De la ecuación (12) se deduce que para obtener la máxima altura, y por ende la máxima
transferencia de energía el líquido debe abandonar axialmente el impulsor, con lo cual Cu2 = 0 y
debe ingresar formando un ángulo lo más pequeño posible para que Cu1 tienda a 1.
Si Cu2 = 0 la ecuación de Euler se reduce a:
g
cu
H u
u
][ 11
= (13)
Por substitución trigonométrica de los triángulos de velocidad:
)cos( 111
2
1
2
1
2
1 2 ααCuuCW −+= (14)
)cos( 222
2
2
2
2
2
2 2 ααCuuCW −+= (15)
de las cuales:
2
2
1
2
1
2
1
11
WuC
Cu u
−+
= (16)
2
2
2
2
2
2
2
22
WuC
Cu u
−−
= (17)
Substituyendo en la ecuación (12) y operando, obtenemos.
g
WuCWuC
H u
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 +−−−+
= (18)
que separamos en tres términos, quedando:
(19)
Que es otra forma de escribir la ecuación de Euler.
El primer término de la ecución (19) representa la presión generada por las fuerzas centrífugas que
actúan sobre la masa del líquido que viajan del diámetro de entrada D1 al diámetro de salida D2. El
segundo término de la ecuación muestra el cambio de la energía cinética del flujo desde la entrada
del rotor hasta la descarga del mismo. El último es un cambio de presión debido al cambio de
velocidad relativa del flujo al pasar por el rotor.
Observar que estas relaciones, es decir la ecuaciones de Euler, son válidas tanto para fluido
compresible o no, o tambien que el escurrimiento se realice con o sin pérdidas.
Para una turbina de admisión total la expresión del momento o de la potencia establecida mas arriba
se aplica no solamente a un canal sino a un elemento de máquina incluido entre dos superficies de
escurrimiento y las dos superficies de revolución que definen los bordes de entrada y salida de los
alabes, siempre que los productos r.cu no varíen sensiblemente sobre todo el alcance de las
superficies de entrada y salida, condición supuesta que se realiza para cada vena parcial.( Fig. 12).
g
WW
g
CC
g
uu
H u
222
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 )()()( −
+
−
+
−
=

11
figura 12
El entrehierro que es una zona de escurrimiento sin intercambio de energía la componente giratoria
de la velocidad absoluta en una vena parcial sigue la ley:
.. ctekrcu ==
Esta es la ley que traduce la invariabilidad del momento cinético (ley del torbellino potencial). Si el
distribuidor tiene el mismo valor de la constante k para todas las venas parciales lo que es el caso
habitual en las turbinas de velocidad específica moderada, el producto r. Cu, tendrá el mismo valor
en todos los puntos de la entrada de la rueda. El escurrimiento en el entrehierro se dice entonces "en
vórtice libre" o circulación constante. En algunas condiciones se puede tener un escurrimiento de la
misma naturaleza a la salida del rotor.
9.-EVOLUCION DEL AGUA EN LOS DISTINTOS ELEMENTOS DE LA TURBINA.
ALTURA NETA. ALTURA ÚTIL. RENDIMIENTO HIDRAULICO.
figura 13

12
Apliquemos la ley géneral de escurrimiento de los fluidos incompresibles de una vena parcial de agua
al curso de su travesía en la máquina (figura 13). Bajo forma diferencial esta ley toma la expresión:
ττϕϕ
γγ
dddz
dp
g
dcc
=+++
.
(20)
siendo :
c, velocidad absoluta, p, presión, ã, peso específico, z, desnivel, ö, pérdida de energía, ô trabajo
intercambiado con el exterior.
Entre la entrada de la turbina y la entrada del rotor la integración de la expresión (20) da:
0
2
11
2
1
2
=−−+
−
+
−
ee
iee
zz
pp
g
cc
ϕϕ
γγ
(21)
de la salida de la rueda a la salida de la turbina
ττϕϕ
γγ
=−−+
−
+
−
1221
21
2
2
2
1
2
zz
pp
g
cc
(22)
de la salida de la rueda a la salida de la turbina
0
2
22
2
22
2
=−−+
−
+
−
ss
ss
zz
pp
g
cc
ϕϕ
γγ
(23)
Sumando estas tres relaciones
ττϕϕ
γγ
+=−+
−
+
−
esse
sese
zz
pp
g
cc
2
22
(24)
El primer miembro de esta igualdad representa la diferencia de la energía contenida en la unidad de
peso de agua a la entrada y a la salida de la máquina respectivamente, esto es la energía puesta a
disposición de ella. La cantidad así definida toma el nombre de altura o altura neta y se expresa
en metros:
se
sese
sen zz
pp
g
cc
HHH −+
−
+
−
=−=
γγ2
22
(25)
jes , representa la energía disipada en el seno del fluido que pasa por la vena parcial en cuestión, por
fricciones sobre las paredes que guian esta vena, por fricciones internas (viscosidad, estelas y
remolinos) y eventualmente por choques sobre los alabes.
ô corresponde al trabajo transmitido a las partes móviles de la rueda, esto es, el trabajo resultante
de las acciones del fluido sobre las paredes en movimiento, es definido por la ecuación de Euler
aplicada la rueda dividiendo la potencia por el caudal másico correspondiente:
g
cucu
gG
uu
2
2211 ..
.
−
=
℘
=ττ G.g = caudal másico (26)
se llama a esta cantidad, homogénea, similar a una longitud, altura o caída útil, Hu.

13
Representa la energía efectivamente obtenida sobre el eje si algunas pérdidas, externas al
escurrimiento del fluido en la vena, no existirían. Estas pérdidas, como lo veremos más adelante, son
causadas por los rozamientos en los transportes, las fricciones de los brazos de las ruedas sobre el
agua que las rodea, y las fugas internas.
La relación 24 pasa a ser:
g
cucu
HconHH uu
uun
2
2211 .. −
=+= ϕϕ (27)
y el rendimiento :
h
uu
n
u
g
cucu
H
H
ηη=
−
=
2
2211 ..
(28)
Este es el rendimiento hidráulico .
Las relaciones de arriba solo se aplican al escurrimiento en una vena parcial que constituye un
elemento de la turbina entre otros, ellas solo podrán ser válidas para la turbina entera si las
cantidades u.cu siguieran siendo las mismas respectivamente a la entrada y a la salida de todos los
elementos de las distintas turbinas parciales. En realidad, el rendimiento hidráulico disminuye en los
elementos próximos a las paredes debido a las mayores fricciones al contacto de ellas y Hu, no es
constante en toda la amplitud de la máquina. Se puede definir un valor eficaz:
Q
QH
H u
ueficaz
∆
=
∑ .
Q = Caudal (29)
Relación de la energía de presión a la energía total intercambiada en el rodete: grado de
reacción.
El grado de reacción en una TMH se define como la relación entre dos energías de fluido: la “cedida
a”, o “comunicada por” el rodete en forma cinética y, la energía total “suministrada a”, o “por”, la
máquina. Cabe distinguir entre grado de reacción teórico y real.
Grado de reacción de una TH
La energía específica a la entrada del rodete (punto1) será:
1
1
2
1
1
2
z
p
g
c
H ++=
γγ
(30)
y a la salida (punto 2)
2
2
2
2
2
2
z
p
g
c
H ++=
γγ
(31)
La energía total suministrada al rodete será:

14
21
21
2
2
2
1
21
2
zz
pp
g
cc
HHH u −+
−
+
−
=−=
γγ
)(
(32)
La energía de presión suministrada al rodete será:
21
21
zz
pp
−+
−
γγ
(33)
Sea Hu la energía total suministrada al rotor (es decir, la altura util). El grado de reacción a será:
uu H
g
cc
H
zz
pp
2
1
2
2
2
1
21
21 )( −
−=
−+
−
=
γγ
σσ (34)
En alguna bibligrafía esta definición se realiza en base a la altura neta.
Notas al grado de reacción
1. Conviene advertir una vez más que las energías, o alturas estáticas (TH), y alturas de presión (B),
que figuran en el numerador de todas las expresiones de ó se refieren al rodete, no a toda la máquina
ni a un escalonamiento completo de una B múltiple compuesta de rodete y difusor.
La energía cinética que suministra o absorbe la máquina o el escalonamiento es con frecuencia nula o
despreciable. Así pues los escalonamientos de las B suelen diseñarse de manera que la velocidad a
la salida del escalonamiento (que es la entrada en el escalonamiento siguiente) sea igual que a la
entrada. Es decir, una TM generalmente absorbe o cede energía de fluido en forma esencialmente
estática.
2. La proporción de energía de presión obtenida en el rotor en comparación con la energía total, o
equivalentemente el grado de reacción, es un factor característico de una TM, porque de él
depende, por ejemplo, si la máquina es de admisión parcial o total así como la forma de los álabes
y, muchos parámetros de diseño. El rendimiento de las B depende en gran manera del grado de
reacción, ya que si éste es bajo, es preciso transformar la energía cinética producida por el rodete
en energía de presión mediante un órgano denominado difusor, cuyo rendimiento en general es bajo.
En las TM de reacción los álabes móviles tienen forma de tobera (TH y turbinas térmicas) o de
difusor (B) en las de acción no: en ellas, como no hay contracción o expansión del flujo, la
velocidad relativa a la salida del rodete es igual que a la entrada (o un poco menor por el
rozamiento).
3. Las B suelen construirse siempre de reacción. En una bomba de acción la recuperación de la
energía cinética del rodete en un difusor adecuado arrastraría consigo pérdidas hidráulicas
importantes por ser el proceso de difusión más difícil y antinatural que el proceso de compresión en
una tobera convergente, lo cual no compensaría la disminución de las pérdidas volumétricas que en
una máquina de acción tendría lugar.
4. El grado de reacción puede servir para clasificar las TM en TM de acción, o de grado de
reacción cero, y TM de reacción o de grado de reacción distinto de cero. Esta clasificación será
empleada más adelante para clasificar las TH, y divide estas máquinas en dos grupos básicamente
distintos tanto en los órganos de que constan cuanto en el funcionamiento.

15
Determinación de la altura neta a partir de las características de la instalación..
El agua se pasa del nivel aguas arriba de cota zam donde su velocidad es nula, cam=0 dónde reina la
presión atmosférica, al nivel abajo de cota zav y dónde se tiene también cav = 0 y pav = patm, Figura
14.
Nota : En la nomenclatura usada en esta sección los subindices am y av significan arriba y abajo (del frances amont y aval segun la
ref.[2])
El teorema de Bernoulli aplicado al fluido que se pasa desde el nivel agua arriba a la entrada de la
turbina se escribe:
ame
ee
am
a
z
p
g
c
z
p
ϕϕ
γγγγ
−++=+
2
2
(35)
öam representa las pérdidas de energía en la instalación aguas arriba de la turbina (toma de agua,
galería, válvula de compuerta, distribuidor, válvula de guardia).
El mismo teorema aplicado de la salida de la turbina al nivel aguas abajo da:
avav
a
s
ss
z
p
z
p
g
c
ϕϕ
γγγγ
++=++
2
2
(36)
öav : pérdidas de la instalación aguas debajo de la turbina (tubo de aspiración).
figura 14
Por diferencia las relaciones de arriba conducen:
avamamse
sese
zzz
pp
g
cc
ϕϕϕϕ
γγ
−−=−+
−
+
−
2
22
)(
(37)
o

16
avambn HH ϕϕϕϕ −−= (38)
Con Hb , caída bruta o geométrica está representado por la diferencia de cuota de los niveles aguas
arriba y abajo.
La altura neta que se produce en la determinación del rendimiento de la turbina es importante
definirla cuidadosamente para evitar los conflictos entre el fabricante y el cliente. De una manera
general la definición de Hn, debe permitir imputar al fabricante de la turbina las pérdidas en las obras
cuya responsabilidad asumió bien que los haya construido o que él los haya calculado o diseñado
solamente. Indicamos a continuación la manera de determinar esta caída en los casos habituales.
Figura 15. Turbina Pelton a un chorro.
La salida de la turbina se sitúa al punto de tangencia del eje del chorro y el círculo del diámetro
primitivo de la turbina Pelton. La altura neta se expresa por:
se
ee
n zz
p
g
c
H −++=
γγ2
2
(39)
Se observa que esta definición conduce a dejar fuera la pérdida de altura estática debida al hecho de
que el grupo está a una determinada distancia del nivel abajo; pero incluye todas las pérdidas
inherentes a la turbina: Rozamiento sobre las paredes o en el aire, dispersión o rotación del chorro,
etc.
figura 15
Figura 16. Turbina Pelton de varios inyectores (por ejemplo dos). Determinar como arriba las
alturas netas relativas a cada chorro: Hn1 y Hn2.

17
figura 16
22
2
2
2
211
1
2
1
1
22
se
ee
nse
ee
n zz
p
g
c
Hzz
p
g
c
H −++=−++=
γγγγ
(40)
La altura neta a considerar es la media ponderada de las caídas netas relativas a cada inyector:
21
2211
QQ
QHQH
H nn
n
+
+
=
..
(41)
donde Q1 y Q2 son los caudales de los inyectores 1 y 2.
Figura 17. Turbina de reacción de cámara espiral abierta con tubo de aspiración vertical.
La definición de Hn, no tiene en cuenta la energía perdida por aumento brusco de sección a la salida
del tubo de aspiración las pérdidas de carga en la cámara espiral, esto es lógico dado que
habitualmente se diseña estos dos órganos para la turbina pero no se tiene en cuenta la energía que
corresponde a la velocidad del agua en el tubo de aspiración ni la pérdida de carga en la rejilla de
entrada.
figura 17

18
se
se
n zz
g
c
g
c
H −+−=
22
22
(42)
Zs medido a una distancia suficiente del tubo de aspiración para que toda perturbación torpe para la
nivelación haya cesado.
Figura 18. Turbina a reacción de eje vertical con camara espiral cilindrica y con tubo de
aspiración horizontal.
figura 18
se
ese
n zz
p
g
c
g
c
H −++−=
γγ22
22
(43)
La misma observación que en el caso anterior para el tema de la medida de zs.
En reglas generales la entrada de la turbina se fija aguas abajo de la válvula de guardia excepto
convenio entre el fabricante y el cliente.
12.-PERDIDAS DE ENERGIA. RENDIMIENTOS. CARACTERISTICAS DE
FUNCIONAMIENTO A VELOCIDAD CONSTANTE.
Pérdidas de energía.
Las pérdidas de energía en la turbina proceden de distintas fuentes. Algunas tienen origen en la vena
líquida y proceden de las fricciones sobre las paredes, de las fricciones internas causadas por las
estelas y remolinos, de los choques sobre las álabes.
Las pérdidas por rozamiento sobre las paredes (pérdidas de carga) varían como el cuadrado de la
velocidad de escurrimiento, la longitud del canal, el radio hidráulico de la sección, el número de
Reynolds y la aspereza de las paredes. Esta última causa desaparece no obstante si la aspereza se
encuentra reducida por un pulido conveniente de las superficies.

19
Las estelas y remolinos serán evitados mediante la utilización de perfiles redondeados en el borde de
ataque, afilados en la salida y continuos en sus formas. Conviene evitar las curvas de escaso radio,
las variaciones bruscas de sección especialmente en las venas divergentes, las expansiones bruscas
que son fuentes de desprendimientos y remolinos.
Cuando la dirección de la entrada del alabe no coincide con la dirección de la velocidad en este
punto el agua choca la pared del alabe y este choque causa una pérdida (Fig. 19). Esto define una
velocidad de choque, Wc, que representa la cantidad que sería necesario aumentar o disminuir para
restablecer el triángulo de velocidades normal.
figura 19
A velocidad constante, una variación de carga de la turbina se traduce en una modificación del
ángulo de inyección á1, c1 siguiendo siendo sensiblemente constante (si la caída lo permanece igual),
un aumento de potencia que corresponde a un aumento de á1, se traduce pues en un choque
negativo y contrariamente. Estas pérdidas por choques, de una manera general, se admiten igual a
wc
2
/2g.m, con m = 0,5 tienen 0,9.
Otras pérdidas se producen fuera de la vena líquida, son:
Las pérdidas por fricciones de disco: de la rueda en el agua que lo rodea. Un disco que vuelve en
un líquido causa una centrifugación de las partículas fluidas que están su contacto y se establece
entre el disco y su entorno un movimiento del líquido esquematizado en la figura 20 que superpone la
rotación de conjunto del fluido alrededor del eje del disco.
figura 20

20
- Las pérdidas por fugas. Se producen a la entrada de la rueda y en la llanta en proximidad de la
salida en las ruedas Francis, figura 21 y en el juego incluido entre la extremidad de la pala y la
camisa de las ruedas Kaplan.
Las fugas de las ruedas Francis son limitadas por las juntas de estanqueidad habitualmente
constituidas por montajes de superficies cilíndricas y anulares cuanto más o menos complejos según
la importancia de la diferencia de presiones entre los dos medios que separan. Su objeto es limitar la
fuga como mínimo sin por ello suprimirlo creando una pérdida de carga importante. Esta pérdida de
carga resulta de una combinación de fricciones fluidas entre superficies anchas y acercadas y
expansiones y contracciones bruscas.
figura 21
- Las pérdidas por rozamientos mecánicos. Son las pérdidas habituales por fricciones en los
cojinetes, pivotes, a las cuales se añade a menudo la energía absorbida por los órganos de ajuste.
- La velocidad del agua a la salida de la turbina representa una energía cinética que no se utilizó,
es la pérdida por velocidad restante, fácil a determinar directamente en las turbinas de reacción o
basta con conocer el caudal en la sección de salida. Puede representar de 0,5 al 6% de la altura
neta.
Rendimientos.
Se distinguen:
El rendimiento hidráulico que solo tiene en cuenta las pérdidas hidráulicas (pérdidas de carga,
pérdidas por choques)
n
u
h
H
H
=ηη (44)
se define también el rendimiento hidráulico de la instalación:

21
b
u
h
H
H
ninstalació
=ηη (45)
El rendimiento volumétrico. Dado que una fracción del caudal pasaba a través de las juntas de
estanqueidad, (caudal de fuga q) se puede definir un rendimiento volumétrico:
Q
qQ
vol
−
=ηη (46)
siendo Q el caudal a la entrada de la máquina.
El rendimiento mecánico. Tiene en cuenta las pérdidas por fricciones mecánicas definidas más
arriba: mηη
El rendimiento de disco. Tiene en cuenta las pérdidas por fricciones mecánicas y de las pérdidas
por fricciones de brazos definidos arriba: dηη
El rendimiento global o rendimiento energético total es la relación entre la energía efectivamente
obtenida en el eje de la máquina y la energía puesta la disposición de ésta. Tambien se define como
el producto de todos los rendimientos que entran en juego.
dmvolh
n
total
HQ
P
ηηηηηηηη
γγ
ηη ...
..
== (47)
13.- REFERENCIAS
[1] Reyes Aguirre M., “Curso de Máquinas Hidráulicas”, Facultad de Ingeniaría U.N.A.M.,
(Mexico, 1965).
[2] Vivier L., “Turbines Hydrauliques et leurrégulation, Ed. Albin Michel, (París, 1966).
[3] Mattaix C., “Turbomáquinas Hidráulicas”, Ed. ICAI, (Madrid, 1975).

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